2022年绝对值的三角不等式典型例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1.4 肯定值三角不等式教学目标： 1. 懂得肯定值的定义,懂得不等式基本性质的推导过程；2. 把握定理 1 的两种证明思路及其几何意义； 3. 懂得肯定值三角不等式； 4. 会用肯定值不等式解决一些简洁问题；教学重点： 定理 1 的证明及几何意义；教学难点： 换元思想的渗透；教学过程：一、引入 ：证明一个含有肯定值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质之外,常常仍要用到关于肯定值的和、差、积、商的性质：（1）ababb（2）abab（3）aba（4）aab0 bb请同学们摸索一下,是否可以用肯定值的几何意义说明上述性质

2、存在的道理？实际上,性质 a b a b 和 a a b 0 可以从正负数和零的乘法、除法b b法就直接推出； 而肯定值的差的性质可以利用和的性质导出；因此,只要能够证明 a b a b 对于任意实数都成立刻可；我们将在下面的例题中争论它的证明；现在请同学们争论一个问题：设a 为实数, a 和 a 哪个大？明显 a a,当且仅当 a 0 时等号成立（即在 a 0 时,等号成立；在 a 0时,等号不成立）；同样,a .a 当且仅当 a 0 时,等号成立；含有肯定值的不等式的证明中,常常利用 a a、a a 及肯定值的和的性质；二、典型例题 ：名师归纳总结 a例 1、证明 （1）abbab,ba.

3、b所以ab（2）abab；第 1 页,共 7 页证明（ 1）假如a0 ,那么aabab.a以如果b0 ,那么abab .所bab ab ab- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备b欢迎下载abb,就是,abba；（2）依据（1）的结果,有ab所以,abab；ABACCB .例 2、证明ababab；例 3、证明abacbc；摸索： 如何利用数轴给出例3 的几何说明？（设 A,B,C为数轴上的 3 个点,分别表示数 a,b,c,就线段当且仅当 C在 A,B 之间时,等号成立； 这就是上面的例 3；特殊的, 取 c0（即C为原点）,就得到例 2 的后半

4、部分；）探究：试利用肯定值的几何意义,给出不等式abab的几何说明？定理 1 假如a bR , 那么abab. 在上面不等式中 , 用向量a b 分别替换实数a b , 就当a b 不共线时 , 由向量加法三角形法就 : 向量a b ,ab 构成三角形 , 因此有 a+ba+b其几何意义是什么？含有肯定值的不等式常常相加减,得到较为复杂的不等式,这就需要利用例1,例 2 和例 3 的结果来证明；例 4、已知 x a c, y b c,求证 x y a b c .2 2证明 x y a b x a y b x a y b（1）x a c, y b c,2 2x a y b c c c（2）2 2

5、由（ 1）,（2）得： x y a b c例 5、已知 x a, y a . 求证：2 x 3 y a；4 6证明 x a , y a,2 x a , 3 y a,4 6 2 2由例 1 及上式,2 x 3 y 2 x 3 y a a a；2 2留意： 在推理比较简洁时,我们常常将几个不等式连在一起写；但这种写法,只能用于不等号方向相同的不等式；四、巩固性练习 ：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、已知Aac,Bb学习必备欢迎下载ab c；c.求证：AB222、已知 x a c, y4作业：习题 1.2 2 、3、

6、5 bc.求证：2x3y2 a3 bc；61.4 肯定值三角不等式学案预习目标： 1. 懂得肯定值的定义,懂得不等式基本性质的推导过程；2. 明白定理 1 的两种证明思路及其几何意义 ; 3. 懂得肯定值三角不等式；预习内容：1肯定值的定义 ：a R , | a |2. 肯定值的几何意义 ： 1 0. 实数 a 的肯定值 | a ,表示数轴上坐标为 a 的点 A 2 0. 两个实数 a b,它们在数轴上对应的点分别为 A B ,那么 |ab 的几何意义 是3. 定理 1 的内容是什么？其证法有几种？4. 如实数a b 分别换成向量a b 定理 1 仍成立吗？5、定理 2 是怎么利用定理 1 证

7、明的？探究学习：1、肯定值的定义的应用例 1 设函数 f x x 1 x 41 解不等式 f 2； 2 求函数 y f x 的最值 2. 肯定值三角不等式： 探究 | a , | b , | a b 之间的关系 . a b0时, 如下图 , 简洁得 ：|a|b|a|a| | b . a b0时, 如图 , 简洁得 ： |ab|b . 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - a b0时, 明显有 ： |ab|学习必备a|欢迎下载| | b . 综上 , 得定理 1 假如a bR , 那么 |ab|a|b . 当且仅当时, 等

8、号成立. 在上面不等式中 , 用向量a b 分别替换实数a b , |b|就当a b 不共线时 , 由向量加法三角形法就 : |a|向量a b ,ab 构成三角形 , 因此有|ab|它的几何意义就是 : 定理 1 的证明 : 定理 2 假如a b cR, 那么|a c|a b| |b c . 当且仅当时, 等号成立.3、定理应用例 2 （1） ,a bR证明abyabb,xy ab c .；c 2,求证c 2,（2）已知xa课后练习 ：名师归纳总结 1.当a、bR 时,不等式ab1成立的充要条件是 ab0 D ab0第 4 页,共 7 页abA ab0 B a2b20 C- - - - - -

9、 -精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 对任意实数 x , |x1|x2 |学习必备欢迎下载；a恒成立,就 a 的取值范畴是3. 对任意实数 x , | x 1| | x 3| a 恒成立,就 a 的取值范畴是4. 如关于 x 的不等式 | x 4 | | x 3| a 的解集不是空集,就 a 的取值范畴是5 方程 x x23 2x x2 x 23 x的解集为 , 不等式 | 2 xx | 2 xx的解集是6 已知方程 | 2 x1 | | 2 x1 | a 1 有实数解,就 a 的取值范畴为；7. 画出不等式 x y 1 的图形,并指出其解的范畴；利用不等式的图形解不等式

10、 1、x1x1x1; 21、x2 yx.11; 8 解不等式： 1 、21x; 2、2x1 3x、x1x.23 ; 4、xa2x13.0.9 1 、已知a,ya求证：2 x3y；46名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 、已知xac,ybc学习必备2欢迎下载2 a3 bc；.求证：x3y463 、已知Aas,Bbs,Ccs.求证：ABCabc s33310 1 、已知xa,ya.求证：xya . 2、已知xch ,yc.0求证：xh .y名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 -

11、- - - - - - - - 学习必备 欢迎下载参考答案 : 课后练习1. B. 2、a3 3 、a4 4、a7 5、-3 x=-2 或 x=0x2 6、-3=a-1 7、先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情形；在第一象限内不等式等价于：x0,y0,xy1. xy1 的图形是以原点O 为其图形是由第一象限中直线y1x下方的点所组成；同样可画出二、三、四象限的情形；从而得到不等式中心,四个等点分别在坐标轴上的正方形；不等式解的范畴一目了然；探究： 利用不等式的图形解不等式1. x 1 x 1 1 ; 2x 2 y 1 .答案： 1、-0.5x0.5 2. 为一菱形区域；8、1 、0x-1/2 3、x0 4 、x-2 29 1 、已知xaa 4,yaa.求证：2x3yaa；a；6a,3证明x,y,2xy,a4622a由例 1 及上式,2x3y2 x3y22、 3 （解答略） 10 、（解答略）名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页