2022年正弦定理和余弦定理导学案及习题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高一数学必修5 解三角形,使同学能够熟使用定懂得学习必备欢迎下载角与边的等式关系； 如图 1.1-2 ,在中学, 我们已学过如何解直角三角形,下面就第一来探讨直角三角形中,1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理（第一课时）在 RtABC中,设BC=a,AC=b,AB=c, 依据锐角三角函数中正弦函数的定义,有asinA,bsinB,又一、学习目标 ：cc1.在中学解直角三角形的基础上,引导同学推出正弦定理,通过定理的简洁应用sinC1c, 决相关问题 . c二、教学重点与难点 A 重点 ： 正弦定理的探究和简洁应用；难点 ： 探究过程的

2、组织和引导； 60 90 就aAbBcCc b c 三、教法与建议sinsinsin同学分组争论,老师引导总结；从而在直角三角形ABC中,aAbBcC C a B 四、教学练评活动程序sinsinsin【课前诊断】 图 1.1-2 1、一些特别角的三角函数值三角函数 0 30 45 摸索：那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍旧成立？弧度制正弦定理： 在一个三角形中,_, 即 _. 摸索：以下有关正弦定理的表达正确选项：sin 1 正弦定理只适用于锐三角形；cos2 正弦定理不适用于直角三角形；3 在某一确定三角形中,各边与它对应的角的正弦的比是定值；tan4 在ABC中,A B Ca b c

3、2、设 ABC 的三边为 a、 b、c,对应的三个角为A、B、 C【活动2】让同学摸索：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由两边一角求出一角,能否由两角一边求出一边？（1角与角关系：_,【例 1】在ABC中,已知 a 10, A 45 , C75 ,就 b= . （2）边与边关系：a + b c,_,_; 【例 2】（ 1）在ABC中,已知A30,a,8b83,求 B. a b c,_, _3、 解直角三角形（ABC 中, C 90 ,每道题6 分,共 24 分）：【课中检测】33）（D） 6 1已知： c 83 , A 60 ,求 B、a、 b1、 在A

4、BC中,A30,a3,就ABC的外接圆半径为（A ）3（ B）3 （C）2已知： a 36 , A30 ,求 B、b、 c. 23已知： a 6, b23 ,求 A、 B、 c. 2、在ABC 中,已知以下条件,解三角形（边长精确到1cm）：20cm ；1A45 ,C30 ,c10cm ；2 A60 ,B45 ,c【构建新知】名师归纳总结 【活动 1】想一想：3、在ABC 中,已知a3,b2,B45,且AC,求A,C和 c 第 1 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4、在ABC 中,A60,a43,b42,求 B ；学习必备欢迎下载A B

5、 C 对应的边分别为a b c .如C120 ,c2a ,就【例 3】在ABC 中,角【课后检测】,使同学能够熟使用定懂得A abB. abC. abD. 不确定B1,求B1. 在ABC 中,a3, b5,sinA1,就 sin B【课中检测】31、在ABC 中,如 a b,就sinAsinB,反之成立吗？2. 在ABC 中 ,已知A30 ,a3,就ABC 的外接圆的半径是；2、在ABC中,A B1: 2,sinC1,就 a:b:c 等于3. 在ABC 中,A60 ,B45 ,BC3 2,就 AC=3、在锐角ABC中,角A B对应的边分别为a b.如2 sinB3 b,求角A；4. 在ABC中

6、,依据以下条件解三角形：4、在锐角ABC 中,角A B C 对应的边分别为a b c .且满意aAcC,求角 C（ 1）a3,b2,B45,sin3 sin（ 2）b3,c1,B60 ,【课后检测】5、在ABC 中,A B1: 2,sinC1,求a b c；1、依据以下条件,解ABC : 1已知A60 ,C45 ,b20；2 已知A30 ,a2,b2. 1.1.1 正弦定理（其次课时）一、学习目标 ：2、在锐角ABC 中,角A B C 对应的边分别为a b c .如a2 sinB ,求角 C ；1.在中学解直角三角形的基础上,引导同学推出正弦定理,通过定理的简洁应用决相关问题 . 3、 ABC

7、 的内角A B C所对应的边分别是a b c,已知3 cos C2 cos ,tanA二、教学重点与难点3重点 ： 正弦定理的探究和简洁应用；的大小；2,求难点 ： 探究过程的组织和引导；4、在ABC 中,如sin aAcosB,就求角 B；三、教法与建议b同学分组争论,老师引导总结；四、教学练评活动程序5、ABC 的内角A B C 所对应的边分别是a b c ,已知a2,b2,sinBcos【课前诊断】1. 在ABC 中,A75 ,B45 ,c1,求最短边的长度；A 的大小；2. 在ABC 中,a3,b2,B45,解三角形；【构建新知】【活动 1】 利用等比、连比性质,正弦定理仍有哪些变形？

8、名师归纳总结 【例 1】在aABC中,肯定成立的是（）bsinA（D）acosBbcosA第 2 页,共 6 页（A ）sinAbsinB（ B）acosAbcosB（C）asinB【例 2】在ABC中,角A B 对应的边分别为a b .如 2 sinBb ,求角 A ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 一、学习目标 ：1.1.2 余弦定理（第一课时）学习必备欢迎下载a2c22 accosB（ D）a2b2c22 abcosC（C）b2以解直角三角形为基础,通过几何法推导余弦定理,并能够应用定懂得决相关的解直角三角形的问题；例 2在ABC中,已知a6

9、,b63,C30,就c的值为AB 1, 就二、教学重点与难点重点 ：余弦定理的推导过程及运用；例 3.在ABC中,已知AB3,BC13,AC4,求角 A难点 ： 余弦定理的敏捷运用；三、教法与建议同学分组争论,老师引导总结；【课中检测】五、教学练评活动程序1.在ABC 中,已知AC2,BC3,A30,求 AB【课前诊断】1、不查表求 cos15 的值；2、在ABC中,已知a3,b2,B45,解三角形2、在ABC中 ,A60,a15,b10,求 cosB ；3、在ABC 中,假如a3,1b2 ,c2,那么C 等于（）【引导探究,获得新知】（）15（）30（）45（）60【活动 1】 联系已经学过

10、的学问和方法,可用什么途径来解决下面这个问题？如图 1.1-4 ,在ABC中,设 BC=a,AC=b,AB=c, C 4、在ABC 中,已知以下条件,解三角形（角度精确到0.1 度,边长精确到0.1 厘米）已知 a,b 和C,求边 c； b a 1a7cm b10cm c6cmA c B 2 a9 cm b10cm c15cm图 1. 1-4【课后检测】余弦定理 ：1.ABC 的两边长分别为2,3,其夹角的余弦值为1,求另一边长；即:3【活动2】 让同学摸索：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能2、在ABC 中,已知AB1,BC2,B60,求 AC否由三边求出

11、一角？3、在ABC中,已知AB5,BC7,AC3,求BAC从余弦定理,又可得到以下推论：4 、ABC 的 内 角A B C 所 对 应 的 边 分 别 是a b c , 如a3, b2,cos【活动3】 让同学摸索：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理就指出了一般三角3cosC_;c_；形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系？名师归纳总结 【活动 4】 争论余弦定理有哪些作用？）（B）a2c2b22accosA5、在ABC中,已知a5,b3,C120,求 sin A第 3 页,共 6 页例 1在ABC中,肯定成立的是（6已知 ABC的三边长 a 3,b5,c 6,

12、就 ABC的各角的余弦值（ A）b2c2a22accosB1.1.2 余弦定理（其次课时）一、学习目标 ：以解直角三角形为基础,通过几何法推导余弦定理,并能够应用定懂得决相关的解直角三角形的问题；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二、教学重点与难点学习必备欢迎下载 3已知 ABC的三边长 a 3,b5,c 6,就 ABC的面积是 重点 ：余弦定理的推导过程及运用；A.14 B214 难点 ： 余弦定理的敏捷运用；三、教法与建议C.15 D215 同学分组争论,老师引导总结；五、教学练评活动程序4、在ABC 中,角A,B ,C所对的边为a,b,c,已知a

13、2 bsinA ,c3 b【课前诊断】D锐角三角形（ 1）求 B 的值；1、在ABC 中,已知a2,b2 2,C15,解三角形（ 2）如ABC的面积为23,求a,b的值2、已知 ABC的三边长a2 3,b22,c62,就 ABC的各角5、 ABC中,如c2 cosB,就 ABC的外形为（）【引导探究,获得新知】A直角三角形B等边三角形C等腰三角形【活动 1】 联系已经学过的学问和方法,可用什么途径来解决下面这个问题？6、已知：在 ABC中,ccos C,就此三角形为如图 1.1-3 ,在ABC中,设 BC=a,AC=b,AB=c, C bcosB等腰或直角三角形已知 a,b 和C,求ABC的面

14、积； b a A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 【课后检测】名师归纳总结 A c B ABC的外形肯定1、 在ABC 中,依据以下条件,求三角形的面积：3 b . 第 4 页,共 6 页图 1. 1-3（ 1）已知a3,c4,B30 2 已知A75 ,b4,C45例 1、 在ABC中,已知A30,a8,b8 3,求ABC的面积；2、 已知锐角ABC 的面积为 3 3 ,BC4,CA3,就角 C 大小为例 2、已知锐角ABC 的面积为 3 3 ,BC4,CA3,就角 C 大小为3、在锐角ABC 中,内角A B C 所对应的边分别是a b c ,且 2 sinB（A）

15、 30（B） 45（C） 60（D） 75（1）求角 A 的大小；（ 2）如a6,bc8,求ABC的面积；例 3、在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,如aBbA,就4、在ABC中,角 A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,如a2 cosC,就ABC的外形肯定是（）coscosABC 的面积；A等腰三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形是 （）A等腰三角形 B直角三角形5、在ABC中,角A、B、C的对边分别为a 、 b 、 c ,如bcos CccosBa sinA,就ABC的C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形外形为（）A锐角三角形 B直角三

16、角形【课中检测】C钝角三角形 D不确定1、在ABC 中,A60 ,AC4,BC2 3,求ABC 的面积；2、ABC 的内角A B C 所对应的边分别是a b c ,已知b2,B6,C4,求1.2 正余弦定理实际应用- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载视角：一、学习目标 ：.仰角和俯角：1. 能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些有关测量距离的实际问题,明白常用的测量相关术语二、教学重点与难点方向角：重点 ：实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后逐个解决三角形,得到实际问题的解；方位角：难点 ：依据题意建立数学模型,画出示意图；【

17、课中检测】三、教法与建议同学分组争论,老师引导总结；例 1、如图,设A、B 两点在河的两岸,要测量两四、教学练评活动程序点之间的距离,测量者在A 的同侧,在所在的河【课前诊断】岸 边 选定 一 点 C,测 出AC 的 距 离 是 55m ,1、ABC 中,A45 ,B60 ,a10,就 b 等于（）BAC=51 ,ACB=75 ；求 A、B 两点的距离精确到 0.1mA 5 2B 10 2C 106D 5 6例 2 如图 6-29 ,在山坡上种树,要求株3距 相邻两树间的水平距离 是 5.5m,测得斜坡的2、在ABC中, B=30,C=45,c=1,就最短边长为（）倾斜角是 24 ,求斜坡上相

18、邻两树的坡面距离是多少 精确到 0.1m A6 B2C1 2D3322例 3 同学们,假如你是修建三峡大坝的工程师,现在有这样一个问题请你解决：如图6-33 ,水库大坝的3、在ABC 中,a2c2b2ab ,就 C（）A. 60B. 45 或135C.120D. 304、在ABC中,角A ,B,C所对的边分别是a ,b ,c,且a3 bsinA,就sinB（A）3（B）3（C）6（D）63335、在 ABC 中,角A B C所对的边分别为a b c,已知a2,c3,cosB1横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高 23m,斜坡 AB的坡度 i=1 3,斜坡 CD的坡度 i=1 2.5 ,求斜坡 AB的

19、坡面角4 ,坝底宽 AD和斜坡 AB的长 精确到 0.1m （I ） 求 b 的值；名师归纳总结 （II ）求 sin C 的值例 4 如图 6-32 ,海岛 A的四周 8 海里内有暗礁,鱼船跟踪鱼群由第 5 页,共 6 页【构建新知】西向东航行, 在点 B 处测得海岛A 位于北偏东60 ,航行 12 海【活动 1】 阅读课本相关内容,熟悉实际测量中的有关名词和术语：里到达点 C 处,又测得海岛A 位于北偏东30 ,假如鱼船不改铅锤平面：变航向连续向东航行有没有触礁的危急？坡角：【课后检测】坡比：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1某人向正东方向走x

20、km 后,他向右转150 ,然后朝新方向走3 km,结果他离动身点恰好3 km,那学习必备欢迎下载么 x 的值为 A. 3 B2 3 C 2 3或 3 D3 2 已知船 A在灯塔 C北偏东 85 且到 C的距离为 2km,船 B在灯塔 C西偏北 25 且到 C的距离为 3km,就 A,B两船的距离为 A 2 3km B3 2km C. 15km D. 13km 3两座灯塔 A和 B与海洋观看站 C的距离都等于 a km,灯塔 A在观看站 C的北偏东 20 ,灯塔 B在观看站 C的南偏东 40 ,就灯塔 A与灯塔 B 的距离为 Aa km B. 3a km C. 2a km D2a km 4如图,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点 A,B,望对岸的标记物 C,测得 CAB30 , CBA75 , AB120 m,就河的宽度是 _5. 如图,一艘船上午800 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东30 处,之后它连续沿正北方向匀速航行,上午 830 到达 B 处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75 处,且与它相距42n mile ,就此船的航行速度是_n mile/h. 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页