2022年椭圆典型题型归纳.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 龙鳞数理化 高二数学精品教程椭圆典型题型归纳题型一 . 定义及其应用例 1. 已知一个动圆与圆C: x42y2100相内切,且过点A 4,0,求这个动圆圆心M的轨迹方程；例 2. 方程3 x2 1y2 1x2y2所表示的曲线是练习 ：1. 方程 x 3 2y 2 x 3 2y 26 对应的图形是A. 直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆2. 方程 x 3 2 y 2 x 3 2 y 2 10 对应的图形是A. 直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆3. 方程 x 2 y 3 2x 2 y 3 210 成立的充要条件是2 2 2 2 2 2 2

2、 2A. x y1 B. x y1 C. x y1 D. x y125 16 25 9 16 25 9 254. 假如方程 x 2 y m 2x 2 y m 2m 1 表示椭圆,就 m 的取值范畴是2 25. 过椭圆 9 x 4 y 1 的一个焦点 F 的直线与椭圆相交于 A B 两点,就 A B 两点与椭圆的另一个焦点 F 构成的 ABF 的周长等于；6. 设圆 x 1 2y 225 的圆心为 C ,A 1,0 是圆内肯定点,Q 为圆周上任意一点,线段AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M ,就点 M 的轨迹方程为；题型二 . 椭圆的方程一由方程讨论曲线例 1. 方程2 xy21的曲线

3、是到定点和的距离之和等于的1625点的轨迹；二分情形求椭圆的方程例 2. 已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3 倍,并且过点P 3,0,求椭圆的方程；MRgong 第 1页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 龙鳞数理化 高二数学精品教程三用待定系数法求方程例 3. 已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P 1 6,1、P 23,2,求椭圆的方程；例 4. 求经过点 2,3 且与椭圆9x24y236有共同焦点的椭圆方程；by2k1 kb2；注：一般地, 与椭圆x2y21共焦点的椭圆可设其方程为ax2k

4、a2b222四定义法求轨迹方程；例 5. 在ABC 中,A B C 所对的三边分别为a b c ,且B 1,0,C1,0,求满意 bac且 sinB,sinA ,sinC 成等差数列时顶点A的轨迹；练习：1.三角形 ABC 中, B-2,0,C2,0,AB 、AC 边上的中线长之和为30,求三角形ABC的重心的轨迹方程；2.已知动圆 C 和定圆 O：x-32 +y2 = 64 相内切,且A3,0在动圆 C 上,求动圆圆心的轨迹方程；五相关点代入法求轨迹方程；例 6. 已知 x 轴上肯定点A2 ,-3, Q 为椭圆x2y21上任一点,求AQ 的中点 M 的轨4迹方程；六直接法求轨迹方程；例 7.

5、 设动直线 l 垂直于 x 轴,且与椭圆x22y24交于A B 两点,点 P 是直线 l 上满意PA PB1的点,求点 P 的轨迹方程；第 2页MRgong 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 龙鳞数理化 高二数学精品教程七列方程组求方程例 8. 中心在原点,一焦点为F0,50的椭圆被直线y3x2截得的弦的中点的横坐标为1 2,求此椭圆的方程；题型三 . 焦点三角形问题例 1. 已知椭圆x2y21上一点 P 的纵坐标为5 3,椭圆的上下两个焦点分别为F 、F ,1625求PF 、PF 及cosF PF ；题型四 .

6、椭圆的几何性质例 1. 已知 P 是椭圆x2y21上的点,的纵坐标为5,F 、F 分别为椭圆的两个焦点,a2b23椭圆的半焦距为c ,就PF 1PF 2的最大值与最小值之差为例 2. 椭圆x2y21ab0的四个顶点为A B C D ,假设四边形ABCD 的内切圆a2b2恰好过焦点,就椭圆的离心率为1；PF F 2150,例 3. 假设椭圆x21y21的离心率为,就 kk42例 4. 假设 P 为椭圆x2y21 ab220上一点,F 、 2 F 为其两个焦点, 且abPF F 1750,就椭圆的离心率为题型五 . 求范畴例 1. 方程2 xmy21表示准线平行于x 轴的椭圆,求实数m 的取值范畴

7、；2 m2 1MRgong 第 3页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 龙鳞数理化 高二数学精品教程题型六 . 椭圆的其次定义的应用2 2例 1. 方程 2 x 1 y 1 x y 2 所表示的曲线是例 2. 求经过点 M 1,2,以 y 轴为准线,离心率为 1 的椭圆的左顶点的轨迹方程；22 2例 3. 椭圆 x y1 上有一点 P ,它到左准线的距离等于 5,那么 P 到右焦点的距离为25 9 22 2例 4已知椭圆 x y 1,能否在此椭圆位于 y轴左侧的部分上找到一点 M,使它到4 3左准线的距离为它到两焦点

8、 F 1 , F 距离的等比中项,假设能找到,求出该点的坐标,假设不能找到,请说明理由；例 5已知椭圆x2y21内有一点A1,1 ,F 、F 分别是椭圆的左、右焦点,点P 是95椭圆上一点求PA3 PF 22的最小值及对应的点P 的坐标题型七 . 求离心率2 2x y例1. 椭圆 2 2 1 a b 0 的左焦点为 F 1 c ,0, a ,0, 0, b 是两个顶点,a b假如 F 到直线 AB 的距离为 b ,就椭圆的离心率 e72 2例 2. 假设 P 为椭圆 x2 y2 1 a b 0 上一点,F 、F 为其两个焦点, 且 PF F 2,a bPF F 1 2,就椭圆的离心率为例 3.

9、 F 、F 为椭圆的两个焦点,过 F 的直线交椭圆于 P Q 两点,PF 1 PQ ,且名师归纳总结 PF 1PQ ,就椭圆的离心率为；第 4 页,共 12 页MRgong 第 4页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 龙鳞数理化 高二数学精品教程题型八 . 椭圆参数方程的应用2 2例1. 椭圆 x y1 上的点 P 到直线 x 2 y 7 0 的距离最大时,点 P 的坐标4 3例 2. 方程 x 2sin y 2cos 1 0 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 求 的取值范畴；题型九 . 直线与椭圆的关系1直线与椭圆的位置关系例 1.当 m 为何值时,直线l

10、:y0xm 与椭圆9x2,16y2144相切、相交、相离？a 的取例 2. 曲线2x2y222 a a与连结A 1,1B2,3的线段没有公共点,求值范畴；例 3. 过点P3,0作直线 l 与椭圆3x24y212相交于A B 两点, O 为坐标原点,求OAB 面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值；例4. 求 直 线xcosysin2和 椭 圆x23y26有 公 共 点 时 ,的 取 值 范 围0 ；二弦长问题名师归纳总结 例 1. 已知椭圆x22y212, A 是 x 轴正方向上的肯定点,假设过点A ,斜率为 1 的直线第 5 页,共 12 页被椭圆截得的弦长为413 3,求点 A的坐标；MRg

11、ong 第 5页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 龙鳞数理化高二数学精品教程A2,0；例 2. 椭圆ax2by21与直线xy1相交于A B 两点, C 是 AB 的中点,假设| AB|22, O 为坐标原点, OC 的斜率为2 ,求 2a b 的值；例 3. 椭圆x2y21的焦点分别是F 和F ,过中心 O 作直线与椭圆交于A B 两点,假设4520ABF 的面积是 20,求直线方程；三弦所在直线方程例 1. 已知椭圆x2y241,过点P2,0能否作直线 l 与椭圆相交所成弦的中点恰好是P ；164例 2. 已知始终线与椭圆x29y236相交于A B

12、两点, 弦 AB 的中点坐标为M1,1,求直线 AB 的方程；MRgong 第 6页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 龙鳞数理化高二数学精品教程的直线 l 与椭例 3. 椭圆 E 中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,其离心率e2,过点C 1,03圆 E 相交于A B 两点,且 C 分有向线段AB 的比为 2.1用直线 l 的斜率k k0表示OAB 的面积；2当OAB的面积最大时,求椭圆E 的方程解：1设椭圆 E 的方程为x2y21,由ec2, a 2=3b222a31|ab故椭圆方程x23y22 3 b ；设A x

13、 1,y 1,B x2,y 2,由于点C 1,0分有向线段AB 的比为 2x 12x21,即x 112y2 x21 3y 1y220y 123由x232 y3 b2消去 y 整理并化简得 3k2+1x2+6k2x+3k23b2=0 ykx1由直线 l 与椭圆 E 相交于A x y 1,B x 2,y2两点36 k44 3 k211 3 k22 b206 k2x 1x23 k2x 1x 23 k223 b23 k1而SOAB1|y 1y2|1| 2y 2y2|3|y2|3| k x 21 |3|k|x 222 22223|k| 1由得 :x 213 k1,代入得：SOABk0. 23 k22因S

14、OAB3|k|3|k3|1|33, 3 k21|2 32k当且仅当k3,SOAB取得最大值3MRgong 第 7页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 龙鳞数理化 高二数学精品教程此时 x 1 x 2 1,又x 1 2 x 2 1,x 1 1, x 2 2；3将 x x 及 k 2 1 代入得 3b2=5,椭圆方程 x 23 y 2532 2例 4. 已知 A x y 1 , B 1, y 0 , C x 2 , y 2 是椭圆 x y1 上的三点, F 为椭圆的左焦点,4 3且 AF , BF , CF 成等差数列,

15、就 AC 的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论；四关于直线对称问题2 2例 1. 已知椭圆 x y 1,试确定m的取值范畴,使得椭圆上有两个不同的点关于直线4 3y 4 x m 对称；例 2. 已知中心在原点,焦点在 y轴上,长轴长等于 6,离心率 e 2 2,试问是否存在直3线 l ,使 l 与椭圆交于不同两点A B ,且线段 AB 恰被直线x1平分？假设存在,求出2直线 l 倾斜角的取值范畴；假设不存在,请说明理由；题型十 . 最值问题例 1假设P 2,3,F 为椭圆x2y21的右焦点,点M 在椭圆上移动,求2516MPMF2的最大值和最小值；M 1分析：欲求MPMF 2的最大值和最小值

16、F1F2M 2 名师归纳总结 MRgong 第 8页第 8 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 龙鳞数理化 高二数学精品教程可转化为距离差再求；由此想到椭圆第肯定义o MF 2 2 a MF 1 , F 为椭圆的左焦点；解：MP MF 2 MP 2 a MF 1,连接 PF ,延长 PF 交椭圆于点 M 1,延长 F P 交椭圆于点 M 2 由三角形三边关系知 PF 1 MP MF 1 PF 1当且仅当 M 与 M 重合时取右等号、M 与 M 2 重合时取左等号；由于 2 a 10, PF 1 2,所以 MP MF 2 max 12 ,

17、MP MF 2 min 8；2 2结论 1：设椭圆 x2 y2 1 的左右焦点分别为 F 1 , F , P x 0 , y 0 为椭圆内一点,M x y , 为a b椭圆上任意一点,就 MP MF 2 的最大值为 2a PF ,最小值为 2a PF ；2 2例 2P 2,6 , F 为椭圆 x y 1 的右焦点,点 M 在椭圆上移动,求 MP MF 2 的25 16最大值和最小值；分析：点 P 在椭圆外,PF 交椭圆于 M ,此点使MPMF 2值最小,求最大值方法同例1；解：MPMF 2MP2 aMF 1,连接PF 并延长交椭圆于点M 1,M x y , 为就 M 在 M 1 处时MPMF

18、1取最大值PF ；MPMF2最大值是 10+37 ,最小值是41 ；结论 2 设椭圆x2y21的左右焦点分别为F 1,F ,P x 0,y0为椭圆外一点,a2b2椭圆上任意一点,就MPMF2的最大值为2aPF ,最小值为PF ; 2.二次函数法名师归纳总结 例 3求定点A a ,0到椭圆x2y21上的点之间的最短距离；,x y 的函数求最小值；第 9 页,共 12 页a2b2分析：在椭圆上任取一点,由两点间距离公式表示PA ,转化为解：设P x y 为椭圆上任意一点,PA2xa 2y2xa211x21x2 21a222MRgong 第 9页- - - - - - -精选学习资料 - - - -

19、 - - - - - 龙鳞数理化 高二数学精品教程由椭圆方程知 x 的取值范畴是 2, 21假设 a2 2,就 x 2 a 时,PA min 1 a 222假设 a ,就 x 2 时 PA min a 223假设 a 2,就 PA min a 222 2结论 3：椭圆 x2 y2 1 上的点 M x y , 到定点 Am,0 或 B0,n 距离的最值问题,可以用a b两点间距离公式表示MA 或 MB ,通过动点在椭圆上消去 y 或 x,转化为二次函数求最值,留意自变量的取值范畴；3.三角函数法例 4求椭圆x2y21上的点M x y 到直线l:x2y4的距离的最值；42解：三角换元dx2y4x2

20、y21令x2cosR52ysin4就d2cos2sin422 sin4255当 sin41时dmin4 552 10；当 sin41时 ,dmax4 52 105结论 4：假设椭圆x2y21上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参a2b2数方程,统一变量转化为三角函数求最值；4.判别式法例 4 的解决仍可以用下面方法把直线平移使其与椭圆相切,有两种状态,一种可求最小值,另一种求最大值；名师归纳总结 解；令直线m x2yc0将x2yc 代入椭圆方程整理得8y24cyc240,第 10 页,共 12 页由 =0 解得c2 2, c2 2时直线m x2y220与椭圆切于点P,就 P 到

21、直线 l 的距离为最小值,且最小值就是两平行直线m 与 l 的距离,所以dmin4 52 10；5MRgong 第10页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 龙鳞数理化 高二数学精品教程c 2 2 时直线 m x 2 y 2 2 0 与椭圆切于点 Q,就 Q 到直线 l 的距离为最大值,且最大值就是两平行直线 m 与 l 的距离,所以 d max 4 5 2 10；5结论 5：椭圆上的点到定直线 l 距离的最值问题 ,可转化为与 l 平行的直线 m 与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线 m 方程,再利用平行线间的距离公式求出最值；2 2例 5. 已知定点

22、A 2, 3,点 F 为椭圆 x y1 的右焦点,点 M 在该椭圆上移动时,16 12求 AM 2 MF 的最小值,并求此时点 M 的坐标；其次定义的应用2 2例 3已知 F 、F 分别为椭圆 x y1 的左、右焦点,椭圆内一点 M 的坐标为 2, 6 ,100 64P 为椭圆上的一个动点,试分别求：1PM5 3PF 2的最小值；2PMPF 的取值范畴综上可知,PMPF 的取值范畴为 10,30 ; 三角形法：椭圆x2y21b2=5, a25的左焦点为F,直线 x=m 于椭圆相交于点A,B, 三角形 FABa2b2的周长的最大值为12, 就该椭圆的离心率为题型十一 .轨迹问题例 1到两定点 2

23、,1 , 2, 2 的距离之和为定值 5 的点的轨迹是 A椭圆 双曲线 直线 线段例 2已知点 A 3,0,点 P 在圆 x 2y 21 的上半圆周上 即 y0,AOP 的平分线交 PA于 Q,求点 Q 的轨迹方程；名师归纳总结 MRgong 第11页第 11 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 龙鳞数理化C高二数学精品教程100及点A 3,0, P 是圆 C 上任一点,线段PA 的垂直平例 3.已知圆: x32y2分线 l 与 PC 相交于 Q 点,求 Q 点的轨迹方程；题型十二 . 椭圆与数形结合例 1关于 x 的方程2t242x26kx2 k0有两个不相等的实数解,求实数k 的取值范畴 . 例 2求函数t 的最值；MRgong 第12页名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页