2022年二维形式的柯西不等式.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二维形式的柯西不等式教学目标：1.熟识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式,懂得它们的几何意义2.通过对二维柯西不等式多种形式的证明,把握它们之间的关系,进一步懂得柯西不等式的意义教学重难点：重点：柯西不等式的三种形式难点：柯西不等式的应用教学过程：一.新课引入数学讨论中, 发觉了一些不仅形式美丽而且具有重要应用价值的不等式,称之为经典不等式；平均值不等式a 1a2nLa nna a2Lan11nL1a a 2,L,anRa 1a2an排序不等式 都是我们今日将学习 柯西不等式 仍有后面要学到的这样的经典不等式；

2、二.新课讲解第一我们从学习过的向量的角度来探究：ur ur【问题 1】已知两向量 ,它们之间的夹角为ur ur ur ur与 的大小关系；ur ur ur ur ur ur ur ur分析：cos cosur【问题 2】如在平面直角坐标系 xOy中 , ,ur0ur ,判定ur,用坐标表 , 示上述关系式；名师归纳总结 分析：acbda22 bc2d2a2b2 c2d2acbd2第 1 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载bc0adbc【问题 3】摸索上述不等式的等号何时成立？ur ur分析： cos 1 0 或 / / a

3、d所以我们得到这样一个不等式a2b2 c2d2acbd2当且仅当 adbbc时,等号成立这个不等式直观上很像我们熟识的重要不等式a222ab ,都是反映实数的平方和与乘积大小的关系,让同学们类比讨论证明一下；名师归纳总结 证明一（比较法）：a2b2 c2d2acbd2第 2 页,共 5 页a c 22a d 22b c 22b d 22a c 22b d 222acbda d 22b c 222 acbd adbc20当且仅当 adbc时等号成立证明二（综合法）：a2b2 c2d22 a c22 b d22 a d22 b c2=2 a c22 ac bd2 b d22 a d22 ad bc

4、2 b c2=acbd2adbc 2acbd2当且仅当 adbc时等号成立证明三：分析：设Aa2b , Bacbd ,Cc 2d2即要证ACB2这与函数f x Ax22BxC 的判别式4B24AC 亲密相关,就构造f x a2b22 x2acbd xc2d2当ab0时,a2b2 c2d2acbd2明显成立,此时 adbc当a b中至少有一个不为0 时,a2b20f x 2 a x22acxc22 b x22 bdxd2axc2 bxd20恒成立由于a22 b0,所以4acbd24a2b2 c2d20- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即a学习必备2欢迎下

5、载d2acbd22b c 2此时要等号成立,那么fx有唯独零点,即有唯独实数 x 使axc00abxbc0bxd0ab xad0adbcadbc【证法三相比前两种方法复杂的多,我在此加入的目的是为了后面讲解一般形式的柯西不等式证明时, 能先让同学们以此为基础自主探究试一试,也使同学们能更好的明白证明的思路, 由简入繁、举一反三；】此不等式就是柯西不等式的最简形式,即二维形式的柯西不等式；定理 1. （二维形式的柯西不等式）如2a,b,c,d都是实数,就bd2a2b2 c2dac当且仅当 ad=bc 时,等号成立；这就是二维柯西不等式的代数形式,式的向量形式而前面对量推导正好是柯西不等ur ur

6、定理 2. 柯西不等式的向量形式 设 , 是两个向量,就ur ur ur urur ur ur当且仅当 是零向量,或存在实数 k,使 k 时,等号成立；2 2 2 2 2注：“ 二维” 指的是 a b c d ac bd 与二维向量相对应,所以称之为二维形式的柯西不等式；二维形式的柯西不等式的变形式a2b 2c2d2acbda2b2c2d2acbd当且仅当 ad=bc 时,等号成立；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载x 1,y 1,x2,y2,【探究】在平面直角坐标系中, 设P P 的坐标分别为依据

7、OPP 的边长关系,你能发觉 x 1 , y x 2 , y 这 4 个实数蕴涵着何种大小关系吗？OP 1 OP 2 PP 1 2P x 1 1 , y 1 x 1 2y 1 2x 2 2y 2 2 x 1 x 2 2 y 1 y 2 2当且仅当 O P P 三点共线且 P P 在 O 两P x 2 2 , y 2 旁时等号成立 P x 1 1 , y 1 O O P x 2 2 ,y 2定理 3. （二维形式的三角不等式,也叫柯西不等式的三角形式）设x 1,y x 2,y R,那么2 y 2x 1x 22y 1y 222 x 12 y 12 x 2分析：运用柯西不等式证明, 关键设法构造两数

8、平方和乘另两数平方和的形式；证明：2 x 12 y 12 x 22 y 222 x 12 y 12 x 22 y 222 x 12 y 12 x 22 y 222 x 12 y 12 x 22 y 2x x 2y y 22 x 12x x 1 2x22 y 12y y 1 22 y 2所以2 x 12 y 12 x 22x 1x 22y 1y22y 222 y 2x 1x 22y 1推广：二维形式的三角不等式x 1x 32y 1y 32x 2x 32y 2y 32x 1x 22y 1y 22三. 例题讲解【例 1】已知 a,b 为实数,证明a4b4a2b2a3b32 . 分析：形式与二维形式的

9、柯西不等式具有明显的一样性,因此比较容易考虑到应用柯西不等式进行证明；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 2】设a bR,ab学习必备欢迎下载141, 求证：1 ab分析：此题可用均值不等式证明,柯西不等式又供应一种证明方法；【例 3】求函数 y 3 x 5 4 6 x 的最大值；分析：函数解析式化成 ac+bd的形式,弄清对应于柯西不等式中 a,b,c,d2 2 2 2的 4 个数,要设法使 a b c d 化为常数,才能求出函数的最大值；【练习】求函数y5x1102x 的最大值；三. 课堂练习：课本 P36习

10、题 3.1 34 四. 课堂小结定理 1. （柯西不等式的代数形式）如 a,b,c,d 都是实数,就2 2 2 2 2 a b c d ac bd 当且仅当 ad=bc 时,等号成立；ur ur定理 2. 柯西不等式的向量形式 设 , 是两个向量,就ur ur ur urur ur ur当且仅当 时零向量,或存在实数 k,使 k 时,等号成立；定理 3. （柯西不等式的三角形式）设 x 1 , y x 2 , y R,那么2 2 2 2 2 2x 1 y 1 x 2 y 2 x 1 x 2 y 1 y 2 摸索题：试着写出三维形式的柯西不等式和三角不等式,想一想怎么证明呢？五. 作业：习题 P36习题 3.1679 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页