2022年一元二次方程的有理数根、公共根与整数根整合.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载一元二次方程的有理根总结求一元二次方程的有理根、整数根问题常与一元二次方程根的判别式发生联系,也就是说,常常利用根的判别式为完全平方数来争论；21、 假如 x m 1 x 1 是完全平方式,求 m 的值2、 如 a 2 2005 是整数,求全部满意条件的正整数 a 的值2 23、关于x , y 的方程 x xy 2 y 29 有整数解,求满意条件的 x, y 的值24、设 k 为整数,且 k 0,方程 kx k 1 x 1 0 有有理根,求 k 的值；2 25、当q 是什么实数时,对于任意有

2、理数 p ,方程 2 x p 1 x 3 p 4 p q 0 有有理根？26、已知关于x 的方程 a 1 x 2 x a 1 0 的根都是整数,那么符合条件的整数 a 有_个；27、已知a 是正整数,且使得关于 x 方程 ax 2 2 a 1 x 4 a 3 0 至少有一个整数根；求 a 的值；28、试确定一切有理数 r ,使得关于 x 的方程 rx r 2 x 3 r 2 0 有根且只有整数根；9、试确定一切有理数 r,使得关于 x 的方程 rx2+ （r+2）x+r-1=0 有根且只有整数根2 210、已知p 为质数,使一元二次方程 x 2 px p 5 p 1 0 的两根都是整数,求出

3、p 的全部可能值；211、已知 p q 198,求方程 x px q 0 的整数根；2 2 2 212、设关于x 的二次方程 k 6 k 8 x 2 k 6 k 4 x k 4 的两根都是整数；求满意条件的全部实数k的值；13、已知关于x 的方程x212mxm10的两个根都是正整数,求m 的值；一元二次方程的公共根与整数根一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根,代入原方程 和公共根二、整数根问题 两个或以上 ,然后通过恒等变形求出参数的值对于一元二次方程ax2bxc0 a0的实根情形,可以用判别式b24ac 来判别,但是对于一个含参数的一元二次方程来说,要判定它是否有整数根或有

4、理根,那么就没有统一的方法了,只能详细问题详细分 析求解,当然,常常要用到一些整除性的性质求有整数根的二次方程中,参数问题,要依据方程的结构特 点,设法将二次方程转化为两个一次式,再依据整数根确定其解；其转化途径：或直接分解因式；或利用根与系数的关系；或利用求根公式；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载求二次方程的整数根常用的数学思想方法是分类争论,但在运用时,要详细问题详细分析；

5、方程有整数根的条件：假如一元二次方程ax2bxc0 a0有整数根,那么必定同时满意以下条件：b24 ac 为完全平方数；4ac2ak ,其中 k 为整数b2 b4 ac2 ak 或bb2以上两个条件必需同时满意,缺一不行另外,假如只满意判别式为完全平方数,就只能保证方程有有理根 三、方程根的取值范畴问题 其中 a 、 b 、 c 均为有理数 先使用因式分解法或求根公式法求出两根,然后依据题中根的取值范畴来确定参数的范畴例题一、一元二次方程的公共根例 1 求 k 的值,使得一元二次方程x2kx10,x2x k20有相同的根,并求两个方程的根例 2 设a b c 为ABC 的三边,且二次三项式x2

6、2ax2 b 与2 x2 cx2 b 有一次公因式,证明：ABC 肯定是直角三角形例 3 三个二次方程 ax 2bx c 0,bx 2cx a 0,cx 2ax b 0 有公共根 求证：a b c 0；3 3 3 求 a b c 的值abc2 2例 4 试求满意方程 x kx 7 0 与 x 6 x k 1 0 有公共根的全部的 k 值及全部公共根和全部相异根2 2 2例 5 二次项系数不相等的两个二次方程 a 1 x a 2 x a 2 0 和b a b 1 x 2 b 22 x b 22 0 其中 a , b 为正整数 有一个公共根,求 ab ba 的值a b二、一元二次方程的整数根例 6

7、： k 为什么实数时,关于x 的方程6k9k x211715 k x540的解都是整数？k 的值有例 7：如关于x 的方程6k9k x211715k x540的解都是整数,就符合条件的整数_个例 8：已知 a 是正整数,假如关于x 的方程x3a17x238a x560的根都是整数,求a 的值及方程的整数根练习 1、如 k 为正整数,且关于k 的方程k221x263k1x720有两个相异正整数根,求k 的值k练/2 、关于 x 的二次方程k26 k8x22k6 k4xk24的两根都是整数 求满意条件的全部实数的值练/3 、当 m 为何整数时,方程2x25 mx22 m5有整数解 第 2 页,共

8、6 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载练习 /4 已知关于 x 的方程 4 x 28 nx 3 n 2 和 x 2 n 3 x 2 n 22 0,是否存在这样的 n 值,使第一个方程的两个实数根的差的平方等于其次个方程的一整数根？如存在,恳求出这样的 n 值；如不存在,请说明理由练习 /5 求全部有理数 r ,使得方程 rx 2 r 1 x r 1 0 的全部根是整数2练习 6/ 已知关于 x 的方

9、程 x a 6 x a 0 的两根都是整数,求 a 的值练习 7、已知 k 为常数,关于 x 的一元二次方程 k 22 k x 24 6 k x 8 0 的解都是整数,求 k 的值练/8 、已知 p 为质数,二次方程 x 22 px p 25 p 1 0 的两根都是整数,恳求出 p 的全部可能的值练/9 已知 12 m 40,且关于 x 的二次方程 x 22 m 1 x m 20 有两个整数根,求整数 m a b m 2练习 10、如始终角三角形两直角边的长,a 、 b a b 均为整数,且满意试求这个直角三ab 4 m角形的三边长练习 11、关于 x 的方程 ax 22 a 3 x a 2

10、0 至少有一个整数解,且 a 是整数,求 a 的/1 练 习 12 、 已 知 方 程 ax 23 a 28 a x 2 a 213 a 15 0 a 是 非 负 整 数 至 少 有 一 个 整 数 根 , 那 么a2 2 2练/13 、当 m 是什么整数时, 关于 x 的一元二次方程 mx 4 x 4 0 与 x 4 mx 4 m 4 m 5 0 的根都是整数2 2练/14 、设 m 为整数,且 4 m 40,方程 x 2 2 m 3 x 4 m 14 m 8 0 有两个整数根,求 m 的值及方程的根练/15 、当 m 为何整数时,方程2x25mx2 m25有整数解练 /16 、 已 知 方

11、 程2 ax3 a28a x2 a213a150 a 是 非 负 整 数 至 少 有 一 个 整 数 根 , 那 么a9k x211715k x540的解都是整数,就符合条件的整数k 的值有练/17 、如关于 x 的方程6k_个细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -/18 设方程mx2m2x m3精品资料欢迎下载a 的0有整数解,试确定整数m 的值,并求出这时方程全部的整数解19 已知 a 是正整数,

12、且使得关于x 的一元二次方程ax222a1x4a30至少有一个整数根,求值20 已知关于 x 的方程2 a x23 a28 a x22 a13 a150 其中 a 是非负整数 至少有一个整数根, 求 a 的值21 已知 b , c 为整数,方程 5 x 2bx c 0 的两根都大于 1且小于 0 ,求 b 和 c 的值22 已知 a ,b 都是正整数, 试问关于 x 的方程 x 2abx 1 a b 0 是否有两个整数解？假如有,恳求出来；2假如没有,请给出证明2 223 已知方程 x bx c 0 及 x cx b 0 分别各有两个整数根 x 1 , x 及 x 1 , x ,且 x x 2

13、 0,x x 2 0 求证：x 1 0,x 2 0,x 1 0,x 2 0； 求证：b 1cb 1； 求 b , c 全部可能的值24 设 p、q 是两个奇整数,试证方程 x 22 px 2 q 0 不行能有有理根25 试证不论 n 是什么整数,方程 x 216 nx 7 s0 没有整数解,方程中的 s 是任何正的奇数3 3 2 226 求方程 a b ab 2 a 2 b 4 0 的全部整数解x y a 2 x27 已知 a 为整数,关于 ,x y的方程组 2 3 的全部解均为整数解,求 a 的值xy a 1 x 2 a 228 求方程 2 x y2 3 的全部正整数解x xy y 73 2

14、 2 3 2 229 求全部的整数对 x , y ,使 x x y xy y 4 x 4 xy 4 y 4730 设 m 是不为零的整数,关于 x 的二次方程 mx 2 m 1 x 1 0 有有理根,求 m 的值2 2 231 当 m 是什么整数时, 关于 x 的一元二次方程 mx 4 x 4 0 与 x 4 mx 4 m 4 m 5 0 的根都是整数细心整理归纳 精选学习资料 第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -32 a 是

15、正整数,关于x 的方程精品资料欢迎下载k3 x a17x238a x560的根都是整数,求a 的值及方程的整数根33 已知a b 是实数,关于x,y 的方程组yx3ax2bx有整数解 ,y ,求a b 满意的关系式yaxb34 已知 p 为质数,使二次方程x22px2 p5p10的两根都是整数,求出全部可能的p 的值35 设关于 x 的二次方程k26k8x22k26k4xk24的两根都是整数,求满意条件的全部实数的值36 b 为何值时,方程 x 2bx 2 0 和 x 22 x b b 1 0 有相同的整数根？并且求出它们的整数根？37 已知关于 x 的方程 a 1 x 22 x a 1 0

16、的根都是整数,那么符合条件的整数 a 有_ 个38 求全部正实数 a ,使得方程 x 2ax 4 a 0 仅有整数根39 方程 x a x 8 1 0 有两个整数根,求 a 的值40 求全部的正整数 a , b , c 使得关于 x 的方程2 2 2x 3 ax 2 b 0, x 3 bx 2 c 0, x 3 cx 2 a 0 的全部的根都是正整数241 n 为正整数,方程 x 3 1 x 3 n 6 0 有一个整数根,就 n _242 求出全部正整数 a ,使方程 ax 22 a 1 x 4 a 3 0 至少有一个整数根43 已知方程 a 21 x 225 a 1 x 24 0 有两个不等

17、的负整数根,就整数 a 的值是 _44 不解方程,证明方程2 x1997x19970无整数根 第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - 45 已知方程x21999xa0有两个质数根,就常数a_46 已知方程x2mxm10有两个不相等的正整数根,求m的值47 当 m 是什么整数时,关于x 的方程x2 m1xm10的两根都是整数？48 设方程2 mxm2x m30有整数解,试确定整数m 的值,并求出这时方程全部的整数解细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -49 已知 a 是正整数,假如关于x 的方程x3精品资料2 x欢迎下载560的根都是整数,求a 的值及方程的a1738a x整数根50 如 k 为正整数,且关于k 的方程k212 x6 3 k1x720有两个相异正整数根,求k 的值 第 6 页,共 6 页 51 设 a 为质数, b, 为正整数,且满意求 a bc 的值9 2 a2 bc2509 4a1022b511 cbc2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -