2022年浙教版八年级数学下册-第章-二次根式-知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 奔腾训练个性化辅导讲义 学问点一：二次根式的概念【学问要点】二次根式的定义：形如13的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一个非负数时,才有意义【例 2】 假设式子有意义,就x 的取值范畴是x举一反三：1、使代数式x22x1有意义的 x 的取值范畴是P m, n的位置在2、假如代数式m1 mn有意义,那么,直角坐标系中点A、第一象限B、其次象限C、第三象限D、第四象限【例 3】 假设 y=x5+5x+2022,就 x+y= 解题思路：式子a a 0,x50, 0x5, y=2022,就 x+y=2022 x,小数部分为y,求x21的值 .

2、5x举一反三：1、假设x11xxy2 ,就 xy 的值为A 1 B 1 C 2 D 3 3、当 a 取什么值时,代数式2a1 1 取值最小,并求出这个最小值；已知 a 是5整数部分, b 是5的小数部分,求ab12的值；假设17的整数部分为y学问点二：二次根式的性质【学问要点】1. 非负性：是一个非负数留意：此性质可作公式记住,后面根式运算中常常用到2. a 2 a a 0 留意：此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3. a2

3、| |a a0 留意： 1字母不肯定是正数a a02能开得尽方的因式移到根号外时,必需用它的算术平方根代替 3可移到根号内的因式,必需是非负因式,假如因式的值是负的,应把负号留在根号外 4. 公式a2| |a a0 与 a2a a0 的区分与联系2 a2 表示一个数的算术平方根的平方,a 的范畴是非负a a01a2 表示求一个数的平方的算术根,a 的范畴是一切实数数 3a2 和 a2 的运算结果都是非负的【典型例题】【例 4】 假设a2b3c420,就abc举一反三： 1、已知直角三角形两边x、 y 的长满意 x24y25y6 0,就第三边长为. 2、假设ab1与a2 b4互为相反数,就ab2

4、005_；公式a2a a0 的运用【例 5】 化简：a1a32的结果为A、 42a B 、0 C、2a4 D 、4 举一反三：3 已知直角三角形的两直角边分别为2和5,就斜边长为 公式a2aa a0的应用a a0【例 6】 已知x2, 就化简x24x4的结果是A、x2 B、x2C、x2D、 2x举一反三：2、化简42 x4x12 x32得A2 B4x4 C 2 D 4x4a123、已知a0,化简求值：4 a124aa2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 7】 假如表示 a,b 两个实数的点在数轴上的位置如下图,

5、那么化简a b +ab2的结果等于 A 2b B2b C 2a D2a baoa2 1 举一反三： 实数 a 在数轴上的位置如下图：化简：a1a22_【例 8】 化简1xx28x16的结果是 2x-5 ,就 x 的取值范畴是4101Ax 为任意实数B1x 4 C x1 Dx 1 举一反三： 假设代数式2a2a42的值是常数 2 ,就 a 的取值范畴是a4a2 2a4a2或a【例 9】 假如aa22a11,那么 a 的取值范畴是 A. a=0 B. a=1 C. a=0或 a=1 D. a举一反三：1、假如aa26 a93成立,那么实数a 的取值范畴是3211a；A a0B.a3 ;C.a3 ;

6、D.a32、假设x3 2x30,就 x 的取值范畴是 Ax3Bx3Cx3Dx【例 10】化简二次根式aa22的结果是aa Aa2 Ba2 Ca2 D1、把根号外的因式移到根号内：当b 0 时,bx； a1x学问点三：最简二次根式和同类二次根式【学问要点】1、最简二次根式： 1最简二次根式的定义：被开方数是整数,因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式2、同类二次根式可合并根式：几个二次根式化成最简二次根式后,假如被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式；【典型例题】【例 11】以下根式中能与 3是合并的是 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页

7、,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - A.8 B. 275 D. 12举一反三：1、以下各组根式中,是可以合并的根式是1 和a1 A 、3 和18 B 、3 和1 C、2 a b 和2 ab D 、a32、假如最简二次根式3a8与172 a能够合并为一个二次根式, 就 a=_. 学问点四：二次根式运算分母有理化【学问要点】1分母有理化 定义： 把分母中的根号化去,叫做分母有理化；2有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘,假如它们的积不含有二次根式,a就说这两个代数式互为有理化因式；有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用aaa来确定,如：a 与a,b 与ab,ab与

8、ab等分别互为有理化因式；两项二次根式：利用平方差公式来确定；如ab与ab,ab 与ab, axby 与axby分别互为有理化因式；3分母有理化的方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式；最终结果必需化成最简二次根式或有理式；【典型例题】【例 12】 把以下各式分母有理化（1）a25 b 2532 b5 a53举一反三：1、已知x23,y23,求以下各式的值：1x xy2x23xy2 y2323y学问点五：根式比较大小【学问要点】4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - -

9、 - 1、根式变形法当a0,b0时,假如 ab ,就ab；假如 ab ,就ab；2、平方法当a0,b0时,假如a2b,就 ab；假如a2b,就 ab；3、分母有理化法通过分母有理化,利用分子的大小来比较；4、分子有理化法通过分子有理化,利用分母的大小来比较；5、倒数法6、媒介传递法 适当挑选介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较；7、作差比较法在对两数比较大小时,常常运用如下性质：ab0ab ；ab0ab8、求商比较法它运用如下性质：当a0,b0 时,就：a1ab；a1abbb【典型例题】【例 13】 比较 3 5 与 5 3 的大小；【例 14】比较21与1 21的大小；3【例 15】比

10、较76与65的大小；【例 16】 比较73与873的大小；已知：,求的值二次根式和一元二次方程经典练习题1. 把a1的根号外的因式移到根号内等于；_；1aa1a2. 假设ab1与a2 b4互为相反数,就ab20053. 假设 2a3,就2a2a32等于a11a D. A. 52a B. 12a C. 2a5 D. 2a14. 假设a1,就1a3化简后为1a C. A. a1a1 B. 1a5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 25. 运算：2 a 1 1 2 a 的值是A. 0 B. 4 a 2 C. 2 4a

11、D. 2 4a或4 a 26. 假设 4y2 x 2y成立,就 x、 y 符合的条件是A. x0,y 0 B. x0, y 为一切实数C. x0, y 0 D. 以上都不对7. 假设 2 m n 2 和 3 3 m 2 n 2 都是最简二次根式,就 m _, n _；8. 已知 xy 0,化简二次根式 xx 2 y 的正确结果为 A. y B. y C. y D. y9. 假设 1 x 2,就 4 4 x x 2x 22 x 1 化简的结果是 A. 2 x 1 B. 2 x 1 C. 3 D. -3 10. 假设 18 x 2 xx 210,就 x 的值等于2 x A. 4 B. 2 C. 2

12、 D. 411. 假设 3的整数部分为x,小数部分为 y,就 3x y的值是 A. 3 3 3 B. 3 C. 1 D. 3 a 1 2 a 5 与 3 b 4 a 是同类二次根式,就 a _, b _；假设最简二次根式 34 a 21 与 26 a 21 是同类二次2 3根式,就 a _；13、以 - 3 和 7 为根且二次项系数为 1 的一元二次方程是2 214、假如 x 2 m 1 x m 5 是一个完全平方式,就 m _15、已知 x 1,x 2 是一元二次方程 4 x 23 m 5 x 6 m 20 的两个实数根,且 | x 1| 3,就 m=_x 2 2216、已知 x 1,x 2

13、 是方程 4 ax 4 ax a 4 0 的两实根,是否能适当选取 a 的值,使得 x 1 2 x 2 x 2 2 x 1 的值等于 5_4217、关于 x 的二次方程 mx 2 m 1 x 4 0 m 0 的两根一个比 1 大,另一个比 1 小,就 m 的取值范畴是 _218、已知二次方程 kx 2 k 3 x k 10 0 的两根都是负数,就 k 的取值范畴是 _2 219、方程 x 2 m 1 x m 4 0 的两个实根,且这两根的平方和比这两根之积大 21,那么 m = _220、一元二次方程 x 5 x k 0 的两实根之差是 3,就 k _21、已知实数 x 满意 x 2 12 x

14、 10,那么 x 1的值是x x x6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - A1 或- 2 B - 1 或 2 C1 D- 2 22、关于 x 的方程2x22txt0的两实根满意x 11 x212,就t41的值是的根的情形t1A- 5 B5 C- 9 D -15 c 23、已知 a 、 b 、 c 为 ABC的三边,试判定关于x的方程bc x22axbc0 b24、已知x 1,x 2是关于 x 的方程x2kx1kk4 0的两个实根, k 取什么值时,x 12x 22374425、已知关于 x 的方程x2kxk2n0有两

15、个不相等的实数根x 、x ,且2x 1x 282x 1x 21501求证：n02试用 k 的代数式表示1x 3当n03时,求 k 的值2x 2211,求 a 的值26、已知：x 、x 2是关于 x 的方程x22 a1x2 a的两个实数根且x 127、已知关于 x 的一元二次方程x24 m1x2m101求证：不管 m 为任何实数, 方程总有两个不相等的实数根 2假设方程两根为x 、x 2,且满意111,求 m 的值x 1x 227 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 28、已知关于 x 的方程x2k1 x1k210的两根是一个矩形两邻边的长1 k 取何值时,方程在两个实数根；24当矩形的对角线长为5时,求k的值29. 322000322001_；30. 运算及化简：. a abbab,2ab32a2abbabbax3ayb,求ab2 xyaabbabab23 x231、已知：2 x y3的值；4 x y23 2x y323232、已知：a1110,求a21的值；aa233、已知：,x y 为实数,且yx11x3,化简：y3y28y16；34、已知x3y3x290,求x1的值；x2y18 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页