2022年解析几何第四版复习重点第四章柱面锥面旋转面与二次曲面.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 4.1 柱面2、设柱面的准线为xy202 z,母线垂直于准线所在的平面,求这柱面的方程；x2z解：由题意知：母线平行于矢量,1,02任取准线上一点M0x0,y 0,z,过M0的母线方程为：xx 0tx 0xtyy0y0yzz 02 tz 0z2 t而M 在准线上,所以：xty2z2 t2消去 t ,得到：4x225y2xt2 z2 tz24xz20x10z0此即为所求的方程；3、求过三条平行直线xyz ,x1yz,1与x1y1z2的圆柱面方程；解 ： 过 原 点 且 垂 直 于 已 知

2、三 直 线 的 平 面 为xyz0： 它 与 已 知 直 线 的 交 点 为0 ,0,0,10,1 ,1,1,4, 这 三 点 所 定 的 在 平 面xyz0上 的 圆 的 圆 心 为333M02,11,13,圆的方程为：151515298x22y112z1315151575xyz0此即为欲求的圆柱面的准线；名师归纳总结 又过准线上一点M1x 1,y 1,z 1,且方向为,1,11的直线方程为：z0第 1 页,共 9 页将此式代入准线方程,并消去xx 1tyzx 1xtyy 1ty 1ytzz 1tz 1ztt 得到：zx 2x11y135 x2y2z2xy- - - - - - -精选学习资

3、料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载此即为所求的圆柱面的方程； 4.2 锥面2、已知锥面的顶点为3,1,2,准线为x2y2z21 ,xyy4zz40,试求它的方程；0解：设Mx ,y,z为要求的锥面上任一点,它与顶点的连线为：X3Y1Z2x3y1z2令它与准线交于X0,Y 0,Z0,即存在 t ,使4X03x3 tY 01y. tZ 02z2 t将它们代入准线方程,并消去t 得：3x25y27z26xy2yz10xz4x此为要求的锥面方程；4、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程；解：（这里仅求、卦限内的圆锥面,其余类推）圆锥的轴 l 与i,j,k等角,故 l 的方向数为1:

4、1:1 1,00, ,01,0,0,01,与 l 垂直的平面之一令为xyz1该圆上已知三点平面xyz1在所求的锥面的交线为一圆,该圆的圆心为1,1,1,故该圆的方程为：3332z1222x12y13333xyz1它即为要求圆锥面的准线；名师归纳总结 对锥面上任一点Mx,y ,z ,过 M 与顶点 O 的母线为：xt,Y 0yt,Z0zt,将它们代入第 2 页,共 9 页令它与准线的交点为X0XYZxyz,Y 0,Z0,即存在 t ,使X0准线方程,并消去t 得：xyyzzx0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载此即为要求的圆锥面的方程；

5、5、求顶点为,12,4,轴与平面2x2yz0垂直, 且经过点3 ,2 ,1 的圆锥面的方程；解：轴线的方程为：x21y22z42z101161过点 3,2 ,1 且垂直于轴的平面为：32y2x即：2x2yz1102,1 的距离为：该平面与轴的交点为11,20,37,它与,399922022371 2d113 9993要求圆锥面的准线为：x112y202z037 92x116Y 02y2t,9992x2yz110对锥面上任一点Mx,y ,z ,过该点与顶点的母线为：4X1Y2Z1 t,x1y2z4令它与准线的交点为X0,Y 0,Z0,即存在 t,使X1516y252z12990Z04z4 t将它

6、们代入准线方程,并消去t得：51x251y12z2104xy52yz52zx518x 4.3 旋转曲面1、求以下旋转曲面的方程：名师归纳总结 （1）；x11y1z21绕xzyz1旋转第 3 页,共 9 页1112（2）；xyz1绕xy1旋转211112（3）x11yz 绕 z 轴旋转；33- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （4）空间曲线z2x221学习必备欢迎下载绕 z 轴旋转；xy解：（1）设M1x 1,y z 1是母线x11y1z1上任一点,过M 的纬圆为：12xx 1yy 12zz 101x22 yz2 12 x 1y 12z 12 12又M 在

7、母线上；4yz4xz4x4y4z80x 11y 11z 11112从（ 1）（ 3）消去x 1,y z ,得到：5x25y222 z2xy此为所求的旋转面方程；（2）对母线上任一点M1x 1,y z 1,过M 的纬圆为：2 1y1230xx 1yy 12zz 10x22 yz2 12 x 1y 12z 12因M 在母线上,x 1y 1z 113 211x24从（ 1）（ 3）消去x 1,y z ,得到：46z52 x5y2232 z12xy24yz24xz24此为所求的旋转面的方程；（3）对母线上任一点M1x 1,y z 1,过该点的纬圆为：901zz 12 xy22 zx 122 y 12

8、z 12又M 在母线上,所以：x 111y 1z 1（3）33从（ 1）（ 3）消去x 1,y z ,得到：9x2y210z26z此为所求的旋转面方程；名师归纳总结 （4）对母线上任一点M1x 1,y z 1,过M 的纬圆为：第 4 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - zz 1学习必备欢迎下载1x22 yz22 x 12 y 1z 1221又M 在母线上,所以z 12 x 112 x 1y 1212从（ 1）（ 3）消去x 1,y z ,得到：x2y21zz 1x 1210z1即旋转面的方程为：x2y21 0z4.4 椭球面2、设动点与点

9、1,0,0 的距离等于从这点到平面 x 4 的距离的一半,试求此动点的轨迹；解：设动点 M , , x y z ,要求的轨迹为,就2 2 2 1 2 2 2M , , x 1 y z x 4 3 x 4 y 4 z 1222 2 2即：x y z 14 3 3此即为 的方程；2 2 2x y z3、由椭球面 2 2 2 1 的中心（即原点）,沿某肯定方向到曲面上的一点的距离为 r ,a b c设定方向的方向余弦分别为 , ,试证：2 2 212 2 2 2r a b c证明：沿定方向 , , 到曲面上一点,该点的坐标为 r , r , r 该点在曲面上名师归纳总结 即r222ar2222r22

10、1第 5 页,共 9 页a2bbc21222c2r2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4、由椭球面x2y2z21学习必备欢迎下载分别交曲面p 1,p 2,p ,的中心,引三条两两相互垂直的射线,a2b22 c设op 1r op2r 2,op3r ,试证：111111,2,3是坐标矢量关于12 r 1r 22r 32a2b2c2证明：利用上题结果,有1i22i2i1,2,3ir i2a2b 2c21其中i,i,i是op 的方向余弦；如将op i1,2,3所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴,就新坐标系的方向余弦, 从而122221,同理,122221 ,

11、12222333所以,111122212223211222322 r 1r22r 32a2123b21c21111111a2b22 c11即：r 12r22r32a2b2c2 4.5 双曲面3、已知单叶双曲面x2y2z21,试求平面的方程, 使这平面平行于yoz面（或 xoz 面）494且与曲面的交线是一对相交直线；名师归纳总结 解：设所求的平面为xk ,就该平面与单叶双曲面的交线为：就该平面为：y3第 6 页,共 9 页（* ）x2y2z21494xk亦即y2z21k2944xk为使交线（ * ）为二相交直线,就须：1k20,即k24所以,要求的平面方程为：x2同理,平行于 xoy 的平面要

12、满意它与单叶双曲面的交线为二相交直线,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备x欢迎下载4、设动点与 4,0,0 的距离等于这点到平面1的距离的两倍,试求这动点的轨迹；解：设动点M , , x y z ,所求轨迹为y,就2xz130x422 y2 z4x2 1M x y zx4222 z亦即：x2y2z21412121与平面x2的交线对 xoy平面的射影柱面；此为的轨迹方程；5、试求单叶双曲面x2y2z21645解：题中所设的交线为：x2y22 z1z ,得到：1645x2z30从今方程中消去x220y224x1160此即为要求的射影柱面方程； 4.

13、6 抛物面2、适当选取坐标系,求以下轨迹的方程：（1）到肯定点和肯定平面距离之比为定常数的点的轨迹；（2）与两给定的异面直线等距离的点的轨迹,已知两异面直线间的距离为2 ,夹角为 2；解：（1）取定平面为xoy 面,过定点且垂直于xoy 面的直线作为z 轴,就定点的坐标设为00,a ,而定平面即为z0,设比值常数为c ,并令所求的轨迹为,就点Mx ,y,z x2y2zza2c即x2y2 1c2z22aza20此为的方程；（2）取二异面直线的公垂线为轴,中点的坐标为原点；再取 角相等,就二异面直线的方程为：x 轴,使其与二异面直线的夹名师归纳总结 设所求的轨迹为ytgx0与ytgx0第 7 页,

14、共 9 页zaza,就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yza学习必备a欢迎下载xy22zx2Mx,y ,z tg0a21z0121tg2a2xy2：yztg2xxya即tg012011tgztg2a2xtgtg2za 2ytg2za2z经同解化简得：zsincosxya此即所要求的轨迹方程； 4.7 单叶双曲面与双叶双曲面的直母线3、在双曲抛物面x2y2z上,求平行于平面3x2y4zy0的直母线；164解：双曲抛物面x2y2z的两族直母线为：xxyv164uxy4242及uxyzvz4242第一族直母线的方向矢量为：,2,1u 其次族直母线的方向矢量

15、为：2,1,v 据题意,要求的直母线应满意：2324u0u12324v0v2要求的直母线方程为：名师归纳总结 5、求与两直线x36xy11与xy及z4xy22x3y50平第 8 页,共 9 页4242xyzxyz42422yz18相交,而且与平面23221- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载行的直线的轨迹；名师归纳总结 解：设动直线与二已知直线分别交于x0,y0,z 0,x 1,y1,z 1,就0第 9 页,共 9 页x 036y0z 011,x 1y 18z 1423221又动直线与平面2x3y50平行,所以,2 x 0x13y0y 1对动直线上任一点Mx ,y,z ,有：xx 0yy0zz 0x 1x 0y 1y 0z 1z 0从（ 1）（ 4）消去x0,y0,z 0,x1,y 1,z 1,得到：x2y24z94- - - - - - -