2022年等比数列教案.docx

《2022年等比数列教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年等比数列教案.docx（20页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 等比数列适用学科高中数学适用年级高中一年级通用90 分钟适用区域课时时长（分钟）等比数列的通项公式等比数列的判定方法等比中项学问点 等比数列的性质等比数列前 n 项和公式等比数列前 n 项和性质等比数列的综合运用把握等比数列的概念,娴熟运用等比数列的通项公式及前 n 项和公式的性教学目标质解题教学重点等比数列的通项公式及前n 项和公式教学难点等比数列的通项公式及前n 项和公式的性质的敏捷运用教学过程一、复习预习上节课我们学习了等差数列的基本概念及性质,接下来请同学们回忆一下：1、等差数列的定义；2、等差数列的通项公式；3、等差数列的性质；4、判

2、定等差数列的方法；名师归纳总结 5、等差数列的前n 项公式；第 1 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二、学问讲解1.等比数列的定义N满意a nn1q（常数）,就a n 叫做等比数列；q 叫做公比,它可如数列 na对 na以是正数,也可以是负数,但不能为零；依据这个定义,马上可以得到下面的四个结论：（1）a 10,q0对nN,a n0；a 1q01或a 10a n递减；（2）a 10或a 1q01a n递增,q100q1（3）q1a n为常数数列；（4）q0na为摇摆数列；2. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式是 : a n a q

3、 n 1 其中 a 是首项, q 是公比 ；由于 a n a q n 1可以整理为 a n a 1 q n,因此,等比数列 na ,即 a 1 q n 中的各项q q所表示的点 , n kq n 离散的分布在第一象限或第四象限,其中 k 1a,并且这些点都在函数qx xy kq x R 的图像上； 正是由于这一点, 借助于指数函数 y q q 0, q 1 的性质实施对等比数列的讨论,已经成为一种趋势或方向足见函数与数列有机结合的重要性和可行性；3. 等比中项如a G b 成等比数列,那么G 叫做 a 与 b 的等比中项,且G2ab , Gab ；只有同号的两个数才有等比中项,等比中项有两个,

4、 它们互为相反数,这一点与等差中项不同；名师归纳总结 G2ab 仅是成等比数列的必要条件,不是充分条件；如G,ab0；第 2 页,共 13 页；同号连续偶数个数成等比为了运算便利,连续奇数个数成等比数列可设为,x x xq q- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 数列,可设为,x,x xq xq q3；q34. 等比数列的判定方法（1）a n1a q a n0,q0,nN）a n是等比数列；（2）a n2n cq c0,q0,nN）a n是等比数列；（3）a na a n2a na n1a n20,nN）a n是等比数列；15. 等比数列的前 n 项的和的

5、公式等比数列的前 n 项的和的公式是:S na 11qn 其中a 是首项, q 是公比,q1 ；1q6. 等比数列的性质如a n是公比为 q 的等比数列,就有以下性质：m ,所得数列仍是等比数列,公比（1）公比为 q 的等比数列同乘以一个不为零的数仍为 q ；（2）（3）（4）a na qn mm nN公比为 q 的等比数列,从中取出等距离的项组成一个新数列,仍是等比数列,其公比为qm,其中, m 为等距离的项数之差m 个等比数列,它们的各对应项之积组成一个新数列,仍是等比数列,其公比为原各数列公比之积；（5）在等比数列 a n中,如有 mnpk ,就有a ma napa k三、典型例题精析【

6、例题 1 】设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn,已知 a26,6 a1a330,求 an和 Sn. 【答案】 当 a13,q 2 时, an3 2n1,Sn3 2n 1 ；当 a12,q 3 时, an 2 3n 1,Sn3n1. 【解析】 设 an 的公比为 q,名师归纳总结 由题设得a1q6,解得a13,或a12,第 3 页,共 13 页6a1a1q230.q2q3.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 a13,q 2 时, an3 2n1,Sn3 2n 1 ；当 a12,q 3 时, an2 3n1,Sn3n1. 【例题 2 】已知数列 a

7、n 是公差不为零的等差数列,1 求数列 an 的通项公式；2 求数列 3 an 的前 n 项和【答案】 1 an 2n nN * ；Sn9 89n1 【解析】 1 设等差数列 an 的公差为 d d 0 a12,且 a2,a4,a8 成等比数列由于 a2,a4,a8成等比数列,所以2 3d22 d2 7d,解得 d2. 所以 an2n nN * 2 由1 知 3an3 2n,设数列 3 an 的前 n 项和为 Sn,就 Sn3 234 32n919n9 89n1 19【例题 3 】已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 anSnn. 1 设 cnan1,求证： cn 是等比数列；2 求数列

8、 an 的通项公式【答案】 1 略；（ 2）ancn111n. 2【解析】 1 证明： anSnn, an1Sn1n1. 得 an1anan11, 2an1an1, 2 an 11 an1,an11 an11 2. 首项 c1a11,又 a1 a1 1, a11 2,c11 2. 又 cnan1,故 cn 是以1 2为首项,1 2为公比的等比数列2 由1 可知 cn11n 11n, an cn 111n. 2222四、课堂运用【基础】名师归纳总结 1、设数列 an 是等比数列,前n 项和为 Sn,如 S33a3,就公比 q 为 第 4 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 -

9、 - - - - - - - - A1 2 B1C1 2或 1 D. 1【答案】 C【解析】 当 q1 时,满意 S33a13a3. 当 q 1 时, S3a13 1qa11 qq 23a1q 2,S4 a2的值为 1q解得 q1 2,综上 q1 2或 q1. 应选 C 2、设数列 an 满意： 2an an1 an 0 nN * ,且前 n 项和为 Sn,就A.15B.15 4 C4 D2 2【答案】 A a14 1 215 2 . 应选 A. 【解析】 由题意知,数列 an 是以 2 为公比的等比数列,故S4 a212a1 23、公比为 2 的等比数列 an 的各项都是正数,且a3a111

10、6,就 log 2a10 A4 B 5C6 D7 【答案】 B 【解析】 a32 a1116, a 716. a74. 又等比数列 an的各项都是正数,又 a10a7q 34 2 32 5, log 2a105. 应选 B 4、已知各项不为0 的等差数列 an ,满意 2a3a 72a110,数列 bn 是等比数列,且b7a7,就 b6b8 _. 【答案】 16 2 2【解析】 由题意可知, b6b8b 7a 72 a3a11 4a7, a7 0, a74, b6b816. 5、等比数列 an 的前 n 项和为 Sn,公比不为 1. 如 a11,就对任意的 nN *,都有 an 2an12an

11、0,就 S5 _. 【答案】 11 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【解析】 由题意知 a3a22a10,设公比为q,就 a1 q 2 q2 0. 由 q2q20 解得 q 2 或 q 1 舍去 ,就 S5a11q513251 a 2 1 a n_. 11. 1q1 6、已知 an 是公比为 2 的等比数列, 如 a3a16,就 a1_；a 1【答案】 2；11134n【解析】 an 是公比为 2 的等比数列,且a3a16, 4a1 a16,即 a12,故 ana12 n1 2 n,1 an1n,1 a n1n,

12、. 24即数列1是首项为1 4,公比为1 4的等比数列,a n 21 a 11 a 2 1 a n1 111114n 41134n4【巩固】1、已知函数 f x log ax,且全部项为正数的无穷数列 an 满意 logaan1 logaan2,就数列 an A肯定是等比数列 B肯定是等差数列C既是等差数列又是等比数列【答案】 A D既不是等差数列又不是等比数列【解析】 由 logaan1logaan2,得 loga an1an 2log aa 2,故an1 an a 2. 又 a0 且 a 1,所以数列 an 为等比数列应选 A. 2、各项均为正数的等比数列 an 的前 n 项和为 Sn,如

13、 Sn2,S3n14,就 S4n等于 A80 B30C26 D16 【答案】 B 【解析】 选 B 设 S2na, S4nb,由等比数列的性质知：214 a a2 2,解得 a 6 或 a 4 舍去 ,同理 6 2 b14 14 62,所以 bS4n 30. 应选 B. 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、已知方程 x2mx2 x2nx2 0 的四个根组成以1 2为首项的等比数列,就m n A.3B.3 2或2 3C.2D以上都不对23【答案】 B【解析】 选 B 设 a,b,c,d 是方程 x 2mx2 x 2

14、nx2 0 的四个根, 不妨设 acd0 的等比数列 an 的前 n项和为 Sn,如 S23a22,S43a42,就 q_. 【答案】3 22代入得,【解析】 法一： S4S2a3a43a22a3a43a42,将 a3 a2q,a4a2q3a22a2q a2q23a2q 22,化简得 2q 2q 30,解得 q3 2 q 1 不合题意,舍去 法二：设等比数列 an 的首项为 a1,由 S23a22,得a11 q 3a1q2. 由 S43a4 2,得 a11 q1 q 2 3a1q32. 3 2. 由得a1q 21 q 3a1q q 21 q0, q2、已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,且

15、 Sn4an3 nN *1 证明：数列 an 是等比数列；2 如数列 bn 满意 bn 1anbn nN * ,且 b1 2,求数列 bn 的通项公式【答案】 1 略；（ 2）bn34n11.3【解析】 1 证明：依题意Sn4an3 nN * ,n 1 时, a14a13,解得 a1 1. 由于 Sn4an3,就 Sn14an 13 n2 ,所以当 n2 时, anSnSn14an4an 1,名师归纳总结 整理得 an4 3an1. 又 a11 0,所以 an 是首项为 1,公比为4 3的等比数列第 8 页,共 13 页2 由于 an4n1,由 bn1anbn nN * ,得 bn1bn4n1

16、. 33- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 可得 bnb1 b2b1 b3b2 bnbn1 214n134n11 n314332 ,当 n1 时也满意,所以数列 bn 的通项公式为bn34n11. 33、已知等差数列 an 的首项 a1 1,公差 d0,且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是等比数列 bn的第 2 项、第 3 项、第 4 项1 求数列 an 与bn 的通项公式；2 设数列 cn 对 nN *均有c1 b1c2 b2 cn bnan1成立,求 c1c2c3 c2 013. 【答案】 1 an 2n1, bn3 n1；（2）3 2 01

17、3 .【解析】 1 a21d,a514d,a14 113d,1 4d21 d1 13d d0,故解得 d2. an1 n1 22n1. 又 b2a23,b3a59,数列 bn 的公比为 3, bn33 n23n1. 2 由c1 b1c2 b2 cn bnan 1 得: 当 n 2 时, c1 b1c2 b2 cn1 bn1an. 两式相减得： n2 时,cn bnan 1an2. cn 2bn23n1 n2 又当 n1 时,c1 b1a2, c13. cn3,n 1,23 n1,n2.c1c2c3 c2 013362 32 0133 33 2 013 3 2 013 . 13课程小结名师归纳总

18、结 1、等比数列的定义；第 9 页,共 13 页 2、等比数列的通项公式； 3、等比数列的性质； 4、判定等比数列的方法； 5、等比数列的前n 项公式；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 课后作业【基础】1、等比数列 an 中, a44,就 a2 a6等于 A4 B8C 16 D32 【答案】 C【解析】 a2 a6a2 416. 应选 C 2、已知等比数列 an 的前三项依次为a1,a1,a4,就 an A43nB42nC43n1D42n12323【答案】 C【解析】 a12 a1 a 4 . a 5,a14,q3 2,故 an43n1. 应选 C 2

19、3、已知等比数列 an 满意 a1 a23,a2a36,就 a7 A64 B81C128 D243 【答案】 A【解析】 qa2 a3 a1 a22,故 a1a1q3. a11,a71 2 71 64. 应选 A 4、在等比数列 an 中,如 a1【答案】 2 2 n 1121 2,a44,就公比 q_；a1a2 an _. 【解析】 a4a1q 3,得 41 2q 3,解得 q2, a1 a2 an1 12n 2 n11 2. 2125、等比数列 an 的前 n 项和为 Sn,如 S33S20,就公比 q_. 【答案】 2 【解析】 S33S20, a1 a2 a33 a1a2 0, a14

20、 4qq 2 0. a1 0, q 2. 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【巩固】1、已知 an 为等比数列, Sn是它的前n 项和如 a2a32a1,且 a4与 2a7的等差中项为5 4,就 S5 A35 B 33C31 D 29 【答案】 C 【解析】 设数列 an 的公比为 q,就由等比数列的性质知：a2a3a1a42a1,即 a42. 由 a4与 2a7的等差中项为5 4知, a42a725 4,a71 225 4a41 4. q3a7 a41 8,即 q1 2. a4a1q 3a11 82, a116

21、, S51 1612 5 31. 1 122、在等比数列 an 中,如 a1【答案】 2 2 n1121 2,a4 4,就公比 q_；| a1| | a2| | an| _. 【解析】 设等比数列 an 的公比为 q,就 a4 a1q 3,代入数据解得 q 3 8,所以 q 2；等1 1比数列 | an| 的公比为 | q| 2,就 | an| 2 2 n1,所以 | a1| | a2| | a3| | an| 21 1 12 2 2 2 n1 22 n1 2 n12. 3、设数列 an 的前 n 项和为 Sn,a11,且数列 Sn 是以 2 为公比的等比数列1 求数列 an 的通项公式；2

22、求 a1a3 a2n1. 名师归纳总结 【答案】 1 an1,n 1,（2）22n11n1,第 11 页,共 13 页2n2,n2.3【解析】 1 S1a11,且数列 Sn 是以 2 为公比的等比数列,Sn2又当 n2 时, anSnSn12n 22 1 2n2. an1,n1,2n2,n2.2 a3,a5, , a2n1 是以 2 为首项,以4 为公比的等比数列,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a3a5 a2n12n 1424 n 1. 1 43a1a3 a2n1124 n12 2n113 . 3【拔高】1、已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,

23、a11, Sn2an 1,就 Sn A2n1B. 32 n1C. 23 n 1D. 2n11【答案】 B【解析】 选 B, Sn2an1,当 n2 时, Sn12an, anSnSn12an12an, 3an2an 1,an1 an32. 又 S12a2, a22, a2 a12, an 从其次项起是以 2为公比的等比数列,1 3Sna1a2a3 an112 1 32 n 1 3 n1. 1 3 22n2 也可以先求出 n2 时, an32 n1,再利用 Sn2an1,求得 Sn 32 n 1 2、已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 Snn5an 85,n N *. 1 证明： an1

24、 是等比数列；2 求数列 Sn 的通项公式,并求出访得Sn1 Sn 成立的最小正整数n. 【答案】 1 略；（ 2）最小正整数n 为 15.【解析】 1 由题意知, Snn5an85,nN *,当 n2 时,an Sn Sn1 n5an85 n1 5an185 即 6an65an 15,an1 an11 5 6. 又 a1S115a185, a1 14,a11 15,名师归纳总结 数列 an 1 是以 15 为首项,5 6为公比的等比数列5 6n11. 第 12 页,共 13 页2 由1 知, an1 15 5 6n1, an 15 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Snn5an85, Sn n901 5 6 n 名师归纳总结 由 Sn1Sn,即 n1 901 5 6n1 n901 5 6n ,即 5 6n1 15. 第 13 页,共 13 页nN *, n 最小取 15. 最小正整数n 为 15. - - - - - - -