2022年等比数列知识点总结与典型例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 等比数列学问点总结与典型例题1、等比数列的定义：a n1q q0n2,且nN*, q 称为公比an2、通项公式：a na qn1a 1qnA Bna 1q0,A Bm0,首项：1a ；公比：qq推广：a nn m a qqn ma nqna na ma m3、等比中项：（1）假如a A b 成等比数列,那么A 叫做 a 与 b 的等差中项,即：A2ab 或 Aab留意： 同号的 两个数 才有 等比中项,并且它们的等比中项有两个 （2）数列an是等比数列a n2an1an14、等比数列的前n 项和S 公式：（1）当q1时,S nna 1（2）当q

2、1时,S na 11qna 1a q1q1q1a 1q1a 1qqnAA BnA BnA（A B A B 为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n,都有a n1qan或an1q q 为常数,an0an为等比数列an（2）等比中项：a n2a n1 an1an1a n10a na n为等比数列（3）通项公式：a nA BnA B0为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：如an1q q0n2,且nN*或an1qanan为等比数列a n7、等比数列的性质：（2）对任何m nn* N ,在等比数列 a n中,有a na qn m；mn2 k 时,得anama k2（3）如mnst

3、m n s tN*,就anama sa ；特殊的,当注：a 1ana 2a1a a n2等差和等比数列比较：等差数列 等比数列 第 1 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 定义Aanan 1andmd0）Ganan1q q0,nk0）a n递推公an1d；anamnanan1；anamqnm式通项公anana1n1 dkana1qn1（a 1q0）式kank（n,kN*,nkankankank0（n,kN*中项2na 1anna1q1 Sn前 n 项和2Sna11qna1anqq2na1nn1d重要a

4、mSnpq1q1q2anamanapaqapaqq性质m ,n ,p ,qN*,mnm ,n,p ,qN*,mnp经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1等比数列 an中,a 1a 964, a 3a720,求a . a 和 q 的二元方程组, 解出1a 和思路点拨： 由等比数列的通项公式, 通过已知条件可列出关于q ,可得a ；或留意到下标 1 937 ,可以利用性质可求出a 、a ,再求a . 解析：法一： 设此数列公比为 q ,就a 1a 9a 1a q864201a 3a 7a q2a q62由2得：a q21q420.3 a 10. 由1得：a q4264, a q48.4 3

5、4得：1qq4205,2822q45q220,解得q22或q212当q22时,a 12,a 11a 110 q64；当q21时,a 132,a 11a q101. 2法二： a 1a 9a3a 764,又a 3a720, 第 2 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - a 、3a 为方程 7x220x640的两实数根,a316 4或a341或a 1164. a7a716aa 723a 11a 72, a 11a 3总结升华：列方程（组）求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以削减运算量；解题过程中详细求

6、解时,要设法降次消元,经常整体代入以达降次目的,故较多变形要用 除法（除式不为零） . 举一反三：【变式 1】a n为等比数列, a1=3,a9=768,求 a6；【答案】 96 法一： 设公比为 q,就 768=a1q 8,q8=256,q=2, a6=96；法二： a52=a1a9a5=48q=2,a6=96；【变式 2】a n为等比数列, an0,且 a1a89=16,求 a44a45a46的值；【答案】 64；a a89a216,又 an0, a45=4 7,a a a38,求a ；45a a a46a3 4564；【变式 3】已知等比数列 an,如a 1a2a 3【答案】an2n1或

7、an3 2n；2a31法一： a a 32 a ,a a a 3a38,a22从而a 1a 345,解之得a 11,a 34或a 14,a a 3当a 11时,q2；当a 14时,q1；22故ann 21或an23n；法二 ：由等比数列的定义知a 2a q ,a3a q代入已知得a 1a qa q287a 1a q a q2a 11qq27,a 11q2 q7, 13 a q38a q22第 3 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 将a 12代入（ 1）得2q25q20,q解得q2或q142由（2）得

8、a 11或a 11,以下同方法一；q2q2 n 项和公式类型二：等比数列的前例 2设等比数列 a n 的前 n 项和为 Sn,如 S3+S6=2S9,求数列的公比 q. 解析： 如 q=1,就有 S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1. 因 a1 0,得 S3+S6 2S 9,明显 q=1 与题设冲突,故 q 1.3 6 9由 S 3 S 6 2 S 得,a 1 1 q a 1 1 q 2 a 1 1 q ,1 q 1 q 1 q整理得 q32q 6-q 3-1=0,由 q 0,得 2q 6-q 3-1=0,从而 2q 3+1q 3-1=0,因 q3 1,故 q 3 1,所以 q 3 4；2

9、 2举一反三：【变式 1】求等比数列1 1 1, ,3 9,L 的前 6 项和；【答案】364 243；616364；a 11,q1,n3S 6111633 211132433【变式 2】已知： a n 为等比数列, a1a2a3=27,S3=13,求 S5. 【答案】121 或121；9a 11q3q3 或q1,就 a1=1 或 a1=9 9a327a23,1321q3S 5135121 或S 511121. 351311 39第 4 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【变式 3】在等比数列 an

10、中,a 1an66,a 2a n1128,S n126,求 n 和 q ；【答案】q1或 2,n6；2或a 1a n2a2an1a 1a ,a an128解方程组a a na n128,得a 164a 166a n2q64将a 164代入S na 1a q,得1 2,a n21q由ana qn1,解得n6；q2,将a 12代入S na 1a q,得a n641q由ana qn1,解得n6；q1或 2,n6；2类型三：等比数列的性质例 3. 等比数列 an中,如a 5a 69,求log3a 1log3a 2.log3a 10. 解析： a n是等比数列,a 1a 10a2a9a 3a8aa 4a

11、 7a5a 6a9a 65log 9510log3a 1log3a2log3a 10log a 1a23La 10log 5举一反三：【变式 1】正项等比数列an中,如 a1a100=100; 就 lga1+lga2+ +lga100=_. 【答案】 100；lga1+lga2+lga3+ +lga100=lga1a2a3 a 100 而 a1a100=a2a99=a3a98= =a50a51原式 =lga1a100 50=50lga1a100=50 lg100=100；【变式 2】在8 和27 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,就插入的三个数的乘积为 3 2 _；【答案】 216；法一：

12、 设这个等比数列为 a n,其公比为 q ,q29a 18,a 527a q484 q ,q481,323164第 5 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - a2a3a 4a q a q2a q33 a 16 q8393,3 6216；34法二： 设这个等比数列为 a n,公比为 q ,就a 18,a 52732加入的三项分别为a ,a ,a ,2736,故a 36,由题意1a ,a ,a 也成等比数列,a28332a2a3a 4a2a33 a 3216；60,求S ；3类型四：等比数列前n 项和公式的

13、性质例 4在等比数列 an中,已知S n48,S 2n思路点拨： 等差数列中也有类似的题目,我们仍旧采纳等差数列的解决方法,即等比数列中前 k 项和,第 2 个 k 项和,第 3 个 k 项和, ,第 n 个 k 项和仍旧成等比数列；解析：法一： 令 b1=Sn=48, b2=S2n-Sn=60-48=12,b3=S3n-S2n 观看 b1=a1+a2+ +an, b2=an+1+an+2+ +a2n=q na1+a2+ +an,b3=a2n+1+a2n+2+ +a3n=q 2na1+a2+ +an 易知 b1,b2,b3 成等比数列,b 32 b 22 123,b 148S3n=b3+S2n

14、=3+60=63. 法二： S 2n2S ,q1,S ,S 3nS 2n也成等比数列,由已知得a 11qn481qa 11q2n601q得1qn5,即qn144代入得1a 164,qS 3 na 11q3n641163；1q43法三： a n为等比数列,S ,S 2nS 2nS n2S nS 3nS 2n,第 6 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - S 3 nS 2nS nS n2 S 2n602 486063；48举一反三：【变式 1】等比数列 a n中,公比 q=2, S4=1,就 S8=_. 【

15、答案】 17；S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4a1+a2+a3+a4=S4+q4S4=S41+q4=1 1+24=17 【变式 2】已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn, 且 S10=10, S20=40,求：S30=？【答案】 130；法一： S10,S20-S10,S30-S20构成等比数列, S20-S10 2=S10S30-S20 即 302=10S30-40,S30=130. 法二： 2S10 S20,q 1 , S 10 a 1 1 q 10 10 , S 20 a 1 1 q 2040 , 1 q 1 q101 q2

16、0 1 ,q 103 ,a 151 q 4 1 qS 30 a 1 1 q 30 5 1 3 3 130 . 1 q【变式 3】等比数列 a n 的项都是正数,如 Sn=80, S2n=6560,前 n 项中最大的一项为 54,求n.【答案】 Sn80,q1否就S n1 S2n6560S 2n2S na 11qn=80 .1 1qS 2na 11q2 n=6560.2,1q2 1得： 1+q n=82,q n=81.3 该数列各项为正数,由3知 q1 a n 为递增数列, an 为最大项 54. an=a1q n-1=54,a1q n=54q, 81a1=54q.4 a 154q2q 代入 1

17、得2 1 381801q ,813q=3,n=4. 【变式 4】等比数列 a n中,如 a1+a2=324, a3+a4=36, 就 a5+a6=_. 第 7 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案】 4；令 b1=a1+a2=a11+q,b2=a3+a4=a1q21+q,b3=a5+a6=a1q41+q, 易知： b1, b2, b3成等比数列, b3= b 2 2= 362=4,即 a5+a6=4. b 1 324【变式 5】等比数列 a n 中,如 a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=5

18、6, 求 a7+a8+a9的值；【答案】 448；a n 是等比数列, a4+a5+a6=a1+a2+a3q 3,q 3=8, a7+a8+a9=a4+a5+a6q 3=568=448. 类型五：等差等比数列的综合应用例 5已知三个数成等比数列,如前两项不变,第三项减去32,就成等差数列 .如再将此等差数列的其次项减去 4,就又成等比数列 .求原先的三个数 . 思路点拨： 恰当地设元是顺当解方程组的前提 将其设为整式形式 . 解析：法一： 设成等差数列的三数为 a-d, a,a+d. .考虑到有三个数,应尽量设较少的未知数,并就 a-d, a, a+d+32成等比数列, a-d, a-4, a

19、+d成等比数列 . a2addad32. 1a42adad.2由2得 a=216.3 8由1得 32a=d2+32d .4 3代4消 a,解得 d 8 或 d=8. 3当 d 8 时, a 26；当 d=8 时,a=10 3 9原先三个数为 2 , 26 , 338 或 2,10,50. 9 9 9法二： 设原先三个数为 a, aq, aq2,就 a, aq,aq2-32 成等差数列, a, aq-4, aq 2-32 成等比数列22 aq a aq 32 . 12 2 aq 4 a aq 32 . 2 由2得 a 2,代入 1解得 q=5 或 q=13 q 4当 q=5 时 a=2；当 q=

20、13 时 a 2. 9第 8 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 原先三个数为 2,10,50 或2 ,926 , 9338 . 9总结升华： 挑选适当的设法可使方程简洁易解；一般地,三数成等差数列, 可设此三数为 a-d, a, a+d；如三数成等比数列,可设此三数为x ,x, xy；但仍要就问题而言,这里解法二中采纳 y首项 a,公比 q 来解决问题反而简便；举一反三：【变式 1】一个等比数列有三项,假如把其次项加上4,那么所得的三项就成为等差数列,假如再把这个等差数列的第三项加上 32,那么所得

21、的三项又成为等比数列,求原先的等比数列. 【答案】 为 2,6,18 或2 9,10 50 ,9 9；. 设所求的等比数列为a,aq,aq2；就2aq+4=a+aq2,且 aq+42=aaq 2+32；解得 a=2,q=3 或a2,q=-5；9故所求的等比数列为2,6,18 或2 9,10 50 ,9 9【变式 2】已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为 91,求这三个数；【答案】 1、3、9 或1、3、9 或 9、3、1 或9、3、1设这三个数分别为a a aq q,9a32 q191由已知得a a aq q272 a q291a21a2a2q22q得9q482q290,所以q

22、2或q21 9,即q3或q13故所求三个数为： 1、3、9 或1、3、9 或 9、3、1 或9、3、1；【变式 3】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第 四个数的和是 16,其次个数与第三个数的和为 12,求这四个数 . 【答案】 0,4,8,16 或 15,9,3,1；设四个数分别是 x,y,12-y,16-x 第 9 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2yx212yy . 1 12y 16x . 2 由1得 x=3y-12,代入 2得 144-24y+y2=y1

23、6-3y+12 144-24y+y2=-3y 2+28y, 4y 2-52y+144=0, y2-13y+36=0, y=4 或 9, x=0 或 15,四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1. 类型六：等比数列的判定与证明例 6已知数列 a n 的前 n 项和 Sn 满意： log5Sn+1=nnN+,求出数列 a n 的通项公式,并判断a n 是何种数列？思路点拨： 由数列 a n的前 n 项和 Sn 可求数列的通项公式,通过通项公式判定 an 类型. 解析： log5Sn+1=n,Sn+1=5 n,Sn=5 n-1 nN+, a1=S1=5 1-1=4, 当 n2时,an=Sn

24、-Sn-1=5 n-1-5 n-1-1=5 n-5 n-1=5 n-15-1=4 5 n-1而 n=1 时,45n-1=45 1-1=4=a1, nN+时, an=45 n-1由上述通项公式,可知 a n 为首项为 4,公比为 5 的等比数列 . 举一反三：【变式 1】已知数列 C n ,其中 Cn=2n+3n,且数列 C n+1-pCn 为等比数列,求常数 p；【答案】 p=2 或 p=3；C n+1-pCn 是等比数列,对任意 nN 且 n2,有 Cn+1-pCn2=Cn+2-pCn+1Cn-pCn-1 Cn=2n+3n,2n+1+3n+1-p2n+3n2=2n+2+3n+2-p2n+1+

25、3n+1 2n+3n-p2n-1+3n-1 即2-p 2n+3-p 3n2=2-p2n+1+3-p 3n+1 2-p2n-1+3-p 3n-1 整理得：1 2 6p3pn 23n0,解得： p=2 或 p=3, 明显 Cn+1-pCn 0,故 p=2 或 p=3 为所求 . 【变式 2】设a n、b n 是公比不相等的两个等比数列,Cn=an+bn,证明数列 Cn不是等比数列 .【证明】 设数列 an、b n 的公比分别为 p, q,且 p q为证C n 不是等比数列,只需证C 1C 32 C . p2q2C2a pb q22 a p22 b q22a b pq , 2C 1C3a 1b 1a

26、 p2b q22 a p22 b q2a b 1 1第 10 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - C 1C3C2a b pq2, C22又 p q, a 1 0, b 1 0,C3C 1C3C20即C 122数列 C n 不是等比数列 . 【变式 3】判定正误：1a n 为等比数列 a7=a3a4；2如 b 2=ac,就 a,b,c 为等比数列；3an ,bn 均为等比数列,就 anbn 为等比数列；4a n 是公比为 q 的等比数列,就a2、1仍为等比数列；na n5如 a,b,c 成等比,就 l

27、ogma,logmb,log mc 成等差 . 【答案】1错； a7=a1q 6,a3a4=a1q 2a1q 3=a12q 5,等比数列的下标和性质要求项数相同；2错；反例： 02=00,不能说 0,0,0 成等比；3对； a nbn 首项为 a1b1,公比为 q1q2；4对；a2 n1q2,111；a na2 n1qan5错；反例： -2,-4,-8 成等比,但 logm-2无意义 . 类型七： Sn 与 an 的关系例 7已知正项数列 a n,其前 n 项和 Sn 满意10S n2 a n5a n6,且 a1,a3,a15成等比数列,求数列 a n 的通项 an. 解析： 10S na 1

28、a25an6,ana n1a nan150n10a 12 a 156,解之得 a1=2 或 a1=3. 又10S n12 a n15 an16 n2,由-得10a n2 a na215anan1,即nan+an-10, an-an-1=5n 2.当 a1=3 时, a3=13,a15=73,a1,a3,a15不成等比数列a1 3；当 a1=2 时, a3=12,a15=72,有 a32=a1a15,a1=2, an=5n-3. 第 11 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 总结升华： 等比数列中通项

29、与求和公式间有很大的联系,它们是a na 1S n1n1,尤S n n2其留意首项与其他各项的关系. 举一反三：【变式】命题1：如数列 an的前 n 项和 Sn=a n+ba 1,就数列 an 是等比数列；命题2：如数列a n 的前 n 项和 Sn=na-n,就数列 a n既是等差数列,又是等比数列；上述两个命题中,真命题为 个. 【答案】 0；由命题 1 得,a1=a+b,当 n2时,an=Sn-Sn-1=a-1 a n-1. 如a n 是等比数列,就a 2a,即a a1a,. a 1ab所以只有当 b=-1 且 a 0时,此数列才是等比数列由命题 2 得,a1=a-1,当 n2 时, an=Sn-Sn-1=a-1,明显a n 是一个常数列,即公差为 0 的等差数列,因此只有当 a-1 0,即 a 1时数列 an 才又是等比数列 . 第 12 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页