2022年等差数列知识点+基础练习题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点等差数列学问点1. 等差数列的定义：anan1d（d为常数）（n2）；2等差数列通项公式：ana 1a nna1 dndna 1d nN*d,首项 :1a ,公差 :d ,末项 :a n推广：mm d从而anam；nm3等差中项（1）假如 a , A , b 成等差数列,那么A叫做 a 与b的等差中项即：Aa2b或2Aab列（2）等差中项：数列an是等差数2anan-1an1n22 an1anan24等差数列的前n 项和公式：S n n a 1 a n na 1 n n 1d d n 2 a 1 1d n An 22 2 2

2、 2（其中 A、B是常数,所以当 d 0时, Sn是关于 n的二次式且常数项为Bn 0）特殊地,当项数为奇数2 n1时,an1是项数为 2n+1 的等差数列的中间项S 2 n12n1a 1a2n12n1a n1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数2乘以中间项）5等差数列的判定方法（1） 定义法： 如anan1d或an 1and 常数nNan是等差数列（2）等差差数列中项：数列an是等2anan-1an1n22 an1anan2数列an是等差数列anknb（其中k,b是常数）；（4）数列an是等差数列S nAn2Bn , （其中 A、B是常数）；6等差数列的证明方法定义法：如anan1d或an

3、 1and 常数nNan是等差数列7. 提示 ：其中（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5 个元素：a 、 d 、 n 、a 及S ,2 个,即1a 、 d 称作为基本元素；只要已知这5 个元素中的任意3 个,便可求出其余知 3 求 2；（2）设项技巧：一般可设通项ana 1n1 d2 , d ad a ad a2d （公差为 d ）；2d ）奇数个数成等差,可设为 ,a偶数个数成等差,可设为 ,a3 , d ad ad a3 d , （ 留意；公差为8. 等差数列的性质：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - -

4、 （1）当公差d0时,名师总结 n优秀学问点a 1d 是关于 n 的一次函数,且斜等差数列的通项公式ana 11 ddn率为公差 d ；1ddn2 a 1dn 是关于 n 的二次函数且常数项前 n 和S nna 1n n222为 0. （2）如公差 d 0,就为递增等差数列,如公差 d 0,就为递减等差数列,如公差d 0,就为常数列；（3）当 m n p q时, 就有 a m a n a p a q,特殊地,当 m n 2 p 时,就有a m a n 2 a . 注：a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2,（4）如 a n、nb 为等差数列,就 a n b,1 a n 2 b

5、n 都为等差数列5 如 a 是等差数列,就 S S 2 n S n , S 3 n S 2 n, 也成等差数列（6）数列 a n 为等差数列 ,每隔 kk N 项取出一项 *a m , a m k , a m 2 k , a m 3 k , 仍为等差数列（7）设数列an是等差数列, d 为公差,S 奇是奇数项的和,S 偶是偶数项项的和,S 是前 n 项的和1. 当项数为偶数2时,n a 1a2n1nanS 奇nn1S 奇a 1a 3a5a 2n12S 偶a 2a4a6a2nn a2a 2nnan12S 偶S 奇na n1na nn a n1a nS 奇n1 a n+1S 奇na na nS 偶

6、na n1a n12、当项数为奇数2n1时,就S 2n1S 奇S 偶2n1an+1S 奇S 偶an+1S 偶nan+1S 偶（其中 an+1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项） 名师归纳总结 （8）、 bn的前 n 和分别为A 、B ,且A nf n ,第 2 页,共 7 页Bn就a nb n2n1 anA 2n1f2n1. 2n1 b nB 2n1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （9）等差数列 an的前 n 项和S m名师总结优秀学问点m,就前 m+n 项和S m nmnn ,前 m 项和S n10 求 S 的最值法一：因等差数列前 n 项是

7、关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性 n N *；法二：（ 1）“ 首正” 的递减等差数列中,前n项和的最大值是全部非负项之和即当a10,d0,由an100可得S 达到 最大值 时的 n 值an（2） “ 首负” 的递增等差数列中,前n 项和的最小值是全部非正项之和；即 当a 10,d0,由a n100可得S 达到 最小值 时的 n 值a n或求an中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故 n取离二次函数对称轴最近的整数时,S 取最大值（或最小值） ；如 S p= S q就其对称轴为np2q留意：解决等差数列

8、问题时,通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于 a 和 d 的方程；奇妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,削减运算量等差数列 基础练习题一、 填空题1. 等差数列 8,5,2, 的第 20 项为_. 2. 在等差数列中已知a1=12, a6=27, 就 d=_ 1d3. 在等差数列中已知 3,a7=8,就 a1=_ 4. a b 与 a b 的等差中项是 _- 25. 等差数列 -10 ,-6 ,-2 ,2, 前 _项的和是 54 6. 正整数前 n 个数的和是 _ 7. 数列a n的前 n 项和S n3nn2,就a _. 8. 在等差数列中已知a1=12, a6=27

9、, 就 d=_ 名师归纳总结 9. 在等差数列中已知d1,a7=8,就 a1=_ 第 3 页,共 7 页3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点10. 在等差数列 an 中,an=m,an+m=0,就 am= _；11 在等差数列 an 中,a4+a7+a10+a13=20,就 S16= _ ；12 在等差数列 an 中,a1+a2+a3+a4=68,a6+a7+a8+a9+a10=30,就从 a15 到 a30 的和是 _ ；13 已知等差数列 110 , 116 , 122 , ,就大于 450 而不大于 602的各项之和为 _ ；

10、14 如是方程是关于的解,就_；的方程15 如公差,且的两个根,就_；二、挑选题1 如lg 2,lg2x1,lg2x3成等差数列,就 x 的值等于（） A.0 B. log 5 C. 32 D.0或 32 2、等差数列中连续四项为a,x,b,2x,那么 a ：b 等于 （ ）A、 B、a n中 Ca 11、或 1 Da6、a 8a9a 的值为40a 7a 3,就a4a 53. 在等差数列名师归纳总结 （）第 4 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点A.84 B.72 C.60 . D.48 4. 在等差数列a n中,前

11、15 项的和S 1590,a 为（）A.6 B.3 C.12 D.4 5. 等差数列a n中, a 1a 2a324,a 18a 19a2078, 就此数列前 20 下项的和等于A.160 B.180 C.200 D.220 6. 在等差数列a n中, 如a 3a4a 5a6a7450,就a 2a 的值等于（）A.45 B.75 C.180 D.300 7. 设 S 是数列 a n 的前 n 项的和,且 S n n ,就 a n 是（） A. 等比数列,但不是等差数列 B. 等差数列,但不是等比数列C.等差数列,且是等比数列 D. 既不是等差数列也不是等比数列8. 数列 3,7,13,21,3

12、1, 的通项公式是（） A. an4 n1 B. an3 nn2n2 C. ann2n1 D.不存在9、设数列 an 和bn 都是等差数列,其中a1=25, b1=75 ,且a100+b100=100,就数列 an+bn 的前 100 项和为（）名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - A、 0 B、 100 C名师总结优秀学问点、505000 、10000 D10. 等差数列a n中, a 1a 2a324,a 18a 19a2078, 就此数列前20下项的和等于A.160 B.180 C.200 D.220 11 一个项

13、数为偶数的等差数列,它的奇数项的和与偶数项的和分别是 24 与 30, 如此数列的最终一项比第（ ）-10 项为 10,就这个数列共有A、 6 项 B 、8 项 C、10 项 D 、12 项三、运算题1. 求集合Mm m2 n1,nN*,且m60中元素的个数, 并求这些元素的和2. 设等差数列a n的前 n 项和公式是S n5n23n ,求它的前 3 项,并名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点求它的通项公式3. 假如等差数列a n的前 4 项的和是 2,前 9 项的和是 -6 ,求其前 n项和的公式；4. 依据以下各题中的条件,求相应的等差数列a n的有关未知数：名师归纳总结 （1）a 15,d1,S n5,求 n 及a ； （2）d2,n15,a n10,求a 1 及S n第 7 页,共 7 页66- - - - - - -