2022年中考数学压轴题“存在性”问题的解题策略.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载数学“ 存在性” 问题的解题策略存在性问题是指判定满意某种条件的事物是否存在的问题,这类问题的学问掩盖面较 广,综合性较强,题意构思特别精致,解题方法敏捷,对同学分析问题和解决问题的才能要 求较高,是近几年来各地中考的“ 热点” ；这类题目解法的一般思路是：假设存在推理论 证得出结论；如能导出合理的结果,就做出“ 存在” 的判定,导出冲突,就做出不存在的 判定；由于“ 存在性”问题的结论有两种可能,所以具有开放的特点,在假设存在性以后进行的推理或运算,对基础学问,基本技能提出了较高要求,并具备较强的探干脆,正确、完整 地解

2、答这类问题,是对我们学问、才能的一次全面的考查；【典型例题】例1. m如关于 的一元二次方程x23m1xm29m200有两个实数根,又已知 、 、 分别是ABC 的 、 、 的对边,C90 ,且cos B3,5ba3,是否存在整数m,使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于RtABC 的斜边 的平方？如存在,求出满意条件的m 的值,如不存在,请说明理由；分析： 这个题目题设较长,分析时要抓住关键,假设存在这样的m,满意的条件有是整数,一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt ABC 斜边 c 的平方,隐含条件判别式 0 等,这时会发觉先抓住Rt ABC 的斜边为c 这个突破口,利用题设条件,运用

3、勾股定理并不难解决；名师归纳总结 解： 在RtABC中,C90 ,cosB3的两个实数根为x 1,x 2第 1 页,共 9 页5设 a=3k, c=5k,就由勾股定理有b=4k,ba3,4k3 k3,k3a9,b12,c15设一元二次方程x23 m1 x2 m9 m200就有：x 1x23 m1 ,x x 22 m9 m209m20 2x 12 x 2x 1x222x x 2 m1 22 2 m7m236m31由2 x 12 x 2c2,c15有2 7 m36 m31225,即2 7 m36 m2560m 14,m 2647- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

4、 - m64优秀学习资料欢迎下载不是整数,应舍去,7当 m 4 时,0存在整数 m=4,使方程两个实数根的平方和等于 Rt ABC 的斜边 c 的平方；k例 2. 如图：已知在同一坐标系中,直线 y kx 2 与 轴交于点 P,抛物22线 y x 2 k 1 x 4 k 与 轴交于 A x 1,B x 2,两点,C 是抛物线的顶点（1）求二次函数的最小值（用含 k 的代数式表示）（2）如点 A 在点 B 的左侧,且 x1x 20 当 k 取何值时,直线通过点 B；是否存在实数 k,使 SABP=SABC？假如存在,求出抛物线的解析式；假如不存在,请说明理由；分析：此题存在探究性表达在第（ 2）

5、问的后半部分；仔细观看图形,要使 SABP =S ABC,由于 AB=AB ,因此,只需两个三角形同底上的高相等就可以；OP 明显是ABP 的高线,而ABC 的高线,需由 C 作 AB 的垂线段,在两个高的长中含有字母 k,就不难找到满意条件的 k 值；解： a 1 0,y 最小值 44 k 4 k 1 2 k 1 24 由 y x 22 k 1 x 4 k,得：y x 2 x 2 k 当 y 0 时,x 1 2,x 2 2 k点 A 在点 B 左侧,名师归纳总结 x 1x 2,又x x 20,x 1k0,x 20第 2 页,共 9 页A（2k,0）, B（2, 0）,将B2,0 代入直线yk

6、x22得：2k2k0,k423 当 k4时 , 直 线 过点3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（2）过点 C 作 CDAB 于点 D 就CD| k2 1 |k1 2P0,2k,直线ykx2k交 轴于22OP2kOP1CD2ABC,就1ABAB如SABPS22OP=CD k 2 2 k 1 21解得：k 1,k 2 221由图象知,k 0,取 k21当 k 时,SABP SABC22此时,抛物线解析式为： y x x 2例 3. 已知：ABC 是 O 的内接三角形, BT 为 O 的切线, B 为切点, P 为直线 AB 上一点,

7、过点 P 作 BC 的平行线交直线 BT 于点 E,交直线 AC 于点 F；（1）当点 P 在线段 AB 上时,求证： PAPB=PEPF （2）当点 P 为线段 BA 延长线上一点时,第（明；假如不成立,请说明理由；1）题的结论仍成立吗？假如成立,请证 如AB4 2,cosEBA1,求O的半径3分析： 第（ 1）问是一个常规性等积式的证明问题,按一般思路,需要把它转化为比例 式,再转化为证明两个三角形相像的问题,同学们不会有太大的困难；难点在于让 P 点沿BA 运动到圆外时,探究是否有共同的结论,符合什么共同的规律；第一需要按题意画出图形,并沿用原先的思路、方法去探究,看可否解决；第（3）问

8、,从题意动身,由条件cosEBA1,欲求O的半径,启示我们作出直径AH为帮助线,使隐性的3条件和结论显现出来；证明： （1）（如下列图）名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载BT 切 O 于 B, EBA= C,EF BC, AFP= C AFP= EBA 又 APF= EPB PFA PBE PA PEPFPF PBPAPB=PE（2）（如下列图）当 P 为 BA 延长线上一点时,第（1）问的结论仍成立；BT 切 O 于点 B, EBA= C EP BC, PFA= C EBA= PFA 又 EP

9、A= BPE PFA PBE PF PBPAPF PEPAPB=PE（3）作直径 AH ,连结 BH, ABH=90 ,BT 切 O 于 B, EBA= AHB cosEBA1,cosAHB1332 s i nAHB2 cosAHB1又 AHB 为锐角s i n A H B232AB,AB4 2在RtABH中,sinAHBAHAHsinAB6,AHB O 的半径为 3；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4. 已知二次函数 y2 mx优秀学习资料3欢迎下载m3 x m0 （1）求证：它的图象与 x 轴必有两个不同的

10、交点；（2）这条抛物线与 x 轴交于两点 A（x1, 0）, B（x2, 0）（ x1x2）,与 y 轴交于点C,且 AB=4 , M 过 A 、B、C 三点,求扇形 MAC 的面积 S；（3）在（ 2）的条件下,抛物线上是否存在点 P,使 PBD（PDx 轴,垂足为 D）被直线 BC 分成面积比为 1： 2 的两部分？如存在,求出点 P 的坐标；如不存在,说明理由；分析： 此题的难点是第（3）个问题；我们应先假设在抛物线上存在这样的点P,然后由已知条件（面积关系）建立方程,如果方程有解,就点P 存在；假如方程无解,就这样的点P 不存在,在解题中仍要留意面积比为 1： 2,应分别进行争论；解：

11、 m3 212 mm3 20m0 它的图象与x 轴必有两个不同的交点；1 y2 mxm3 x3 mx3 x令y0,就A x 1,0 ,B x 2,0 x 1x 2,m0x23,x11mA1,0,B 3,0 mAB=4 ,OA=1 ,OBx3,33,m1,B3,0 my22x3C（ 0, 3）, OC=OB, ABC=45 AMC=90 ,设 M （1,b）,由 MA=MC ,得： 11 2b22 1b3 2b=1, M （1, 1）名师归纳总结 MA11 21 25第 5 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - S 扇形MAC12优秀学习资料欢

12、迎下载544（3）设在抛物线上存在这样的点P（ x,y）,就过B（3,0）, C（ 0, 3）的直线BC 的解析式为：yx3,设BC 与PD交于点E当 SPBE：SBED=2： 1 时,PE=2DE, PD=3DE PD 的长是 P 点纵坐标的相反数,DE 的长是 E 点纵坐标的相反数,且 P、E 两点横坐标相同PDx 1y抛3x22x3,DEy直线x3x22x3 x3 解得：2,x3不合题意,舍去3P（2, 3）当 SPBE：SBED =1：2 时,A 在原25PE1DE,DP3DE22x22x33x3 2解得：x 11,x 23不合题意,舍去2P1,1524抛物线上存在符合题意的点P2,3

13、 或P1,1524例 5. 如图：二次函数yx2bxc 的图象与 轴相交于A、 两点,点点左边,点B在原点右边,点P1,m 在抛物线上,AB2,tanPAO（1）求 m 的值；（2）求二次函数的解析式；名师归纳总结 （3）在 x 轴下方的抛物线上有一动点D,是否存在点D,使 DAO 的面积等于PAO第 6 页,共 9 页的面积？如存在,求出D 点坐标；如不存在,说明理由；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载解： （1）作 PHx 轴于 H,在 Rt PAH 中t a n PAOPH2c2AH5PHm,AH5m2P（1,m）在抛物线上

14、,m=1+b+c ,设A x 1,0 ,B x 2,0 ,AB2|x 2x 1|2x 1x224x x22令y0,得：x2bxc0x1x2b,x x 12c,b24xbb24 cb2222且x1x2,x1b2,x2b22OH=1 , AH AO=1 名师归纳总结 AH5m,AOx 1b2224第 7 页,共 9 页25 2mb221m1bcm25由：5mb221得：b425b24 c2c2125b4舍去m24 25 yx24x21525D（x 0,y0）,（3）假设在 x 轴下方的抛物线上存在点使SDAOSPAO,就有：|AO|PH|SDAO1|AO|y0|,SPAO122- - - - -

15、- -精选学习资料 - - - - - - - - - |y0| |PH|m24,优秀学习资料欢迎下载25y04x 024,代入y0x2 04x 021 5,得：12552 x 02124x 13,x2,解得：552555满意条件的点有两个：D 3,2 4 或 D 1,2 45 2 5 5 2 5例 6. 如图,在平面直角坐标系 OXY 中,正方形 OABC 的边长为 2cm,点 A 、C 分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半轴上,抛物线 y=ax 2+bx+c 经过点 A 和 B,且 12a+5c=0；（1）求抛物线的解析式；（2）假如点 P 由点 A 沿 AB 边以 2cm/秒的速度向点

16、B 移动,同时点Q 由点 B 开头沿tBC 边以 1cm/秒的速度向点C 移动,那么：S 与 t 之间的函数关系式,并写出移动开头后第t 秒时,设 S=PQ2（ cm 2）,试写出的取值范畴；当 S 取最小值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、 B、Q、R 为顶点的四边形是平行四边形？如存在,恳求出点R 的坐标；如不存在,请说明理由；解： （1）依据题意, A（0, 2）, B（2, 2）2ca56b5依据题意：24 a2 bc312 a5 c0c2抛物线的解析式为：y5x25x263（2）移动开头后第t 秒时, AP=2t ,BQ=t P（2t, 2）, Q（ 2,t2）名师归纳总结 SP

17、Q2,S2 ttt222t22第 8 页,共 9 页即S5 t28 t401 当S 取得最小值时,45- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - P8,2,Q2,6优秀学习资料欢迎下载55假设在抛物线上存在点R,使得以 P、B、Q、 R 为顶点的四边形是平行四边形,如以 PR 为一条对角线,使四边形 PBRQ 为平行四边形8 2BP 2 QR5 52 12 12 62,R,5 5 5 512 6经检验 R, 在抛物线上,5 5如为 PB 为一条对角线,使四边形PRBQ 为平行四边形BQt4PR5 241455R8,14,经检验R 8,14不在抛物线上6,使得以P、B、Q、R5555S 最小时,抛物线上存在点R12,综上所述,当55为顶点的四边形是平行四边形；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页