2022年立体几何初步知识点+练习题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 简洁组合体的结构特点由简洁几何体组合而成的几何体叫做简洁组合体；其构成有两种基本形式：一种是由简洁几何体拼接而成；一种是由简洁几何体截去或挖去一部分而成；多面体和旋转体表面上的最短距离问题的解法：求多面体表面上两点间的最短距离,一般将表面绽开为平面图形,从而把它转化为平面图形内两点连线的最短长度问题,要留意的是, 假如不是指定的两点间的某种特殊路径,其表面上两点间的距离应是按各种可能方式绽开成平面图形后各自所得最短距离中的最小者旋转体侧面上两点间的最短距离,犹如多面体一样,将侧面绽开, 转化为绽开面内两点连线的最短长度问题来解决例题 1.已知圆

2、锥的母线长与底面半径长之比为3：1,一个正方体有四个顶点在圆锥的底面内,另外的四个顶点在圆锥的侧面上（如图）,就圆锥与正方体的表面积之比为（）A ：1 B3 ：1 C3 ：2 D3 ：4 答案： D 例题 2.下图是由哪个平面图形旋转得到的（C.）D.A.B.答案： A 名师归纳总结 例题 3.请写出所给三视图表示的简洁组合体由哪些几何体组成_第 1 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案：圆柱体、圆锥例题 4.如下列图,在某试验区,用4 根垂直于地面的立柱支撑一个平行四边形的太阳能电池板,可测得其中三根立柱AA 1、BB1、CC 1

3、的长度分别为10m 、 15m 、30m ,就立柱 DD 1 的长度是（）A.30m B.20m C.25m D.15m 答案： C 例题 5.如图甲所示,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由底面半径为 1cm 和半径 当这个几何体如图乙水平放置时,液面高度为 20cm ,为 3cm 的两个圆柱组成的简洁几何体当这个几何体如图丙水平放置时,液面高度为 28cm ,就这个简洁几何体的总高度为（）A.29cm B.30cm C.32cm D.48cm 答案： A 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例题 6.在图中,

4、 M 、N 是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点,如从 M 点绕圆柱体的侧面到达 N ,沿怎么样的路线路程最短？答案：沿圆柱体的母线 MN 将圆柱的侧面剪开辅平,得出圆柱的侧面绽开图,从 M 点绕圆柱体的侧面到达N 点,实际上是从侧面绽开图的长方形的一个顶点M 到达不相邻的另一个顶点 N 而两点间以线段的长度最短所以最短路线就是侧面绽开图中长方形的一条对角线如下列图例题 7.一个十二面体共有8 个顶点,其中2 个顶点处各有6 条棱,其它顶点处都有相同的棱,就其它顶点处的棱数为 _ 此十二面体如上图,数形结合可得就其它顶点处的棱数为 4 例题 8.如图,绕虚线旋转一周后形成的立体图形是

5、由哪些简洁几何体构成的？名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：旋转后的图形如下列图（1 ）由一个圆柱圆台和圆台组成；的圆台组成；（2 ）由一个圆锥一个圆柱及一个挖去圆锥例题 9.如某简洁组合体的三视图（单位：几何体的表面积；解：该几何体由球和圆台组成；cm ）如下列图,说出它的几何结构特点,并求该球的半径为1 ,圆台的上下底面半径分别为1 、4 ,高为 4,母线长为5,S 球=4 cm2,S 台= （12+42+1 5+4 5）=42 cm2,故 S 表=S球+S台=46 cm2；例题 10.如图,这是一个奖杯的三

6、视图,（1 ）请你说明这个奖杯是由哪些基本几何体组成的；（2 ）求出这个奖杯的体积；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（ 1）该奖杯由一个球、一个直四棱柱、一个四棱台组成；（2 ）由三视图可知,球的直径为 4cm ；直四棱柱的高为 20cm ,底面长为 8cm ,底面宽为4cm ；四棱台的高为 2cm ,上底面长为 12cm 、宽为 8cm ,下底面长为 20cm 、宽为 16cm ,所以,所求奖杯的体积为空间几何体的三视图中心投影：光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影,而变化；平行投影：其投影的大小随物体与

7、投影中心间距离的变化在一束平行光线照耀下形成的投影叫做平行投影；在平行投影中,投影线正对着投影面时,叫做正投影,否就叫做斜投影 空间几何体的三视图 光线从几何体的前面对后面正投影,得到投影图, 叫做几何体的正视图；光线从几何体的左 得到 面对右面正投影,得到投影图,叫做几何体的侧视图；从几何体的上面对下面正投影,投影图, 叫做几何体的俯视图；几何体的正视图、 侧视图、 俯视图统称为几何体的三视图；注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度；名师

8、归纳总结 平行投影与中心投影的区分和联系:第 5 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 平行投影的投射线都相互平行,中心投影的投射线是由同一个点发出的如下列图,平行投影是对物体投影后得到与物体等大小、等外形的投影； 中心投影是对物体投影后得到比原物体大的、外形与原物体的正投影相像的投影中心投影和平行投影都是空间图形的基本画法,平行投影包括斜二测画法和三视图中心投影后的图形与原图形相比虽然转变较多,但直观性强, 看起来与人的视觉成效一样,最像原先的物体画实际成效图时,一般用中心投影法,画立体几何中的图形时一般用平行投影法画三视图的规章画三视图

9、的规章是正侧一样高,正俯一样长,俯侧一样宽即正视图、侧视图一样高,正视图、俯视图一样长,俯视图、侧视图一样宽; 能观察的轮廓线和棱用实线表示,不能看画三视图时应留意：被拦住的轮廓线画成虚线,见的轮廓线和棱用虚线表示,尺寸线用细实线标出；时按 mm 计; D 表示直径, R 表示半径；单位不注明对于简洁的几何体,如一块砖, 向两个相互垂直的平面作正投影,就能真实地反映它的大小和外形一般只画出它的正视图和俯视图（二视图）对于复杂的几何体,三视图可能仍不足以反映它的大小和外形,仍需要更多的投射平面例题 1.一个正三棱柱的三视图如下列图,求这个正三棱柱的表面积和体积名师归纳总结 - - - - - -

10、 -第 6 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例题 2.一个几何体的三视图如下列图分别是直角梯形、的体积与表面积例题 3.一块石材表示的几何体的三视图如下列图,到的最大球的半径等于（）D4 A1 B2 C3 正方形和矩形, 画出直观图, 并求它将该石材切削、 打磨、加工成球,就能得名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例题 4.如下列图,一个空间几何体的正视图,侧视图,俯视图为全等的等腰直角三角形,假如直角三角形的直角边为 1 （1 ）画出几何体的直观图；（2 ）求几何体的表面积和体积名

11、师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例题 5.如下列图,一个简洁的空间几何体的正视图和侧视图是边长为2 的正三角形,俯视图轮廓为正方形,试描述该几何体的特点,并求该几何体的体积和表面积例题 6.依据三视图,想像物体原型,并画出物体的实物草图：名师归纳总结 （1 ）三视图如图（a）第 9 页,共 27 页（2 ）三视图如图（b ）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 依据几何体画三视图的方法,三视图复原几何体（1）上部是圆柱下部是四棱柱；（2）下部是长方体,上部五面体的组合体；复原后

12、的几何体如图：例题 7.如图是一个几何体的正视图和俯视图（1 ）试判定该几何体是什么几何体；（2 ）画出其侧视图,并求该平面图形的面积；（3 ）求出该几何体的体积（1 ）由三视图可知,正视图是由三角形组成,底面是一个正六边形,几何体是一个正六棱锥（2 ）其侧视图如图：名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其中 AB=AC ,AD BC,且 BC 的长是俯视图中正六边形对边的距离,即 BC 3 aAD 的长是正六棱锥的高,即 AD 3 a2该平面图形的面积 S 1 3 a 3 a 3 a2 231 3 2 3 a（3

13、）V 6 a 3 a3 4 2例题 8.如图,平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中,BAD BAA 1DAA 160 ,（1 ）当 AA13,AB2,AD 2,求 AC1 的长；（2 ）当底面 ABCD 是菱形时,求证：解：（ 1）由于所以由于 AA13,AB1,AD 2 ,所以名师归纳总结 （2 ）设,上的动点 ,第 11 页,共 27 页就,又底面 ABCD 是菱形,所以,所以,故例题 9.如右图 ,正方体的棱长为 1,P 为 BC 的中点 ,Q 为线段过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.就以下命题正确选项写出全部- - - - - - -精选学习资料 - - - -

14、 - - - - - 正确命题的编号 . 当 时,S 为四边形 ; 当时,S 不为等腰梯形 ; ; 当时,S 与的交点 R 满意当时,S 为六边形 ; 当时,S 的面积为试题分析： 取 AB 的中点 M, 在 DD 1 上取点 N, 使得 DN=CQ, 就 MN PQ; 作 AT MN, 交直线DD 1 于点 T,就 A、P、Q 、T 四点共面 ; 当 0CQ时,就 0DNDT=2DN1S 为四边形 APQT; 当 CQ=时,就 DN=DT=2DN=1点 T 与 D 1 重合S 为等腰梯形APQD 1; 当 CQ=时,就 DN=DT=2DN=D 1T=;由 D1R:TD 1=BC:DTD 1R

15、=C1R= ; 当CQ1时,DN1DT=2DN,2,T 在 DD 1 的延长线上 ,设 TQ 与 C1D 1 交于点 E,AT 与 A 1D 1 交于点 F,就 S为五边形 APQEF; 当 CQ=1 时,点 Q 与 C1 重合 ,且 DT=2名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - AT 与 A 1D 1 交于 A 1D 1 的中点 FS 为菱形 APC 1FS 的面积 =AC 1 PF= . 综上 ,命题正确选项 :空间几何体的直观图及画法（斜二测画法）空间图形的直观图 用来表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观

16、图斜二测画法：斜二测画法是一种特殊的平行投影画法；斜二测画法：（1 ）在已知图形中,取相互垂直的x 轴和 y 轴,两轴相交于点O ,画直观图时,把它们画成对应的 x 和y 轴,两轴相交于点 O ,且使xO y=45 （或135 ）,它们确定的平面表示水平面；（2 ）在已知图形中平行于x 轴、 y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于x 轴或y 轴的线段；（3 ）在已知图形中平行于x 轴的线段,在直观图中保持长度不变；平行于y 轴的线段,长度为原先的一半；已知三视图画直观图的方法：在工程技术中, 为了全面展现图纸上的几何体的特点和尺寸,常给出三视图, 而要清楚地观 察到其成效,就需将其转化为直观图

17、（具有空间立体感）在由三视图转化为直观图时,先由三视图确定几何体的长、宽、高比较常见几何体的三视图,从而得到正确的直观图已知直观图画三视图的方法：在由直观图画三视图时先由与投影面平行或垂直的线段确定三视图的顶点,与投影面平行的 线段投影的长度不变,与投影面垂直的线段投影后是一个点依据斜二测画法求直观图面积：名师归纳总结 求直观图面积的关键是依据斜二测画法,求出相应的直观图的底边和高,也就是在原先实际第 13 页,共 27 页图形中的高线, 在直观图中变为与水平直线成450角且长度变为原先的一半的线段,以此为依据来求出相应的高线即可将水平放置的平面图形的直观图仍原成原先的实际图形,其作法就是逆用

18、斜二测画法,也就是使平行于x 轴的线段的长度不变,而平行于 y 轴的线段长度变为原先的2 倍- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 斜二测画法：（1 ）在已知图形中,取相互垂直的x 轴和 y 轴,两轴相交于点O ,画直观图时,把它们画成对应的 x 和y 轴,两轴相交于点 O ,且使xO y=45 （或135 ）,它们确定的平面表示水平面；（2）在已知图形中平行于x 轴、 y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于x轴或 y 轴的线段；（3 ）在已知图形中平行于x 轴的线段,在直观图中保持长度不变；平行于y 轴的线段,长度为原先的一半；立体图形的直观图的画法：画立

19、体图形的直观图时,主要有下面几个步骤：l画底面,这时使用平面图形的斜二测画法即可2 画 z 轴,z 轴过点o ,且与x 轴夹角为 900,并画高线（与原图高线相等,画正棱柱时只需要画侧棱即可）,连线成图3 擦去帮助线,被遮线用虚线表示；特殊提示 l画立体图形的直观图的要求不高,只要会画圆柱、圆锥、正棱柱、正棱锥和正棱台的直观图即可2画立体图形与画水平放置的平面图形相比多OCA=a ,例题 1.如图,等腰直角OAB 是斜二侧画法下的直观图,它的斜边长为求OAB的面积BD 如图所例题 2.（1）已知梯形 ABCD 是直角梯形, 依据斜二测画法画出它的直观图A示,其中 AD=2 , BC=4 , A

20、B=1 ,求直角梯形以 BC 为旋转轴旋转一周形成的几何体的表面积名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2 ）定线段 AB 所在的直线与定平面 相交, P 为直线 AB 外的一点,且P 不在 内,如直线 AP、BP 与 分别交于 C、D 点,求证：不论 P 在什么位置,直线 CD 必过肯定点例题 3.已知斜二测画法得到的直观图ABC 是正三角形,画出原三角形的图形由斜二测法知：BC 不变,即 BC 与 BC 重合,OA 由倾斜45 变为与x 轴垂直,并且 由此得到原三角形的图形 ABC O A 的长度变为原先的 2

21、 倍,得到 OA ,例题 4.如图是一个空间几何体的三视图,试用斜二测画法画出它的直观图（尺寸不作严格要求,但是凡是未用铅笔作图不得分,顺手画图也不得分）名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由题可知题目所述几何体是正六棱台,画法如下：画法：（1 ）、画轴画 x 轴、 y 轴、 z 轴,使 xO y =45 ,xO z=90 （图 1）（2 ）、画底面以 O 为中心,在 XOY 坐标系内画正六棱台下底面正方形的直观图 ABCDEF 在 z 轴上取线段 O O 1 等于正六棱台的高；过 O 1 画 O 1M 、O 1N

22、 分别平行 O 直观图 ABCEF（3 ）、成图x 、O y ,再以O 1 为中心,画正六棱台上底面正方形的连接 AA 、BB 、CC 、DD 、EE 、FF ,并且加以整理, 就得到正六棱台的直观图（如图 2）例题 5.依据给出的空间几何体的三视图,用斜二侧画法画出它的直观图名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 画法：（1）画轴如下图, 画 x 轴、y 轴、z 轴,三轴相交于点O ,使xOy=45 ,xOz=90 （2 ）画圆台的两底面画出底面O 假设交 x 轴于 A、B 两点,在 z 轴上截取 O ,使OO 等于

23、三视图中相应高度,过 O 作Ox 的平行线 O x ,Oy 的平行线 O y 利用O x 与O y 画出底面O ,设O 交x 轴于A 、B 两点（3 ）成图连接 AA、BB,去掉帮助线,将被遮挡的部分要改为虚线,即得到给出三视图所表示的直观图柱体、椎体、台体的表面积与体积 侧面积和全面积的定义：1 侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开,所得到的绽开图 的面积,就是空间几何体的侧面积2 全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积,柱体、锥体、台体的表面积公式（柱体、锥体、台体的体积公式：球的表面积与体积c 为底面周长, h 为高, h 为斜高,l

24、为母线）名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 球的体积公式：V 球=；球的表面积：S 球面 =求球的表面积和体积的关键：由球的表面积和体积公式可知,求球的表面积和体积的关键是求出半径；常用结论：1.如球的表面积变为原先的 2 倍,就半径变为原先的 倍. 2.如球半径变为原先的 2 倍,就表面积变为原先的 4 倍. 3.如两球表面积之比为 1:2 ,就其体积之比是 . 4.如两球体积之比是 1:2,就其表面积之比是 . 组合体的表面积与体积组合体的表面积与体积主要通过运算组成几何体的简洁几何体的表面积与体积来求解组合体

25、的表面积和体积与球有关的组合体问题：一种是内切,一种是外接解题时要仔细分析图形,明准确点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系, 并作出合适的截面图如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心,或” 、点；求几何体的体积的几种常用方法：（1 ）分割求和法：把不规章的图形分割成规章的图形,然后进行体积求和；（2 ）补形法：把不规章形体补成规章形体,不熟识形体补成熟识形体,便于运算其体积；常见的补形方法：名师归纳总结

26、- - - - - - -第 18 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3 ）等体积转化法：从不同的角度看待原几何体,通过转变顶点和底面,利用体积不变的原理,求原几何体的体积；例题 1.如下列图,四边形 ABCD 为正方形,QA平面ABCD , PDQA,QA AB PD.就棱锥 Q ABCD 的体积与棱锥 P DCQ 的体积的比值是（）A. 2:1 B. 1:1 C. 1:2 D. 1:3 设 ABa.由题设知 AQ 为棱锥 Q ABCD 的高,

27、所以棱锥Q ABCD 的体积 V 1. 易证 PQ面 DCQ ,而 PQ ,DCQ 的面积为,所以棱锥 PDCQ 的体积 V2.故棱锥 QABCD 的体积与棱锥PDCQ 的体积的比值为 1:1,选 C. 名师归纳总结 例题 2.在三棱锥、中,是边长为的正三角形,平面平面,第 20 页,共 27 页,分别为、的中点- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （）证明：；（）求三棱锥的体积中点,连结,试题解析：（）证明：如图,取,又是正三角形,平面又在平面内,（）是的中点,平面平面,平面又,即点到平面的距离为 1是的中点,点到平面的距离为例题 3.四棱锥 P-ABC

28、D 的三视图如下,E 是侧棱 PC 上的动点；名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1 ）求四棱锥P-ABCD的体积；（2 ）是否不论点E 在何位置,都有BDAE？证明你的结论；（3 ）如点 E 为 PC 的中点,求直线AE 与平面 PBC 所成的角的正切值解：（ 1）由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1 的正方形,侧棱 PC底面 ABCD ,且 PC=2 ,；（2 ）不论点 E 在何位置,都有 BD AE；证明：连结 AC ,ABCD 是正方形,BD AC,PC底面 ABCD 且 BD 平

29、面 ABCD ,BD PC,又 ACPC=C ,BD 平面 PAC,不论点 E 在何位置, AE 平面 PAC,都有 BDAE；（3 ）连结 BE,PC平面 ABCD ,AB PC,又 ABBC,BCPC=C ,BA 平面 PBC,AEB 是直线 AE 与平面 PBC 所成的角,在直角 ABE 中, tan AEB=,直线 AE 与平面 PBC 所成的角的正切值为名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例题 4.如图,在三棱锥中, ,平面平面,分别为,中点（1 ）求证： 平面；（2 ）求证：；（3 ）求三棱锥的体积 .

30、解：（ 1）由于,分别为,中点,所以,平面,又平面所以 平面 ,（2 ）连结,由于,又所以,. 为,中点,又所以平面. 所以所以（3 ）由于平面平面,有,所以平面,所以名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例题 5.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各棱,一球过于正方体的各顶点,求这三个球的体积之比；例题 6.如图,这是一个奖杯的三视图,（1 ）请你说明这个奖杯是由哪些基本几何体组成的；（2 ）求出这个奖杯的体积解：（ 1）该奖杯有三部分组成,由于上部的三视图均为圆,故上部为一个球；中部的三视图均为矩形

31、,故中部为一个直四棱柱；下部的三视图有两个为梯形,一个为正方形,故下部为一个四棱台；该奖杯由一个球、一个直四棱柱、一个四棱台组成（2 ）由三视图可知,球的直径为 4cm ； 直四棱柱的高为 20cm ,底面长为 8cm ,底面宽为 4cm ；四棱台的高为 2cm ,上底面长为 12cm 、宽为 8cm ,下底面长为 20cm 、宽为 16cm 所以,所求奖杯的体积为名师归纳总结 V=V球+V 直四棱柱 +V 四棱台 =+8 4 20+ 2 第 24 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例题 7.请您设计一个帐篷,它下部的外形是高为1m 的

32、正六棱柱,上部的外形是侧棱长为3m 的正六棱锥（如下列图）；试问当帐篷的顶点O 究竟面中心O 1 的距离为多少时,帐篷的体积最大？解：当帐篷的顶点究竟面中心的距离为 2m 时,帐篷体积最大；例题 8.如图几何体上半部分是母线长为 5 ,底面圆半径为 3 的圆锥, 下半部分是下底面圆半径为 2,母线长为 2 的圆台,运算该几何体的表面积和体积欧拉公式V+F-E=2 （简洁多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F）（1 ）E= 各面多边形边数和的一半,特殊地,如每个面的边数为 n 的多边形,就面数 F 与棱数 E 的关系：； | （2 ）如每个顶点引出的棱数为 m ,就顶点数 V 与棱数 E 的关

33、系：；欧拉公式的推论：名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一个平面凸n 边形的任何三条对角线在凸n 边形内不共点,记顶点数及对角线的交点数总和为 V ,凸n 边形被分为的区域数为F ,组成各区域棱数总和为E ,就有：V+F -E =1欧拉定理说明：任意的一个简洁多面体,经过连续边形后, 尽管它的外形可以变化万千,但有一个数始终不变,这就是：顶点数 + 面数 -棱数,它的总和等于 2,所以 2 叫做连续边形下的不变数；例题 1.一个凸多面体的面数为 8,顶点数为 10 ,就它的棱数为（）A.24 B.22 C.18

34、D.16 答案： D 例题 2.一个简洁多面体的每一个顶点处都有三条棱,如设该多面体的顶点数、面数、棱数分别为 V、F、E,就 2F-V=_ 例题 3.18 世纪的时候,欧拉通过讨论,发觉凸多面体的面数F、顶点数 V 和棱数 E 满意一个等式关系请你讨论你熟识的一些几何体（如三棱锥、三棱柱、正方体 ）,归纳出 F、V、E 之间的关系等式：_ 凸多面体的面数为 F、顶点数为 V 和棱数为 E,举例如下正方体： F=6 ,V=8 ,E=12 ,得 V+F-E=8+6-12=2；三棱柱： F=5 ,V=6 ,E=9 ,得 V+F-E=5+6-9=2；三棱锥： F=4 ,V=4 ,E=6 ,得 V+F

35、-E=4+4-6=2依据以上几个例子,猜想： 凸多面体的面数 F、顶点数 V 和棱数 E 满意如下关系： V+F-E=2 再通过举四棱锥、六棱柱、 等等,发觉上述公式都成立因此归纳出一般结论：V+F-E=2 故答案为： V+F-E=2 名师归纳总结 例题 4.有 30 个顶点的凸多面体,它的各面多边形内角总和是_ 第 26 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 凸多面体它的各面多边形的内角总和为（V-2 ）. 360 有 30 个顶点的凸多面体的各面多边形内角总和是（故答案为： 10080 例题 5.下面 A ,B,C,D 为四个平面图形：30-2 ） 360 =10080 （1 ）数出每个平面图形的交点数、边数、区域数,并将相应结果填入表格；（2 ）观看表格, 如记一个平面图形的交点数、边数、 区域数分别为E,F,G,试猜想 E,F,G 之间的等量关系（不要求证明）；（3 ）现已知某个平面图形有2022 个交点,且围成2022 个区域,试依据以上关系确定该平面图形的边数；解：（ 1）见下表：；（2 ）；（3 ）4019 ；名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页,共 27 页