2022年九年级数学圆的知识点总结大全.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点第四章：圆一、学问回忆 圆的周长 ： C=2r 或 C=d、圆的面积 ：S=r2 圆环面积运算方法： S=R2-r2或 S= （R2-r2）R 是大圆半径, r 是小圆半径）二、学问要点 一、圆的概念 集合形式的概念：1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆；固定的端点 O 为圆心；连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心

2、的弦叫直径；圆上任意两点之 间的部分叫做圆弧,简称弧；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直 线；二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点 C 在圆内；ABrddO2、点在圆上dr点 B 在圆上；C3、点在圆外dr点 A在圆外；三、直线与圆的位置关系名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - -

3、 - - - - - 1、直线与圆相离dr名师总结优秀学问点无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点；rd3、直线与圆相交有两个交点；drrdd=r四、圆与圆的位置关系外离（图 1）无交点dRr ；r ；d外切（图 2）有一个交点dRr ；相交（图 3）有两个交点RrdR内切（图 4）有一个交点dRr ；内含（图 5）无交点dRr ；ddR图 1rdRrR图 2rdrRr图 3R图4 图 5五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点推论 1：（1）

4、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理,简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中,只要知道其中 2 个即可推出 其它 3 个结论,即： AB 是直径 ABCD CEDEC 弧 BCB弧 BD 弧 AC弧 AD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论；ODAD推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等；O即：在 O 中,AB CDEAC弧AC弧 BDB六、圆心角定理顶点到圆心的角,叫圆心角；圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦

5、相等,所对的弧相等,弦心距相等；此 定理也称 1 推 3 定理,即上述四个结论中,E只要知道其中的1 个相等,就可以推出其它的3 个结论,F即：AOBDOE ； ABDE ；AOBD OCOF ； 弧 BA弧 BDC七、圆周角定理 C顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫圆周角；1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的BO角的一半；A即： AOB和ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角第 3 页,共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AOB2ACB名师总结优秀学问点2、圆周角定理的推论：D C推论 1：同弧或等弧所对的圆

6、周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧；BOA对的弧是半圆,即：在 O 中, C 、D 都是所对的圆周角 CDC推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所所对的弦是直径；BOCA三角形是直角即：在 O 中,AB 是直径或C90C90AB 是直径推论 3：如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形；C90BOA即：在 ABC 中,OCOAOBABC 是直角三角形或注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：理；八、圆内接四边形在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角；即：在 O 中,CD四边形ABC

7、D 是内接四边形B名师归纳总结 AE第 4 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - CBAD180名师总结优秀学问点BD180D A E C九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不行即：MNOA且 MN 过半径 OA外MON端MN 是O 的切线（2）性质定理： 切线垂直于过切点的半径 （如上图）A点；推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心；以上三个定理及推论也称二推肯定理：即：过圆心；过切点；垂直切线,三个条件中知道其中两

8、个条件就能推出最终一个；十、切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角；即：PA 、 PB 是的两条切线PBAOPAPBPO平分BPA十一、圆幂定理（1）相交弦定理 ：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘BCOAD积相等；第 5 页,共 8 页P名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点即：在 O 中,弦AB 、 CD 相交于点 P ,PA PBPC PDBAOECA径所成的两条（2）推论：假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直线段的比例中项；即：在 O 中,直

9、径 ABCD ,DOD线,切线长是这CE2AE BEE（3） 切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；PCB即：在 O 中,PA 是切线, PB 是割线PA2PC PB（4）割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）；即：在 O 中,PB 、 PE 是割线PC PB PD PE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这222 CO 2；O1A两个圆的的公共弦；O2如图：O O 垂直平分 AB ；BB即： 1 O 、O 相交于 A 、 B 两点A 1 O O 垂直平分 AB十三、圆的公切

10、线CO1两圆公切线长的运算公式：O2第 6 页,共 8 页（1）公切线长：Rt O O C 中,AB22 CO 1O O名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）外公切线长：CO 是半径之差；名师总结优秀学问点；内公切线长：CO 是半径之和十四、圆内正多边形的运算BBCA（1）正三角形O在O 中 ABC 是正三角形,有关运算在 Rt BOD 中进行：DOD:BD OB1:3 : 2；C（2）正四边形ODA同 理 , 四 边 形 的 有 关 计 算 在 Rt OAE 中 进 行 ,EOE:AE OA1:1:2：（3）正六边形同 理 , 六 边

11、 形 的 有 关 计 算 在 Rt OAB 中 进 行 ,AOAA BO BO A 1 :. 3 : 2B十五、扇形、圆柱和圆锥的相关运算公式1、扇形：（1）弧长公式：ln R；1 2lROSBlD1180（2）扇形面积公式：S2 n R360n ：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长S：扇形面积2、圆柱：AD（1） A 圆柱侧面绽开图rh2r2BC底面圆周长母线长第 7 页,共 8 页S 表S 侧2底=2C1名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - B 圆柱的体积：V2 r h名师总结优秀学问点B1（2） A 圆锥侧面绽开图名师归纳总结 S 表S 侧S 底=Rr1r2AOCrRB第 8 页,共 8 页B 圆锥的体积：V2 r h3- - - - - - -