2022年对称性、奇偶性和周期性的综合运用.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 函数的对称性、奇偶性和周期性的综合运用 一函数的对称性（一）函数yf x的图象自身对称1、轴对称对于函数 fx 的定义域内任意一个x,图象关于直线xax2bxaa2b对称 . faxfbxyf x推论 1：faxfaxyf x的图象关于直线xa对称 . 的图象关于直线推论 2：fxf2axx对称 . yf x推论 3：fxf2axyf x的图象关于直线a对称 . x求对称轴方法：xax 2bxab22、中心对称对于函数 fx 的定义域内任意一个x,2yxf x的图象关于点a2b,c对称 . faxfbx2c推论：faxfax2byff x的图象

2、关于点a,b对称 . 推论：fxf2ax x的图象关于点a,b对称 . 2by推论：fxf2ax2byf x的图象关于点a,b对称 . c .ax b,纵坐标y2 c求对称中心方法：横坐标x2小结 : 轴对称与中心对称的区分轴对称： fa+x= fb-x中,自变量系数互为相反数（内反）,函数值相等差为零 ；中心对称： fa+x= - fb-x+2c 定值 . （二）两个函数的图象相互对称中,自变量系数互为相反数（内反）,函数值和为1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、函数yfax与函数yfbx图象关于直线xb2a

3、对称 ；特殊地, 函数 yfa x 与 yfa x 关于直线 x=0y 轴 轴对称；函数yf x与函数yfx图象关于 y 轴对称；. 求对称轴方法：令 a+x=b-x, 得xb2a.2、函数 yfa x+c 与 y fb x+d 关于点b2a,c2d中心对称；特殊地, 函数 yfa x 与 y fa x 关于点（ 0,0 ）（原点）中心对称函数yf x与函数yfx图象关于原点对称函数. 求对称中心方法：横坐标令 a+x=b-x, 得xb2a,纵坐标 y=c2d.二 函数的奇偶性1. 假如对于函数 fx 的定义域内任意一个 x,都有 f x fx （ fx f x 0）,那么函数 fx 叫做偶函

4、数偶函数的图象关于 y 轴（ x=0）对称推论：如 yfx a 为偶函数,就 fx a f xa ,即 y fx 的图像关于直线xa 轴对称 . 2. 假如对于函数fx 的定义域内任意一个x,都有 f x fx （fx +f x 0）,那么函数 fx叫做奇函数奇函数的图象关于原点0,0 对称 . 的图像关于点推论： 如 y fx a 为奇函数, 就 f xa fa x ,即 yfx （a,0）中心对称 . 三函数的周期性1. 定 义 ： 对 于 f x 定 义 域 内 的 任 意 一 个 x , 都 存 在 非 零 常 数 T, 使 得f x T f x 恒成立,就称函数 f x 具有周期性,

5、T 叫做 f x 的一个周期,就kT（k Z , k 0）也是 f x 的周期,全部周期中的最小正数叫 f x 的最小正周期 . 2. 推论：fxTffx Ty0 ffyf x的周期为 T. fxaxy x的周期为Tbabfxafx x的周期为T2a2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - fxaf1xyf x的周期为T2afxaf1yyf x的周期为T2axf x的周期为T2a .fxa1fxy1fxfxaf11f x的周期为T2axf x的周期为T4afxa1fxy1fxfxyf x的周期为T6afx2afxa如p0

6、 ,fpx fpxa,就 Ta p.如函数 yfx同时关于直线xa 与 xb 轴对称,就函数fx 必为周期函数,且T 2|a b|. 推论：偶函数yf x满意faxfaxyf x周期T2a如函数 yfx同时关于点（ a,0）与点（ b,0）中心对称,就函数fx必为周期函数,且 T2|a b|. 推论：奇函数 y f x 满意 f a x f a x 0 y f x 周期 T 4 a y f x 有一条对称轴 x a 和一个对称中心 b , 0 f x 的周期 T4|a b|. 小结：函数对称性、 奇偶性和周期性定义共同点： “ 对于函数 fx 定义域内任意一个 x” ；对称性、周期性定义中条件

7、,“内反表示对称性,内同表示周期性” ；定义在上的函数 y f x ,在对称性、 周期性和奇偶性这三条性质中,只要有两条存在,就第三条肯定存在 . 题型分类1. 求函数值例1. 设xf x是f7,上 的 奇 函 数 ,f2xfx,当0x1时 ,fx,就.5等于（ -0.5 ）3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - （A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5. 例 2. 偶函数 yfx满意条件fx 1 fx 1 ,且当 x 1,0 时, fx 3x 4 9,就 flog 5 的值等于 3 A 1 B

8、. 29 C. 101 D 1 2,f-x=fx log 5=f2-135045解：由于偶函数yfx满意条件 fx 1 fx 1 ,说明函数的周期为当 x 1,0 时, fx 3x 4 9,就对于log15=-log35 ,flog 5=f2+ 133log 5 =3log 5 4 9=1 故可知答案为D.2比较函数值大小 1例 3. 如fxxR是以2 为周期的偶函数,当x0,1时,fxx1998,试比较f 9819、f 10117、f104的大小 . 151解：fxx14R是以2 为周期的偶函数,又,fxx1998在0, 1上是增函数,且01 17161,f1f16f14即f101 17f9

9、8f104.191517191519153、求函数解析式例 4. 已知 fx 是定义在 R上的偶函数, fx= f4-x,且当x2,0时,fx= 2x+1,求当x4,6时求 fx的解析式 . f x是偶函数,在区间例 5设f x是定义在,上以 2 为周期的周期函数,且2,3上,fx2x3 24.求x1,2时,f x的解析式 . 解：当x3,2,即x2,3,4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - fxfx2x3 242x324又f x是以 2 为周期的周期函数,于是当1x1,2,即3x42时,有fx4 x2 .fx24

10、12x43242xfxfx2x1 24 1x2.4、判定（证明）函数性质例 6. 已知f x的周期为 4,且等式f2xf2x对任意xR均成立,x ,试xf2x得判定函数f x的奇偶性 . 解：由f x的周期为 4,得fxf4x,由f2fxf4x,fxfx,故f x为偶函数 . f1,f999+x=f999例 7. 已知 fx 是定义在 R上的函数,且满意 fx+999=x判定函数 fx 的奇偶性 . 例 8. 已知 fx 是定义在 R上的偶函数, fx= f4-x4,且当x2,0时, fx是减函数,求证当x4,6时 fx 为增函数0解：设4x 1x 26就2x 24x 1 fx在-2 ,0 上

11、是减函数fx 24fx 143（1）知函数 fx的,类比命题又函数 fx是定义在 R上的偶函数, fx= f4-x周期为 4 故 fx+4=fx f x 2 f x 1 f-x=fx f x 2 f x 1 故当 x 4,6 时 fx 为增函数例 9. 设 fx 是定义在 R上的偶函数,其图象关于 x1 对称,证明 fx 是周期函数5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 10. 设 fx 是定义在 R上的函数,且满意 f10 x f10 x ,f20 x f20 x ,就 fx 是（ C ）A偶函数,又是周期函数

12、B偶函数,但不是周期函数C奇函数,又是周期函数 D奇函数,但不是周期函数例 11. 设函数 fx 是定义在 R上的奇函数,且满意对任意 xR都有 f2+x=-fx,又当x -1,1 时 fx=x 3 ,证明：直线 x=1 是 fx 图像的一条对称轴；当 x1,5 时,求函数 fx 的解析式判定函数的单调性5、确定函数零点个数例 12. 设函数f x对任意实数x 满意f2x,f2x,f7x f7x,且f00,判定函数f x图象在区间3030上与 x 轴至少有多少个交点. 解：由题设知函数f x图象关于直线x2和x7对称,又由函数的性质得f x是以 10 为周期的函数 . 在一个周期区间0, 10

13、上,f00,f4f22f22f00且fx不能恒为零,故f x图象与 x 轴至少有 2 个交点 . 上f x图象与 x 轴至少有 13 个交点 . 而区间30,30有 6 个周期,故在闭区间30,306、求参数的值（范畴）例 13. 如函数 fx=|x+a|,且 fx 满意对 xR都有 f3+x=f2-x,就实数 a=_如函数 fx=x+a 3,且 fx 满意对 xR都有 f3+x=-f2-x,就实数 a=_例 14. fx 满意 fx =-f6-x,fx= f2-x,如 fa =-f2000,a5 ,9 且 fx在5 ,9 上单调 . 求 a 的值 . 例 15设fxf是定义在R 上的奇函数,

14、 且当x0时,fxx2. 如对任意的xa,a2,不等式xaf2x恒成立 , 就实数 a 的取值范畴是 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - Aa0 B a2 Ca2 Da07. 两个函数图像的对称性例 16. 函数 yfx是定义在实数集R上的函数, 那么 y fx 4 与 yf6 x 的图象之间（ D ）A关于直线x5 对称 B关于直线x1 对称C关于点（ 5,0）对称 D关于点（ 1,0）对称解：据复合函数的对称性知函数 y fx 4 与 yf6 x 之间关于点（ 6 4）/2 , 0）即（ 1,0）中心对称,应选 D. 例 17. 求与函数 y=lg1+x 的图像关于点（2,1 ）成中心对称的函数解析式 . 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页