2022年《一元二次方程的解法》经典例题精讲.docx

《2022年《一元二次方程的解法》经典例题精讲.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年《一元二次方程的解法》经典例题精讲.docx（10页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载一元二次方程的解法经典例题精讲例 1 解方程x2250分析： 解一元二次方程的方法有四种,而此题用直接开平方法较好解：x2250,y22了x225,x25,x 5x15,x25例 2 解方程x322分析： 假如把 x3 看作一个字母 y,就变成解方程解：x322,x32,x32,或x32,x132,x232例 3 解方程4 x22810分析： 解此题虽然可用因式分解法、公式法来解,但仍是用直接开平方法 较好解：4 x222810整理,4x281,x2281,54x29,2x113,x222留

2、意： 对可用直接开平方法来解的一元二次方程,肯定留意方程有两个解；如x2a,就xx2a；如x0a2b,就xba例 4 解方程3x2分析： 此题不能用直接开平方法来解,可用因式分解法或用公式法来解解法一：x23x20,x 2x 1 0,x20,x10,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -x11,x22精品资料欢迎下载解法二：a1,b3,c2,b24ac3 241210,a、b、c 的值,x321x12

3、,x21留意： 用公式法解方程时,要正确地确定方程各项的系数先运算“ ” 的值,如0,就方程无解,就不必解了例 5 解关于 x 的方程x2m 3 x2mnn20分析： 先将原方程加以整理,化成一元二次方程的一般形式,留意此方程为关于 x 的方程,即 x 为未知数, m,n 为已知数在确定b24ac0的情形下,利用公式法求解解： 把原方程左边绽开,整理,得x23 mx2m2mnn20n2,2a1,b3m,c2m2mnb24ac3 m2412m2mnnm24mn4n2nm2 n20x3mm2n223mm2 n2x12 mn,x2m留意： 解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样,都要

4、先把方程化为一般形式,确定a、b、c 和b24ac的值,然后求解但解字母系数方程时要留意： 1 哪个字母代表未知数,也就是关于哪个未知数的方程；2 不要把一元二次方程一般形式中的 a、b、c 与方程中字母系数的 a、b、c 相混淆；3 在 b 2 4 ac 开平方时,可能会显现两种情形,但根号前有正负号,已包括了这两种可能,因此, m 2 n 2 m 2 n 例 6 用配方法解方程 2 x 2 3 7 x分析： 解一元二次方程虽然一般不采纳配方法来解,但配方法的方法本身重要,要记住细心整理归纳 精选学习资料 解：2 x237x, 第 2 页,共 6 页 x27 2x30,2 - - - - -

5、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -x7x72723精品资料欢迎下载0,2442x7225,1,方程左边只有二416x7544x13,x212留意：用配方法解一元二次方程,要把二次项系数化为次项,一次项, 右边为常数项,然后方程两边都加上一次项系数一半的平方,左边就配成了一个二项式的完全平方例 7 不解方程,判别以下方程的根的情形：12x23x40；216y2924y；35 x217x04ac的值的分析： 要判定上述方程的根的情形,只要看根的判别式b2符号就可以了解：

6、1 a2,b3,c4,b24ac32424 410方程有两个不相等的实数根2 a16,b 24,c9,b24ac24 241690方程有两个相等的实数解3 将方程化为一般形式5x257x0,5x27x50a4,b7,c5,b24ac7 245549100 510方程无实数解留意： 对有些方程要先将其整理成一般形式,再正确确定 a、b、c 的符号例 8 已知方程 5 x 2 kx 6 0 的一个根是 2,求另一根及 k 的值x 1 x 2 b,x 1 x 2 c分析： 依据韦达定理 a a 易得另一根和 k 的值再是根据方程解的意义可知 x2 时方程成立, 即把 x2 代入原方程, 先求出 k

7、值,再求出方程的另一根但方法不如第一种细心整理归纳 精选学习资料 解： 设另一根为x ,就 第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2x2k,2x26,精品资料欢迎下载55x 23,k753即方程的另一根为5,k 的值为 70两根的bc留意： 一元二次方程的两根之和为a,两根之积为 a例 9 利用根与系数的关系,求一元二次方程2x23x11 平方和； 2 倒数和a分析： 已知x1x23,x1x21要求 1x2x2,211,x1x2

8、221211关键是把x2 1x2 2、x1x2转化为含有x1x2、x1x2的式子由于两数和的平方,等于两数的平方和加上这两数积的2 倍,即b2a2b22 ab,所以a2b2ab22ab,由此可求出 1 同样,可用两数和与积表示两数的倒数和解：1 x12x213,x1x2x21,22x2xx222x1x212213229 41134；1x21xx112x1x2x23 2 1 23留意： 利用两根的和与积可求两根的平方和、倒数和,其关键是把平方和、倒数和变成两根的和与积,其变形的方法主要运用乘法公式细心整理归纳 精选学习资料 例 10 已知方程2 x24xm0的两根平方和是34,求 m的值 第 4

9、 页,共 6 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -分析：已知x1x22,x1精品资料m,x2 1欢迎下载34,求 m就要在上面三个式子x2x2 22中设法用x1x2和x2 1x2 2来表示x1x2,m便可求出解： 设方程的两根为x 、x2,就x1x22,x1x2m2x2 1x2 2x 1x222x1x2,2x1x2x1x22x2 1x2 22234 30x1x2m,2m 30留意：解此题的关键是把式子 x 1 2 x 22 变成含 x 1 x 2

10、、x 1 x 2 的式子,从而求得m的值例 11 求一个一元二次方程,使它的两个根是 2、10分析：由于任何一元二次方程都可化为 二次项系数为 1 x 2 px q 0 的形式如设其根为 x 、x 2,依据根与系数的关系,得 x 1 x 2 p,x 1 x 2 q将 p、q 的值代入方程 x 2 px q 0 中,即得所求方程 x 2 x 1 x 2 x x 1 x 2 02解： 设所求的方程为 x px q 0210p,2 10q,p 12,q20所求的方程为x212x200但一般只写出比较简洁的一留意：以x 、x2为根的一元二次方程不止一个,个例 12 已知两个数的和等于8,积等于 9,求

11、这两个数分析： 把这两个数看作某个二次项系数为 1 的一元二次方程的两个根,就这个方程的一次项系数就应当是它的根,即是这两个数8,常数项应当是 9,有了这个方程,再求出细心整理归纳 精选学习资料 解：设这两个数为x 、x2,以这两个数为根的一元二次方程为x2pxq0 第 5 页,共 6 页 x1x28p,x1x2q,方程为x28 x90解这个方程得x147,x247,这两个数为47和47 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载例 13

12、 如图 22-2-1 ,在长为 32m,宽为 20m的长方形地面上,修筑两条同样宽而且相互垂直的道路, 余下的部分作为绿化用草地, 要使草地的面积为540m2,那么道路的宽度应是多少？分析： 设道路的宽度为 x m,就两条道路的面积和为32x20xx2题中的等量关系为：草地面积道路面积长方形面积解： 设道路的宽度为 x m,就54032x20x0x23220x252x100,x 2x 500,x20,x500,x12,x250x50 不合题意,取 x2答： 道路的宽度为 2m留意： 两条道路重合了一部分,重合的面积为 积和时应减去重合面积 x 2 x 因此运算两条道路的面例 14 某钢铁厂去年

13、 1 月份钢的产量为 5000 吨, 3 月份上升到 7200 吨,求这两个月平均每月增长的百分率是多少？分析： 设平均每月增长的百分率为 x,就增长一次后的产量为 50001x ,增长两次后的产量是 5000 1 x 2, 增长 n 次后的产量 b 是b 5000 1 x n这就是重要的增长率公式解： 设平均每月增长的百分率为 x就25000 1 x 7200, 1 x 2 3625,61 x5,x 1 0 . 2,x 2 2 . 2 不合题意,舍去 答： 平均每月增长的百分率是 20%留意： 解方程时,由 1x 的值求 x,并舍去负值细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - -