2022年三角形“四心”向量形式的充要条件应用教师版.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载三角形“ 四心” 向量形式的充要条件应用例题讲解一 将平面对量与三角形内心结合考查例 1O 是平面上的肯定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满意OPOAABAC,0,就 P 点的轨迹肯定通过ABC 的（）ABAC（ A）外心（ B）内心（ C）重心（ D）垂心解 析 ： 因 为AB 是 向 量 AB 的 单 位 向 量 设 AB 与 AC 方 向 上 的 单 位 向 量 分 别 为 ABe 和e 2,又OPOAAP,就原式可化为AP e 1e 2,由菱形的基本性质知AP 平

2、分BAC ,那么在ABC中,AP 平分BAC ,就知选 B. 二将平面对量与三角形垂心结合考查“ 垂心定理”例 2H 是 ABC 所在平面内任一点,HA HB HB HC HC HA 点 H 是 ABC 的垂心 . 由 HA HB HB HC HB HC HA 0 HB AC 0 HB AC , 同理 HC AB,HA BC .故 H 是 ABC 的垂心 . （反之亦然（证略） ）例 3.湖南 P 是 ABC 所在平面上一点,如 PA PB PB PC PC PA,就 P 是 ABC 的（ D）A外心 B内心 C重心 D垂心解析 :由 PA PB PB PC 得 PA PB PB PC 0 .

3、即 PB PA PC 0 , 即 PB CA 0就 PB CA ,同理 PA BC , PC AB 所以 P 为 ABC的垂心 . 应选 D. 三 将平面对量与三角形重心结合考查“ 重心定理”例 4G 是 ABC 所在平面内一点,GAGBGC=0点 G 是 ABC 的重心 . 证明作图如右,图中GBGCGEBGCE 为平行四边形D 是连结 BE 和 CE,就 CE=GB ,BE=GCBC 的中点, AD 为 BC 边上的中线 . 将GBGCGE代入GAGBGC=0,. 第 1 页,共 4 页 得GAEG=0GAGE2GD,故 G 是 ABC 的重心 .（反之亦然（证略） ）例 5P 是 ABC

4、 所在平面内任一点.G 是 ABC 的重心PG1 PAPBPC3细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -证明PGPAAGPBBGPC优秀学习资料欢迎下载CGPAPBPCCG3 PGAGBG G 是 ABC 的重心GA GB GC =0 AG BG CG =0,即 3 PG PA PB PC由此可得 PG 1 PA PB PC .（反之亦然（证略） ）3例 6 如 O 为 ABC 内一点,OA OB OC 0,就 O 是 ABC

5、 的（）A内心 B外心 C垂心 D重心解 析 ： 由 O A O B O C 0 得 OB OC OA , 如 图 以 OB、 OC 为 相 邻 两 边 构 作 平 行 四 边 形 , 就O BO CO D,由平行四边形性质知OE1OD ,OA2OE ,同理可证其它两边上的这个性质,所以是2重心,选 D；四 将平面对量与三角形外心结合考查例 7 如 O 为 ABC内一点,OA OB OC,就 O 是 ABC 的（）A内心 B外心 C垂心 D重心解析：由向量模的定义知 O 到 ABC 的三顶点距离相等；故 O 是 ABC 的外心 ,选 B；五将平面对量与三角形四心结合考查例 8已知向量OP ,1

6、OP 2,OP 3满意条件OP +OP 2+OP 3=0, |OP |=|OP2|=|OP3|=1,|.求证 P1P2P3 是正三角形 .（数学第一册（下） ,复习参考题五B 组第 6 题）证明由已知OP +OP2=-OP 3,两边平方得OP 1OP 2=1,2同理OP2OP3=OP 3OP = 11,2 |P 1P 2|=|P 2P 3|=|P 3P 1|=3 ,从而P1P2P3是正三角形 . 反之,如点O 是正三角形P1P2P3 的中心,就明显有OP + 1OP 2+OP 3=0 且|OP |=| 1OP2|=|OP 3即 O 是 ABC 所在平面内一点,OP + 1 OP 2 + OP

7、3 =0 且 | OP |=| 1 OP 2 |=| OP 3 | 点 O 是正 P1P2P3的中心 . 例 9如 O、H 分别是ABC 的外心和垂心 .求证 OH OA OB OC . 证明 如 ABC 的垂心为 H,外心为 O,如图 . 连 BO 并延长交外接圆于 D,连结 AD, CD. AD AB,CD BC .又垂心为 H,AH BC,CH AB,AH CD ,CH AD,四边形 AHCD 为平行四边形,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - -

8、 - - - - - - - - - - - - -AHDCDOOC,故OH优秀学习资料欢迎下载OAAHOAOBOC. 课后巩固练习1已知 A、 B、 C 是平面上不共线的三点,O 是三角形 ABC 的重心,动点P 满意+2 OC 可 得P 不过重心,OP =11 OA + 21OB+2 OC ,就点 P 肯定为三角形ABC 的（ B ）32A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB 边的中点解 析 ： 取AB 边 的 中 点M , 就OAOB2OM, 由 OP=11 OA 2+1OB323OP3 OM2MC,MP2MC,即点 P 为三角形中AB 边上的中线的一

9、个三等分点,且点3应选 B. 2 2 2 2 2 22在同一个平面上有 ABC 及一点满意关系式：OABCOBCAOCAB,就为 ABC的（D ） 外心 内心 C 重心 D 垂心3已知 O是平面上一 定点, A、 B、C是平面上不共线的三个点,动点 P 满意：OP OA AB AC ,就 P 的轨迹肯定通过ABC的（C ） 外心 内心 C 重心 D 垂心4已知ABC ,P 为三角形所在平面上的动点,且动点 P 满意：PA PC PA PB PB PC 0,就 P 点为三角形的（D ） 外心 内心 C 重心 D 垂心2 25 在 三 角 形 ABC 中 , 动 点 P 满 足 ：CA CB 2

10、AB CP, 就 P 点 轨 迹 一 定 通 过 ABC 的 ：（B ） 外心 内心 C 重心 D 垂心6.已知非零向量 AB 与 AC 满意 AB+ ACBC=0 且ABAC=1 2 , 就 ABC 为 |AB | |AC | |AB | |AC |A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形解析：非零向量与满意 | ABAB | | ACAC | =0,即角 A 的平分线垂直于 BC, AB=AC,又 cos A| ABAB | | ACAC | =1 2, A=,所以ABC 为等边三角形,选 D37. ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为

11、H,OH m OA OB OC ,就实数 m = 18. 点 O是三角形 ABC所在平面内的一点,满意 OA OB OB OC OC OA,就点 O是 ABC的（ D ）细心整理归纳 精选学习资料 第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载（ A）三个内角的角平分线的交点（ B）三条边的垂直平分线的交点（ C）三条中线的交点动点 P 满意（ D）三条高的交点ABAC,0,就动9. 已知 O是 ABC所在平面内的一点,OPOB2OCABcos BACcos C点 P 肯定过 ABC的 C A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心BAC,0 ,就10、已知 O是 ABC所在平面内的一点,动点 P 满意OPOAABABcosACcos C动点 P肯定过ABC的 B 、内心A、重心 B、垂心 C、外心 D 第 4 页,共 4 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -