2022年二次函数的最值问题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载典型中考题（有关二次函数的最值）屠园试验 周前猛一、挑选题1 已知二次函数y=a（ x-1）2+b 有最小值1,就 a 与 b 之间的大小关 A. ab D 不能确定答案： C 2当 2 xl 时,二次函数 y=- （ x-m ）2+m2+1 有最大值 4,就实数 m 的值为（）A、- 7B、3或 -3C、 2或-3D2或-3 或- 744答案： C 当 2xl时,二次函数 y=- （ x-m ）2+m2+1 有最大值 4,二次函数在2xl上可能的取值是x= 2 或 x=1 或 x=m. x7265此时 ,它当 x=2 时,由

2、y=- （ x-m ）2+m2+1 解得 m= - 7 4,y416在 2xl的最大值是65,与题意不符 . 2+5 ,它在 2 xl 的最大值16当 x=1 时,由y=- （ x-m ）2+m2+1解得 m=2 ,此时 y=-（x-2）是 4,与题意相符 . 当 x= m 时,由4=- （x-m ）2+m2+1 解得m=33 ,当 m= -3 此时 y=- （ x+3 ）2+4.它在 2xl的最大值是4,与题意相符；当m=,y=- （x-3 ）2+4 它在 2 x l 在 x=1 处取得,最大值小于4,与题意不符 . 综上所述,实数m 的值为 2或-3. 应选 C1 3 已知 0 x,那么函

3、数 2y=-2x 2+8x-6 的最大值是（）A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6 答案： C 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解： y=-2x 2+8x-6=-2（x-2）精品资料欢迎下载x=2,且在 x2 上 y 随 x 的增大而2+2该抛物线的对称轴是增大又 0x1 2,当 x= 1 2时, y 取最大值, y 最大=-2（1 -2）2+2=-2.5应选： C24、已知关于x 的函数. 以下结论： 存在函数,其图像经过（1,0）点； 函数图像与坐标轴总有三个不同的交点； 当时, 不是 y 随

4、 x 的增大而增大就是y 随 x 的增大而减小； 如函数有最大值,就最大值必为正数,如函数有最小值,就最小值必为负数；真确的个数是（）C 3 个D、4 个A,1 个B、 2 个答案： B 分析：将（ 1,0）点代入函数,解出 k 的值即可作出判定；第一考虑,函数为一次函数的情形,从而可判定为假；依据二次函数的增减性,即可作出判定；当 k=0 时,函数为一次函数,无最大之和最小值,当 出顶点的纵坐标表达式,即可作出判定 . k 0 时,函数为抛物线,求解 ： 真 , 将 （ 1, 0） 代 入 可 得 ： 2k- （ 4k+1 ） -k+1=0 ,解 得 ： k=0 运 用 方 程 思 想 ；

5、假 , 反 例 ： k=0 时 , 只 有 两 个 交 点 运 用 举 反 例 的 方 法 ； 假 , 如 k=1 ,-b=5, 当 x 1 时 , 先 减 后 增 ； 运 用 举 反 例 的 方 法 ；2a4 真 , 当 k=0 时 , 函 数 无 最 大 、 最 小 值 ；k 0 时 , y最 =4ac-b2=-2 24k +1,4a8k 当 k 0 时 , 有 最 小 值 , 最 小 值 为 负 ；当 k 0 时 , 有 最 大 值 , 最 大 值 为 正 运 用 分 类 讨 论 思 想 二、填空题：1、如图,已知；边长为4 的正方形截去一角成为五边形ABCDE,其中 AF=2, BF=

6、l,在 AB上的一点 P,使矩形 PNDM 有最大面积,就矩形PNDM 的面积最大值是名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载答案： 12 2、已知直角三角形两直角边的和等于8,两直角边各为时,这个直角三角形的面积最大,最大面积是答案： 4、4,8 解：设直角三角形得始终角边为x,就,另一边长为8-x ；设其面积为S. S= x 8-x0x4 时, P（5, -2）,当 m1 时, P（-3,-14）,综上所述,符合条件的点P 为（ 2,1）或（ 5,-2）或（ -3,-14）；（3）如图,设 D 点的

7、横坐标为 t（0t4）,就 D 点的纵坐标为,过 D 作 y 轴的平行线交 AC于 E,由题意可求得直线 AC的解析式为,E点的坐标为,当 t=2 时, DAC的面积最大,D（2,1）；4 如图,矩形ABCD中, AB=3,BC=4,线段 EF 在对角线AC上, EGAD,FHBC,垂足分别是 G,H,且 EG+FH=EF（1）求线段 EF的长；名师归纳总结 （2）设 EG=x, AGE与 CFH的面积和为S,写出 S关于 x 的函数关系式及自变量x 的取值第 8 页,共 15 页范畴,并求出S的最小值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下

8、载5如图,点 C 是线段 AB 上的任意一点 C点不与 A、B 点重合 ,分别以 AC、BC为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE,AE与 CD 相交于点 M, BD与 CE相交于点N1求证： MN AB；名师归纳总结 2如 AB 的长为 l0cm,当点 C在线段 AB 上移动时,是否存在这样的一点C,使线段 MN 的第 9 页,共 15 页长度最长 .如存在,请确定C点的位置并求出MN 的长；如不存在,请说明理由- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载（1）由题中条件可得 ACE DCB,进而得出 ACM DCN,即

9、CM=CN, MCN 是等边三角形,即可得出结论；（2）可先假设其存在,设 解答AC=x,MN=y,进而由平行线分线段成比例即可得出结论（1）证明：ACD与 BCE是等边三角形,AC=CD,CE=BC, ACE=BCD,在 ACE与 DCB中,AC=CD ACE=BCD CE=BC ACE DCB（SAS）, CAE=BDC,在 ACM 与 DCN中, CAE=BDC AC=CD ACM=DCN ACM DCN,CM=CN,又 MCN=180 -60 -60 =60, MCN 是等边三角形, MNC= NCB=60即 MN AB；（2）解：假设符合条件的点C存在,设 AC=x,MN=y,6、如

10、图,在ABC中, A90 ,BC10, ABC 的面积为 25 ,点 D 为AB 边上的任意一点 D 不与 A 、B 重合 ,过点 D 作 DE BC ,交 AC 于点 E 设DEx以DE为折线将ADE 翻折,所得的ADE与梯形DBCE重叠部分的面积记为 y. 名师归纳总结 （1）用 x 表示.ADE的面积 ; 第 10 页,共 15 页（2）求出0x 5时 y 与 x 的函数关系式；（3）求出5x 10 时 y 与 x 的函数关系式；（4）当x取何值时,y的值最大？最大值是多少？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载AB C解:1 DE

11、 BC ADE=B,AED=C S ADE DE 2 ADE ABC S ABC BCS ADE 1 x 2即 42 BC=10 BC边所对的三角形的中位线长为 5 y S ADE 1 x 2当 0x 5 时 4（3）5 x 10 时,点 A 落在三角形的外部 , 其重叠部分为梯形1 x 2S ADE=S ADE= 41xDE边上的高 AH=AH= 2由已知求得 AF=5 AF=AA-AF=x-5 由 AMN ADE知SAMNAF2522中3x210x25SADEAHSAMNx52y1x2x44（4）在函数y1 x 425名师归纳总结 0 x5 当 x=5 时 y 最大为：4第 11 页,共

12、15 页在函数y3x210x25中4当xb20252a3时 y 最大为：325252543当x203时,y 最大为：3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载7、如图,抛物线y1x2bx22且 A（1,0）；（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标与 x 轴交于 A、B 两点,与 Y 轴交于 C点,Y （2）判定 的外形,证明你的结论；（3）点（ m,0）是轴上的一个动点,22A E D B X 当 +的值最小时,求m的值O M 解：（1）将 A（1,0）代入y1x2bx2得b3,所以抛物线的解析式y1x23 2xC 22配方得：y1x3225,

13、所以顶点 D3 2,252288（2）求出 AC= 5 ,BC= 20 ,而 AB=5 AC2BC2AB2,故 为RT1 2,5 2）和 B（3）作点 C关于 X 轴的对称点 E（ 2 ,0）,连接 DE交 X 轴于点 M,通过两点式可求得直线DE的解析式：y41 x 122,当 y =0 时,解得 x =2441（24 ,0）即 m= 2441 418如图,直线 y=x+2 与抛物线 y=ax 2+bx+6（a 0）相交于 A（4,m）,点 P 是线段 AB上异于 A、B 的动点,过点 P 作 PCx 轴于点 D,交抛 物线于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的 P 点,使线段

14、 PC的长有最大值,如存在,求出这个最大值；如不存在,请说明理由；名师归纳总结 （3）求 PAC为直角三角形时点P的坐标第 12 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载分 析 ：（ 1） 已 知 B（ 4, m） 在 直 线 y=x+2上 , 可 求 得 m 的 值 , 抛 物 线 图 象 上 的 A 、 B两 点 坐 标 ,可 将 其 代 入 抛 物 线 的 解 析 式 中 ,通 过 联 立 方 程 组 即 可 求 得 待 定 系 数 的 值 （ 2）要 弄 清 PC 的 长 ,实 际 是 直 线 AB 与 抛 物 线

15、函 数 值 的 差 可 设 出 P 点 横 坐 标 ,根 据 直 线 AB 和 抛 物 线 的 解 析 式 表 示 出 P、 C 的 纵 坐 标 , 进 而 得 到 关 于 PC 与 P 点 横 坐 标 的 函 数 关 系 式 , 根 据 函 数 的 性 质 即 可 求 出 PC 的 最 大 值 （ 3） 当 PAC 为 直 角 三 角 形 时 , 根 据 直 角 顶 点 的 不 同 , 有 三 种 情 形 , 需 要 分 类 讨 论 , 分 别 求 解 上 ,解 ： （ 1） B（ 4, m ） 在 直 线 线 y=x+2 m=4+2=6 , B （ 4, 6） , A （1 2,5 2）

16、、 B （ 4, 6） 在 抛 物 线 y=ax2+bx+6上 ,5 2=（1 2）2 a+1 2b+6 ,6=16a+4b+6解 得 a=2 , b=-8 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=2x2-8x+6 2-8n+6 ） ,（ 2） 设 动 点 P 的 坐 标 为 （ n, n+2 ） , 就 C 点 的 坐 标 为 （ n, 2n PC= （ n+2 ） -（ 2n2-8n+6 ） ,=-2n2+9n-4 ,=-2 （ n-9）2+49,48 PC 0, 当 n=9 4时 , 线 段 PC 最 大 且 为49 8（ 3） PAC 为 直 角 三 角 形 ,i ） 如 点 P 为 直

17、角 顶 点 , 就 APC=90由 题 意 易 知 , PC y 轴 , APC=45, 因 此 这 种 情 形 不 存 在 ；名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载ii ） 如 点 A 为 直 角 顶 点 , 就 PAC=90如 答 图 3-1 , 过 点 A（1,5） 作 AN x 轴 于 点 N , 就 ON=1, AN=52 2 2 2过 点 A 作 AM 直 线 AB ,交 x 轴 于 点 M ,就 由 题 意 易 知 , AMN 为 等 腰 直 角 三角 形 , MN=AN=5, OM=O

18、N+MN=+5=3 ,22 M （ 3, 0） 设 直 线 AM 的 解 析 式 为 ： y=kx+b ,就 ：1 k+b= 5, 3k+b=0 , 解 得 k=-1 , b=3 2 2 直 线 AM 的 解 析 式 为 ： y=-x+3 又 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： y=2x 2-8x+6 联 立 式 , 解 得 ： x=3 或 x=12（ 与 点 A 重 合 , 舍 去 ） C（ 3, 0） , 即 点 C、 M 重 合 当 x=3 时 , y=x+2=5, P1（ 3, 5） ；iii ） 如 点 C 为 直 角 顶 点 , 就 ACP=90 y=2x2-8x+6=2 （ x-

19、2 ）2-2 , 抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x=2 名师归纳总结 如 答 图 3-2 , 作 点 A（1 2,5 2） 关 于 对 称 轴 x=2 的 对 称 点 C,第 14 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就 点 C 在 抛 物 线 上 , 且 C（7 2精品资料欢迎下载,5 2）名师归纳总结 当 x=7 2时 , y=x+2=11 2,11 2） ；第 15 页,共 15 页 P2（7,11 2） 2 点 P1（ 3, 5） 、 P2（7 2,11 2） 均 在 线 段 AB 上 , 综 上 所 述 , PAC 为 直 角 三 角 形 时 , 点 P 的 坐 标 为 （ 3, 5） 或 （7 2- - - - - - -