2022年中考数学压轴题型研究——动点几何问题解题方法3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 中考数学压轴题型争论（一）动点几何问题近几年中考数学中运动几何问题倍受青睐,它不仅综合考查中学数学骨干学问,如三角形全等与相像、图形的平移与旋转、函数（一次函数、二次函数与反比例函数）与方程等,更重要的是综合考查中学基本数学思想与方法； 此类题型也往往起到了考试的选拔作用,使同学之间的数学考试成果由此而产生距离,所以精确快速解决此类问题是赢得中考数学成功的关键；如何精确、快速解决此类问题呢？关键是把握解决此类题型的规律与方法以静制动；另外,需要强调的是此类题型一般起点低,第一步往往是一个特别简洁的问题,考生一般都能拿分,但恰恰是这一步问题的解题

2、思想和方法是此题基本的做题思想和方法,是特别到一般数学思想和方法的详细应用,所以考生在解决第一步时不仅要精确运算出答案,更重要的是明确此题的方法和思路；下面以详细实例简洁的说一说此类题的解题方法；一、利用动点（图形）位置进行分类,把运动问题分割成几个静态问题,然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题例 1：（北京市石景山区2022 年数学期中练习）在ABC中, B=60 ,BA=24CM,BC=16CM, 1 求 ABC的面积；2 现有动点 P 从 A点动身,沿射线 AB向点 B方向运动,动点 Q从 C点动身,沿射线 CB也向点 B 方向运动；假如点 P 的速度是 4CM/秒,点

3、 Q的速度是 2CM/秒,它们同时动身,几秒钟后,PBQ的面积是ABC的面积的一半？B 3 在第（ 2）问题前提下,P,Q 两点之间的距离是多少？点评：此题关键是明确点 P、Q 在 ABC边上的位置,有三种情形；（1）当 0 t 6 时, P、Q 分别在 AB、BC边上；（2）当 6 t 8 时, P、Q 分别在 AB 延长线上和 BC边上；C （3）当 t 8 时, P 、Q 分别在 AB、BC边上延长线上 . A 然后分别用第一步的方法列方程求解 . 例 2: 北京市顺义 2022 年初三模考 已知正方形 ABCD的边长是 1,E 为 CD边的中点,P 为正方形 ABCD边上的一个动点,动

4、点 P 从 A 点动身,沿 A B C E 运动,到达点 E.如点 P 经过的路程为自变量 x, APE的面积为函数 y,（1）写出 y 与 x 的关系式2 求当 y1 3时, x 的值等于多少？P 的位点评 : 这个问题的关键是明确点P 在四边形 ABCD边上的位置 , 依据题意点置分三种情形 : 分别在 AB 上、 BC边上、EC边上 . 例 3： 北京市顺义 2022 年初三模考 如图 1 ,在直角梯形 ABCD中,B=90 ,DC AB,动点 P 从 B 点动身,沿梯形的边由 BC D A 运动,设点 P 运动的路程为x , ABP的面积为 y , 假如关B y A x 于 x 的函数

5、 y 的图象如图2 所示,那么ABC 的面积为（）A32 B18 C16 D10 例 4：（09 齐齐哈尔）直线y3x6与坐标轴分别交于A、B两点,动P Q 4点 P、Q同时从O点动身,同时到达A 点,运动停止点Q 沿线段 OA运动,速度为每秒1 个单位长度, 点 P 沿路线 O B A 运动（1）直接写出 A、B两O 名师归纳总结 第 1 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 点的坐标；（ 2）设点 Q 的运动时间为 t 秒,OPQ的面积为 S ,求出 S 与 t 之间的函数关系式；M 的（ 3）当S48时,求出点P 的坐标,并直接写出以点

6、O、 、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点5坐标点评：此题关键是区分点 P 的位置：点 P 在 OB上,点 P 在 BA上；例 5：（2022 宁夏） 已知： 等边三角形 ABC 的边长为 4 厘米, 长为 1 厘米的线段 MN 在ABC 的边 AB 上沿 AB 方向以 1 厘米 /秒的速度向 B 点运动（运动开头时,点 M 与点 A 重合,点 N 到达点 B 时运动终止） ,过点 M、N 分别作 AB 边的垂线,与ABC 的其它边交于 P、Q 两点,线段 MN 运动的时间为 t 秒（ 1）线段 MN 在运动的过程中,t为何值时,四边形 MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；（ 2）线段 MN

7、 在运动的过程中,四边形 MNQP 的面积为 S ,运动的时间为 t 求四边形 MNQP 的面积 S随运动时间 t 变化的函数关系式,并写出自变量 t 的取值范畴C 解：（1）过点 C 作 CD AB ,垂足为 D 就 AD 2,Q 当 MN 运动到被 CD 垂直平分时,四边形 MNQP 是矩形,即 AM 32 时,P A M N B 四边形 MNQP 是矩形,t 3秒时,四边形 MNQP 是矩形C 2 Q P PM AM tan60 = 3 3,S四边形 MNQP 3 32 2A M N B （ 2）1 当 0 t 1 时,S 四边形 MNQP 1 PM QN MN 3 t 32 2C 2

8、当 1t2 时,S 四边形 MNQP 1 PM QN MN 33 P 2 2Q 3 当 2 t 3 时,S 四边形 MNQP 1 2 PM QN MN 3 t 72 3 A M N B 点评：此题关键也是对 P、Q两点的不同位置进行分类；例 6：（2022 四川乐山）如图（ 15）,在梯形 ABCD 中,DCAB,A 90,AD 6 厘米,DC 4厘米, BC 的坡度 i 3 4 ,动点 P 从 A 动身以 2 厘米 /秒的速度沿 AB 方向向点 B 运动,动点 Q 从点 B 动身以 3厘米 / 秒的速度沿 B C D 方向向点 D 运动, 两个动点同时动身,当其中一个 D C动点到达终点时,

9、另一个动点也随之停止设动点运动的时间为 t 秒（1）求边 BC 的长；Q（2）当 t 为何值时, PC 与 BQ 相互平分；A P E B（3）连结 PQ,设PBQ 的面积为 y,探求 y 与 t 的函数关系式, 求 t 为何值时,图（3）名师归纳总结 第 2 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y 有最大值？最大值是多少？6. 解：（1）作 CEAB 于点 E ,如图（ 3）所示,就四边形AECD 为矩形81AECD4,CEDA6又i3 4 ,CE3EB8,AB122 分EB4在 RtCEB中,由勾股定理得：BCCE22 EB10（2）假

10、设 PC 与 BQ相互平分由DCAB,就 PBCQ 是平行四边形（此时Q在 CD 上）即CQBP,3 t10122 t解得t22,即t22秒时, PC 与 BQ 相互平分55（3）当 Q 在 BC 上,即0 10时,作 QFAB于 F ,就 CEQF3QFBQ,即QF3tQF9tSPBQ1PB QF1122 9t=9t32CEBC610522555当t3秒时,SPBQ有最大值为81厘米 5当 Q 在 CD 上,即10 3t14时,SPBQ1PB CE1 12 22 6=366t32易知 S 随 t 的增大而减小故当t10秒时,SPBQ有最大值为36106162 厘米 338116,y9t254

11、t,0t105536 t36103 1453综上,当t3时,SPBQ有最大值为81厘米 25二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积） 直接转化为函数或方程；例 7：（包头）如图,已知ABC中,ABAC10厘米,BC8厘米,点 DD A 与Q C 全为 AB 的中点P （ 1）假如点 P 在线段 BC上以 3 厘米 /秒的速度由B 点向 C点运动,同时,点Q在线段 CA上由 C点向 A 点运动如点 Q 的运动速度与点P的运动速度相等, 经过 1 秒后,BPD与CQP是否全等,请说明理由；B 如点 Q 的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q 的运动速度为多少时,能够使B

12、PDCQP等？名师归纳总结 （ 2）如点 Q 以中的运动速度从点C 动身,点 P 以原先的运动速度从点B 同时动身, 都逆时针沿ABC三第 3 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 边运动,求经过多长时间点P 与点 Q 第一次在ABC的哪条边上相遇？解：（1）t 1 秒,BP CQ 3 1 3 厘米,AB 10 厘米,点 D 为 AB 的中点,BD 5 厘米又PC BC BP,BC 8 厘米,PC 8 3 5 厘米, PC BD 又 AB AC ,B C ,BPDCQPv P v , BP CQ ,又BPDCQP,B C ,就 BP PC 4

13、,CQ BD 5,点 P ,点 Q运动的时间 t BP3 43 秒,v Q CQt 54 154 厘米 / 秒3（2）设经过 x 秒后点 P 与点 Q第一次相遇,由题意,得 15x 3 x 2 10,解得 x 80秒4 3点 P 共运动了80 3 80 厘米380 2 28 24 ,点 P 、点 Q 在 AB 边上相遇,经过 80 秒点P与点 Q 第一次在边 AB 上相遇3例 8：（09 济南） 如图, 在梯形 ABCD 中,ADBC,AD 3,DC 5,AB 4 2,B 45动点 M从 B 点动身沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动点 N 同时从 C 点动身沿线段

14、CD 以每秒 1个单位长度的速度向终点 D 运动设运动的时间为 t 秒（ 1）求 BC 的长（ 2）当MNAB时,求 t 的值ADHK 是矩形（ 3）摸索究： t 为何值时,MNC为等腰三角形解：（1）如图,过A 、 D 分别作 AKBC 于 K , DHBC 于 H ,就四边形2 52 43KHAD3在 RtABK中,AKABsin 452 4 224BKABcos454 224在, RtCDH中,由勾股定理得,HC2BCBKKHHC43310A D A D N 名师归纳总结 （2）如图,过B K H C B G M C 第 4 页,共 7 页（图）（图）D 作 DGAB交 BC 于 G 点

15、,就四边形ADGB 是平行四边形 MNAB37 MNDGBGAD3GC10由题意知,当M 、 N 运动到 t 秒时,CNt,CM102t DGMNNMCDGC又CC- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - MNCGDCCN CDCM即t1072 t解得,t50CG517（3）分三种情形争论：当NCMC 时,如图,即t102t tt103A D A D N N B M C B M H E C （图）（图）当 MNNC 时,如图,过N 作 NEMC 于 E35tt3解得t25解法一：由等腰三角形三线合一性质得EC1MC1 10 22 t52在 RtCEN中,cos

16、 cEC5tt又在 RtDHC中,cos cCHNCCD558CC,DHCNEC90NECDHCNC DCEC即t53tt25HC58当 MNMC 时,如图,过M 作 MFCN 于 F 点.FC1NC1 2t2解法一：（方法同中解法一）A D cos CFC1t3解得t60N 2 10B H M F C 2 t17MC5解法二：（图）CC,MFCDHC90MFCDHCFC HCMC即1 2t1052 tt60DC173综上所述,当t10、t25或t60时,MNC为等腰三角形3817例 9：（呼和浩特）如图,在直角梯形ABCD中, AD BC, ABC 90o,AB12cm,AD8cm,BC22

17、cm,AB 为 O 的直径, 动点 P从点 A 开头沿 AD 边向点 D 以 1cm/s 的速度运动, 动点 Q 从点 C开头沿 CB边向点 B 以2cm/s 的速度运动, P、Q 分别从点 A、 C同时动身,当其中一点到达端A P D Q C 点时,另一个动点也随之停止运动设运动时间为t s 1 当 t 为何值时,四边形PQCD为平行四边形？O 2 当 t 为何值时, PQ 与 O 相切？解： 1 直角梯形ABCD,ADBCPDQCB 当 PDQC 时,四边形 PQCD 为平行四边形第 5 页,共 7 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

18、 由题意可知：APt,CQ2 tA P D 8t2 t , 3 t8,t8O D N Q D C 3当t8s 时,四边形 PQCD 为平行四边形B A P H 3（2）解：设 PQ与O相切于点 H,过点 P 作 PEBC,垂足为 EO BQQ C 直角梯形 ABCD,ADBC2 tB E PEAB 由题意可知：APBEt,CQ2 tBQBCCQ22EQBQBE222 tt223 tAPPH,HQAB 为O的直径,ABCDAB90AD、BC为O的切线PQPHHQAPBQt222 t22t88 t1440在 RtPEQ中,PE2EQ2PQ22 12222 3 22t2即：8 t2t211 t180

19、, t2 t90t 12,t297 分由于 P 在 AD 边运动的时间为AD88秒,而t98t9（舍去）11A P 当t2秒时, PQ 与O相切例 10. 2022 山东淄博 如图,在矩形ABCD中, BC=20cm,P, Q,M ,N 分别从 A,B,C,D 动身沿 AD,BC,CB,DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止已知在相同时间内,如BQ=xcmx0,就 AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cmC （1）当 x 为何值时,以PQ,MN 为两边 ,以矩形的边（ AD 或 BC）的一部B Q M （第 25 题）分为第三边构成一个三角形；

20、（2）当 x 为何值时,以P,Q,M,N 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以 P,Q,M,N 为顶点的四边形能否为等腰梯形.假如能,求x 的值；假如不能,请说明理由解：（1）当点 P 与点 N 重合或点 Q 与点 M 重合时,以PQ,MN 为两边,以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形当点 P 与点 N 重合时,由x22x20,得x 1211,x2211（舍去）由于 BQ+CM=x3 x421120,此时点Q 与点 M不重合所以x211符合题意当点 Q 与点 M 重合时,由x3 x20,得x5此时DNx22520,不符合题意故点Q 与点 M 不能重合第 6 页,共 7

21、 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以所求x 的值为211 （2）由（ 1）知,点 Q 只能在点 M 的左侧,当点 P 在点 N 的左侧时,由20x3 202xx2,解得x 10舍去 ,x22当 x=2 时四边形 PQMN 是平行四边形当点 P 在点 N 的右侧时,由20x3 2xx220,解得x 110舍去 ,x 24当 x=4 时四边形 NQMP 是平行四边形所以当x2或x4时,以 P,Q,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形（3）过点 Q, M 分别作 AD 的垂线,垂足分别为点E, F由于 2xx,所以点 E肯定在点 P的左侧如以 P,Q,M ,N 为顶点的四边形是等腰梯形,就点 F 肯定在点 N 的右侧,且PE=NF,即2xxx23 x 解得x 10舍去 ,x24由于当 x=4 时, 以 P,Q,M,N 为顶点的四边形是平行四边形,所以 腰梯形,以 P,Q,M ,N 为顶点的四边形不能为等名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页