2022年完整word版,线性代数知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 二阶行列式 -对角线法就: |. . .| =1 1. - .a13 a2 1 a3 2a1 1 a2 3 a3 2a1 2 a2 1 a3 3a1 3 a2 2 a3 12. 三阶行列式a1 1a1 2a1 3a2 2 a3 3a1 2 a2 3 a3 1对角线法就a2 1a2 2a2 3aa3 1a3 2a3 3按行（列）绽开法就3. 全排列： n 个不同的元素排成一列；全部排列的种数用. 表示,. = n！. .个,就.这个元素的逆序数为. .；逆序数： 对于排列 . . .,假如排在元素 .前面, 且比 .大的元素个数有整个排列的

2、逆序数就是全部元素的逆序数之和；奇排列：逆序数为奇数的排列；偶排列：逆序数为偶数的排列；n 个元素的全部排列中,奇偶各占一半,即. .对换：一个排列中的任意两个元素对换,排列转变奇偶性.4. a1 1a1 2a1 3t j 1 1j2j3a1 j1a2 j2a3 j3其中： . . . . 是 1,2,3 的一个排列,2 12 22 3aaat. . .是排列. . . .的逆序数a3 1a2 3a335. 下三角行列式 :a 1 1a220a11 a2 2 .ann副三角跟副对角相识a21an1an2.ann对角行列式：副对角行列式：121 2. n211nn211 2nnn6. 行列式的性

3、质：行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列,列变行）；D = .互换行列式的两行（列）,行列式变号；推论 ：两行（列）相同的行列式值为零；互换两行： .行列式的某一行（列）中的全部元素都乘以同一个数k,等于用数k 乘此行列式；第i 行乘 k：.x k推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面行列式中假如有两行（列）元素成比例,就此行列式等于0如行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和,就此行列式等于两个行列式之和；如：a11a 12b1 jc 1ja 1na1 1a12b 1 ja 1na 1 1a 12c 1ja1na21a 2 2b2 jc 2 ja2na21a22b

4、2ja 2 na21a22c2ja2 nan1a n 2bn jcnjannan1an2bnjan nan1an2cn jan n把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去,行列式的值不变；如a11a1 ika 1 ja 1 ja 1 na 1 1a 1 ia 1ja1na21a2 ika2 ja 2 ja 2 na21a2ia 2 ja2nan1an ikan ja n ja n nan 1an ian jann第 j 列的 k 倍加到第 i 列上： .+ .名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - -

5、- 7. 重要性质 ：利用行列式的性质.+ . .或 .+ . .,可以把行列式化为上（下）三角行列式,从而运算n 阶行列式的值； （P11 页例 7）8. 行列式按行（列）绽开法就（* 重要 * ）j 列划去 , 剩下的 n -1 2 个元素按原先的排法构；重要概念：余子式： 在 n 阶行列式中, 把元素aij 所在的第i 行和第成的n - 1 阶行列式叫做 aij 的余子式,记为M ij代数余子式：记Aij = -1 i+j Mij 为元素aij 的代数余子式重要性质,定理1）第 i 行各元素的余子式,代数余子式与第 i 行元素的取值无关；2）行列式按行 （列） 绽开法就 ：行列式等于它的

6、任意一行（列） 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即：Da i1A i1a i2A i2ainA in或Da1jA 1ja 2jA 2janjA nj推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即ai 1 A j 1ai 2A j 2ai n A j n0ij或a1 iA 1ja2iA 2jan iA nj0ij0 元素 a ij,并将该行其他元素使用该法就运算行列式的值：先选取存在最多0 的行（列）,从该行选取一个非通过性质化为0,就 D = aij Aij 9. 利用 Cramer 法就 求解 n 个 n 元线性方程组：如非齐次线性方程组的系数行

7、列式不等于零,就方程组有唯独解；等于 0,就无解a 11 a 12 a 1nD a 21 a 22 a 2n0 x 1 DD 1 , x 2 DD 2 , , x n DD na n1 a n2 a nn其中 .j=1,2 n 是把系数行列式中的第 j 列的元素用方程组右边的常数项代替后所得到的的 n 阶行列式a 11 a 1, j 1 b 1 a 1, j 1 a 1n即：a 21 a 2, j 1 b 2 a 2, j 1 a 2nD j j 1,2, , n.a n1 a n, j 1 b n a n, j 1 a nn对于齐次线性方程组,假如系数行列式 D 0,就该方程组只有零解,如

8、D = 0,就存在非零解；其次章1. 矩阵相关的概念：矩阵：由m n 个数.i=1,2, ,m; j=1,2,排成的 ,nm 行 n 列的数表 是一组数 ；行（列）矩阵：只有一行（列）的矩阵,又称为行（列）向量；同型矩阵：行数,列数均相等的两个矩阵A=B ： 矩阵 A 和矩阵 B 为同型矩阵,且对应的元素相等；零矩阵：全部元素为0 的矩阵,记为O,不同型的零矩阵是不相等的；0 的方阵,对角矩阵： 对角线元素为1,2,L,n,其余元素为0 的方阵单位矩阵： 对角线元素为, 其余元素为112Odiag1,2,L,nE1On12. 矩阵的运算1）加法：只有两个矩阵为同型矩阵时,才能进行加法运算；A+

9、B 等于对应元素相加起来；满意交换律和结合律名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2）数与矩阵相乘a 11a 12La 1 nAAA ,AAa 21a 22La 2nAAA,LLLLBAB. .a m 1a m1La mn3）矩阵与矩阵相乘：要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；. . . .乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数,列数为后一个矩阵的列数；sc ij a b 1 j a b 2 j L a b sj a b k jk 1即：乘积矩阵的第 i 行,第 j 列元素为前一个矩阵的第 i 行元素与后一个矩阵的第 j

10、 行元素对应相乘再相加；留意：一般情形下：AB BA； 但是满意结合律和安排律；EA = AE = A4）矩阵的幂：如A 是 n 阶方阵,就：明显：AkAlAkl, AklAkl. .= . . .= . . .= . .-.ABkk A BkAB2A22ABB2A、B 可交换时才成立ABABA2B23. 矩阵的转置：把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵,记作AT .如：A1 4AT2T2,;AT14T B;25;58性质：A2 2 T A B 8 T A| A| 或 det A.1 3 ATAT;4 T AB T TB A.设 A 为 n 阶方阵,假如满意.=.,即 .= .,就 A 为

11、对称阵假如满意.=-.,即 .= -. .,就 A 为反对称阵4. 方阵的行列式：由n 阶方阵 的元素所构成的行列式,叫做方阵A 的行列式,记作性质：|AT| |A , |A|n|A , |AB| |A|B|；5. 相伴矩阵： 其中. 是. 的代数余子式,*A 称为 A 的相伴矩阵；（特殊留意符号）A 11 A 21 L A n 1A 12 A 22 L A n 2 留意：元素 . 的代数余子式 . 是位于AL L L L .的第 j 行第 i 列（类似于转置）A 1 n A 2 n L A nn 性质： . . = .= |.|.6. 逆矩阵：对于 n 阶方阵 A,假如有 n 阶方阵 B,使

12、得 AB = BA = E,就称 A 可逆,B 为 A 的逆矩阵,记为 .-.；且 A 的逆矩阵是唯独的；判定方阵 A 是否可逆： |.| 0 . A 可逆,且逆矩阵 .-. = | .|. . .推论：如 |.| 0,就 |.-.| = |.|；此时称 A 为非奇特矩阵；如 . |.| = .,就称 A 为奇特矩阵；二阶矩阵的逆矩阵：主对角线两数对调,副对角线两数反号；A = . . . .- .-.= .-. . . -.-. .单位矩阵 E是可逆的 .= .-.；零矩阵是不行逆的；名师归纳总结 第 3 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

13、- 对角矩阵的逆矩阵：对角线上每个元素取倒数；推论：假如n 阶方阵 A、B 可逆,那么 .-.、 .、 A 0、AB 也可逆|.|-.且：AA1111A,1,AT1A1 ,（ 5）|.-.| =AAB1B1A1.用逆矩阵求解线性方程组：已知 . = .,如 AB 可逆,就 .= .-.-.（ A 在 X 左边,就 .-.必需在 C左边, B 也如此）7. 矩阵分块法：用一些横线和竖线将矩阵分成如干个小块,这种操作称 为对矩阵进行分块；每一个小块称为矩阵的 子块 ；矩阵分块后,以子块为元素的形式上的矩阵称为 分块矩阵 .分块矩阵的运算： （其运算与矩阵运算基本一样）1）加法：要求矩阵A 和 B

14、是同型矩阵,且采纳相同的分块法即相对应的两个子块也是同型的2）分块矩阵A 的转置 .：除了 A 整体上需转置外,每一个子块也必需得转置；8. 分块对角矩阵：A 1设 A 是 n 阶矩阵,如：AA 2OA sA 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块,其余子块都为零矩阵对角线上的子块都是方阵就称 A 为分块对角矩阵；A1A 11A 21O性质： | A | = | A1 | | A2 | | As | 如 | As| 0,就| A | 0,并且A s1分块副对角矩阵： . . . .-.= . .-.-. . A = O 的充分必要条件：. .= .第三章1. 初等行变换： （运算符号： ）- 留意

15、与行列式的运算加以区分互换两行,记做.第 i 行乘以非 0 常数 k,记做 . . 第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记做 .+ .2. 如矩阵 A 经过有限次初等变换成矩阵B,就称 A 与 B 等价,记做 . . .的充要条件是存在m 阶可逆矩阵P 及 n 阶可逆矩阵Q ,使PAQ = B3. 矩阵之间等价关系的性质：反身性： . 对称性：如 .,就 . 传递性：如 ., .,就 .4. 行阶梯形矩阵：1）可画出一条阶梯线,线的下方全为零；2）每个台阶只有一行；3）阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素 .行最简形矩阵：4）非零行的 首非零元为 1;5）首非零元所在的列的其它元素都为零

16、 .5. 初等矩阵：由单位矩阵 . 经过 一次初等变换 得到的矩阵； （是可逆的）1）单位矩阵对换 i,j 行,记作 .,. .,.-. = .,.2）以常数 k 0 乘单位矩阵第 i 行（列）, 记作 . .-. = . .3）以 k 乘单位矩阵第 j 行加到第 i 行,记作 .,. .,.-. = .,.-.性质 1：左行右列名师归纳总结 设 A 是一个m n 矩阵,A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；第 4 页,共 7 页对 A 施行一次初等行变换,相当于在对 A 施行一次初等列变换,相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - -

17、 - - - - 性质 2：方阵 A 可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵 P1, P2, , Pl,使 A = P1 P2 , Pl r推论： 方阵 A 可逆的充要条件 是 A E假如 A . ,就存在可逆矩阵 rP,使 PA = B；. .,.,.：即当 A 变换成 B 是时, E 变为 P（求 P）r求方阵 A 的逆矩阵 方法总结：方法 1：判定 A 可不行逆：如 |.| . . A 可逆- 书中 P41 页.-. = | .|. . . ：留意相伴矩阵里每个代数余子式对应的符号方法 2：本身包蕴了判定 A 可不行逆的条件,即 . . A 可逆 r- 书中 P64 页例 2 .,.,.-.

18、 ：即对矩阵 r A,E 进行初等行变换,当 A 变成 E时, E 就变成了所求的 .-.求.-.：该方法用来求方程组 .= . . .= .-. - 如 .= .,可先化为 .= .方法： .,. .,.-. ：即对矩阵 r A,B 进行初等行变换,当 A 变成 E时, B 就变成了所求的 .-.二、 矩阵的秩1. k 阶子式：在 m n 矩阵 A 中, 任取 k 行 k 列 k m,k n,位于这些行列 交叉处的 k2个元素 ,不转变它们在 A 中所处的位置次序而得的 k 阶行列式 ,称为矩阵 A 的 k 阶子式m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 . . . . . 个2. 矩阵的秩：设

19、矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D,且全部 r +1 阶子式（假如存在的话）全等于零,那么D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式,数 r 称为矩阵 A 的秩,记作 RA；零矩阵的秩等于 0；常用：1）对于 n 阶方阵 A,RA = n 称 A 满秩 . |.| . . A 可逆2）如 .,就 RA = RB 3）对于行阶梯形矩阵,它的秩等于非零行的行数 4）. . . = .求秩方法：将矩阵化为行阶梯形矩阵5）如 P、Q 可逆,就 RPAQ = RA . .= . 即：可逆矩阵与任何矩阵 A 相乘,都不会转变所乘矩阵 A 的秩6）max RA, RB RA, B RA + RB当 B =

20、 b 为非零列向量时,RA RA, B RA +7）RA+B RA + RB8）RAB min RA, RB3. 线性方程组的解n 元非齐次线性方程组 .= .- P75 页例 13 P79 页 17 题1）无解 . . .,.有唯独解 . . = .,. = .2）有解 . . = .,.有无限解 . . = .,. .n 元齐次线性方程组 .= .有非零解 . RA n第四章一、向量组及线性组合1. n 维向量： n 个有次序的数a1 , a2 , , an所组成的数组；这n 个数称为该向量的n 个重量,第 i 个数ai称为第i 个重量2. 向量组 ：如干个 同维数 的列向量（行向量）所组

21、成的集合3. 给定向量组A：a1, a2, , am,对于任何一组实数k 1, k2, , k m ,表达式k1a1 + k2a2 + + km am称为向量组 A 的一个 线性组合 ；k 1, k2, , km 称为这个线性组合的系数4. 给定向量组 A：a1, a2, , am 和向量 b,假如存在一组实数 l1, l 2, , l m ,使得b = l1a1 + l 2a2 + + lm am就向量b 是向量组A 的线性组合,这时称向量 b 能由向量组A 的线性表示第 5 页,共 7 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 向量 b 能

22、由向量组A 的线性表示.RA = RA, b. 方程组 x1a1 + x2a2 + + xm am = b有解5. 设有向量组A：a1, a2, , am 及 B：b1, b2, , bl , 如向量组B 中的每个向量都能由向量组A 线性表示,就称 向量组B 能由向量组A 线性表示 如向量组A 与向量组B 能相互线性表示,就称这两个向量组等价两个向量组等价.RA = RB = RA, B6. 向量组B 能由向量组A 线性表示. 存在矩阵 K,使 B = AK . 矩阵方程 AX=B 有解. RA = RA,B . RB RA （这是必要条件）二、向量组的线性相关性1. 给定向量组A：a1, a

23、2, , am ,假如 存在不全为零 的实数k1, k 2, , km ,使得k1a1 + k2a2 + + km am =0（零向量）就称向量组 A 是线性相关 的,否就称它是 线性无关 的2. 只含一个向量 a 的向量组 A,当 a = 0 时, A 线性相关 ； a 0 时, A 线性无关只含两个向量 a1, a2 的向量组 A,线性相关 . a1, a2 的重量对应成比例；向量组 A：a1, a2, , amm 2线性相关 . 向量组 A 中至少存在一个向量能由其余 m-1 个向量线性表示；3. 向量组 A 线性 相关 . m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解 . RA m向量

24、组 A 线性 无关 . m 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解 . RA = m4. n 维单位坐标向量组 E：e1, e2, , e n ,是 线性无关 的,且是最大的线性无关组之一；维单位坐标向量组 E： e1, e2, , e n 能由向量组 A： a1, a2, , am 线性表示 . . RA = n5. 定理1）如向量组 A ：a 1, a2, , am 线性相关,就向量组 B ：a1, a2, , am, a m+1 也线性相关其逆否命题也成立,即如向量组 B 线性无关,就向量组 A 也线性无关2）m 个 n 维向量组成的向量组,当维数 n 小于向量个数 m 时,肯定线性相

25、关特殊地,n + 1 个 n 维向量肯定线性相关3）设向量组 A ：a 1, a2, , am 线性无关,而向量组 B ：a1, a2, , am, b 线性相关,就向量 b 必能由向量组 A 线性表示,且表示式是唯独的三、向量组的秩1. 设有向量组 A ,假如在 A 中能选出 r 个向量 a1, a2, ,ar,满意向量组 A0 ：a1, a2, , a r 线性无关；向量组 A 中任意 r + 1 个向量（假如 A 中有 r + 1 个向量的话）都线性相关；那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个 最大线性无关向量组,简称最大无关组最大无关组所含向量个数 r 称为向量组 A 的秩,记作 R

26、A ；RA 向量组 A 中向量的个数只含零向量的向量组没有最大无关组,秩 = 0；2. 向量组 A 和它自己的最大无关组 A0 是等价的推论：向量组 A0 线性无关；向量组 A 中任意一个向量都能由向量组 A0 线性表示；那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组3. 全体 n 维向量构成的向量组记作 R n,向量组 E 是 Rn 的一个最大无关组,且 Rn的秩等于 n4. 矩阵的秩等于它的列（行）向量组的秩5. 矩阵初等变换后保持列向量组之间的线性关系；如：向量组 A ：a1, a2, a3 , a4, a5,假设 A0：a1,a2,a4 是一个最大无关组,把 a3 , a5 用 a

27、 1,a2,a4 线性表示：2 1 1 1 2 1 0 1 0 4 可以看出：A 1 1 2 1 4 r 0 1 1 0 3B b3 = - b1 - b 2 b5 = 4b 1 + 3b2 - 3 b 44 6 2 2 4 0 0 0 1 3 所以3 6 9 7 9 0 0 0 0 0 a3 = - a1 - a 2 a5 = 4a 1 + 3a2 - 3 a 4四、线性方程组的解的结构 11211. 设有齐次线性方程组 Ax = 0 ,假如 x 1 = , x 2= ,., x n= n 为该方程组的解,就称M为方程组的 解向量 n 1名师归纳总结 第 6 页,共 7 页- - - - -

28、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 性质：如 x = 1, x = 2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解,就 x = 1 + 2 仍是 Ax = 0 的解如 x = 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解, k 为实数,就 x = k 仍是 Ax = 0 的解3. 把 Ax = 0 的全体解组成的集合记作 S,如求得 S 的一个最大无关组 S0：x = 1, x = 2, ., x = t ,那么 Ax = 0 的通解 可表示为 x = k1 1 + k2 2 + + t 齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的 基础解系 （不唯独）4. 设 m n

29、 矩阵的秩 RA = r,就 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的解集 S 的秩 RS = n - r即： Ax = 0 的解集 S的秩等于 未知数的个数 减去 系数矩阵的秩5. 设 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 与 Bx = 0 同解,就 RA = RB设 Am nBn l = O （零矩阵）,就 RA + RB n 6. 非齐次方程组的解的性质：如x = 1, x = 2 是非齐次线性方程组Ax = b 的解,就x = 1 - 2 是对应的齐次线性方程组Ax = 0 （导出组）的解如x = 是非齐次线性方程组Ax = b 的解, x = 是导出组Ax = 0 的解,就 x = + 仍是 Ax = b 的解第 7 页,共 7 页7. 如 x = 是 Ax = b的一个特解, Ax = 0 的通解为 = c1+c2+ +cn-rn-r于是：Ax = b 的通解为 = c1+c2+ +cn-rn-r + 即：非齐通= 齐通+ 非齐特特解：没有线性相关要求,只要是解就可以名师归纳总结 - - - - - - -