2022年数学试题练习题考试题教案高一数学教案苏教版高一数学正弦定理余弦定理.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第四课时 正弦定理、余弦定理（二）教学目标：娴熟把握正、余弦定理应用,进一步熟识三角函数公式和三角形中的有关性质,综合运 用正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题；通过正、余弦定理在解 三角形问题时沟通了三角函数与三角形有关性质的功能,反映了事物之间的内在联系及肯定 条件下的相互转化 教学重点：正、余弦定理的综合运用 教学难点：1.正、余弦定理与三角形性质的结合；2.三角函数公式变形与正、余弦定理的联系 教学过程：.复习回忆 上一节课,我们一起争论了正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判定三角 形外形

2、时的应用,这一节,我们将综合正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质来求 解三角形问题 .第一,我们一起回忆正、余弦定理的内容 . .讲授新课例 1在 ABC 中,三边长为连续的自然数,且最大角是最小角的 2 倍,求此三角形 的三边长 . 分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系,故需利用正弦定理建立边角关系.其中 sin2 利用正弦二倍角绽开后显现了 从而达到求边长的目的 . cos,可连续利用余弦定理建立关于边长的方程,解：设三角形的三边长分别为x,x1,x2,其中 xN*,又设最小角为,就x sin x2 sin2 x2 2sincos , cosx22x又由余弦定理可得x 2

3、（ x1）2（ x2）22（x1）（x2）cos将代入整理得x23x40 解之得 x14,x2 1（舍）所以此三角形三边长为 4,5,6. 评述：（1）此题所求为边长,故需利用正、余弦定理向边转化,从而建立关于边长的方程；（2）在求解过程中,用到了正弦二倍角公式,由此,要向同学强调三角公式的工具性作用,以引起同学对三角公式的重视 . 例 2如图,在 ABC 中, AB4 cm ,AC3 cm ,角平分线 AD 2 cm ,求此三角形 面积 . 分析：由于题设条件中已知两边长,故而联想面积公式S ABC1 2 ABACsinA,需求出名师归纳总结 sinA,而 ABC 面积可以转化为S ADC

4、S ADB,而S ADC 1 2 ACADsinA 2,S ADB 1第 1 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载ABADsinA2,因此通过 S ABCS ADCS ADB建立关于含有 sinA,sinA 2的方程,而 sinA2sinA 2 cosA 2,sin 2A2cos 2A21,故 sinA 可求,从而三角形面积可求 . 解：在 ABC 中, S ABCS ADBS ADC,1 2 ABACsinA1 2ACADsinA 21 2ABADsinA1 243sinA1 2 32sinA 2, 6sinA7sin

5、A12sinA 2 cos A27sin A2sinA 2 0, cos A212,又 0A, 07 A22sinA 21cos2A212,95sinA2sinA 2 cosA 27 72,95S ABC1 2 43sinA712（cm 95 2）. 评述：面积等式的建立是求 sinA 的突破口,而 sinA 的求解就离不开对三角公式的熟识 .由此启示同学在重视三角形性质运用的同时,要娴熟应用三角函数的公式 .另外,在应用同角的平方关系 sin 2cos 21 时,应对角所在范畴争论后再进行正负的取舍 . 例 3已知三角形的一个角为 60,面积为 10 3 cm 2,周长为 20 cm,求此三

6、角形的各边长 . 分析：此题所给的题设条件除一个角外,面积、周长都不是构成三角形的基本元素,但是都与三角形的边长有关系,故可以设出边长,利用所给条件建立方程,这样由于边长为三个未知数, 所以需寻求三个方程,其一可利用余弦定理由三边表示已知 60角的余弦, 其二可用面积公式 S ABC1 2 absinC 表示面积,其三是周长条件应用 . 解：设三角形的三边长分别为a、b、 c,B60,就依题意得名师归纳总结 cos60 0a2c2b2b2 a 2c 2ac 第 2 页,共 11 页2ac1 2 acsin600 10 3 ac40 abc 20 a bc20由式得 b 2 20（ ac）240

7、0a 2c22ac40（ac）将代入得4003ac40（ac） 0 再将代入得ac 13 由ac40 ac13,解得a15 c18 或a28c25- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载b17,b27 所以,此三角形三边长分别为 5 cm, 7 cm,8 cm. 评述：（1）在方程建立的过程中,应留意由余弦定理可以建立方程,也要留意含有正弦形式的面积公式的应用；（2）由条件得到的是一个三元二次方程组,要留意要求同学体会其求解的方法和思路,以提高自己的解方程及运算才能 . 例 4在 ABC 中, AB5,AC3,D 为 BC 中点,且 AD4

8、,求 BC 边长 . 分析：此题所给题设条件只有边长,应考虑在假设 BC 为 x 后,建立关于 x 的方程 .而正弦定理涉及到两个角,故不行用 .此时应留意余弦定理在建立方程时所发挥的作用 .由于 D 为xBC 中点,所以 BD、DC 可表示为 2,然后利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程 . 解：设 BC 边为 x,就由 D 为 BC 中点,可得 BDDC x 2,在 ADB 中, cosADBAD 2BD2AD BD 2AB 24 2（x 2）x 25 2242在 ADC 中, cosADCAD 2DC2ADDC 2AC 24 2（x 2）x 23 2242又 ADB ADC180c

9、osADBcos（180 ADC ） cosADC . 42（x 2）25242（x 2）23224x 224x 2解得, x2 所以, BC 边长为 2. 评述：此题要启示同学留意余弦定理建立方程的功能,体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用,并留意总结这一性质的适用题型 . 另外,对于本节的例 2,也可考虑上述性质的应用来求解 sinA,思路如下：由三角形内角平分线性质可得ACBD DC5 3,设 BD5k,DC3k,就由互补角 ADC 、ADB 的余弦值互为相反数建立方程,求出 BC 后,再结合余弦定理求出 cosA,再由同角平方关系求出 sinA. 为巩固本节所学的解题方法,下面我

10、们进行课堂练习 . .课堂练习1.半径为 1 的圆内接三角形的面积为0.25,求此三角形三边长的乘积. 解：设 ABC 三边为 a,b,c. 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载就 S ABC1 2 acsinBS ABCabcacsinB 2abcsinB 2b又 sinB2R,其中 R 为三角形外接圆半径 bS ABCabc4R 1abc4RS ABC410.251 所以三角形三边长的乘积为1. a sinAb sinBc sinC2R,评述：由于题设条件有三角形外接圆半径,故联想正弦定理：其中

11、 R 为三角形外接圆半径,与含有正弦的三角形面积公式 abc 进行整体求解 . S ABC1 2 acsinB 发生联系,对2.在 ABC 中,已知角 B45,D 是 BC 边上一点, AD5,AC7,DC 3,求 AB. 解：在 ADC 中,cosCAC2DC2AD272325211 14,2ACDC273又 0C180, sinC5 3 14 在 ABC 中,AC sinBsinC ABABsinC sinB AC5 3 142 75 6 2 . 评述：此题在求解过程中,先用余弦定理求角,再用正弦定理求边,要求同学留意正、. 余弦定理的综合运用 3.在 ABC 中,已知 cosA3 5,s

12、inB 5 13,求 cosC 的值 . 解： cosA3 52cos45,0 A 245A90, sinA4 5sinB5 131 2sin30 , 0B0B30或 150 B180如 B150,就 BA180与题意不符 . 0B30 cosB12 13名师归纳总结 cos（A B） cosAcosBsinAsinB3 512 134 55 1316第 4 页,共 11 页65- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载又 C180（ A B）. cosC cos180（ A B） cos（AB）16 65 . 评述：此题要求同学在利用同角的

13、正、余弦平方关系时,应依据已知的三角函数值详细确定角的范畴,以便对正负进行取舍,在确定角的范畴时,通常是与已知角接近的特别角的三角函数值进行比较 . .课时小结通过本节学习,我们进一步熟识了三角函数公式及三角形的有关性质,综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题,要求大家留意常见解题方法与解题技巧的总结,不断提高三角形问题的求解才能 . .课后作业1在三角形中,三边长为连续自然数,且最大角是钝角,那么这个三角形的三边长分别为 . 答案： 2,3,4 2已知方程 a（1x 2） 2bxc（1x2） 0 没有实数根,假如a、b、c 是 ABC 的三条边的长,求证 ABC 是钝角三角形 . 备课资

14、料1.正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理,如将正弦定理代入得sin 2A sin 2Bsin 2C2sinBsinCcosA. 这是只含有三角形三个角的一种关系式,利用这肯定懂得题,简捷明快,下面举例说明之 . 例 1在 ABC 中,已知 sin2Bsin2Csin2A3 sinAsinC,求 B 的度数 . 解：由定理得sin 2B sin 2Asin 2C2sinAsinCcosB 2sinAsinCcosB3 sinAsinCsinAsinC 0, cosB2 3B150例 2求 sin 210cos 240sin10 cos40 的值 . 解：原式 sin 21

15、0sin 250 sin10 sin50 在 sin 2Asin 2B sin 2C2sinBsinCcosA 中,令 B10,C50,就 A120. sin 2120sin 210sin 2502sin10 sin50 cos120 sin 210 sin 250sin10 sin50 （2）3 23 4 . 例 3在 ABC 中,已知 2cosBsinCsinA,试判定 ABC 的外形 . 名师归纳总结 解：在原等式两边同乘以sinA 得 2cosBsinAsinCsin2A,第 5 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下

16、载由定理得 sin 2Asin2Csin 2B sin 2A,sin 2Csin 2B BC故 ABC 是等腰三角形 . 2.一题多证例 4在 ABC 中已知 a2bcosC,求证： ABC 为等腰三角形 . 证法一：欲证 ABC 为等腰三角形 .可证明其中有两角相等,因而在已知条件中化去边元素,使只剩含角的三角函数 .由正弦定理得 absinAsinB2bcosCbsinAsinB,即 2cosC sinBsinAsin（BC） sinBcosCcosBsinC. sinBcosC cosBsinC0,即 sin（B C） 0, BCn（ nZ）. B、C 是三角形的内角,BC,即三角形为等

17、腰三角形 . 证法二：依据射影定理,有 abcosCccosB,又 a2bcosC 2bcosCbcosCccosBbcosCccosB,即b ccosB cosC . 又b c sinB sinC . sinB sinC cosB cosC,即 tanBtanCB、C 在 ABC 中, BC ABC 为等腰三角形 . 证法三： cosCa2b2c2及 cosCa 2b,2aba2b2c2a 2b,化简后得b 2c 2. b c2ab ABC 是等腰三角形 . 3.参考例题例 1在 ABC 中,如cosA cosBb a,试判定 ABC 的外形 . 解：由已知cosA cosBba及正弦定理得

18、 cosAcosBsinBsinAsin2A=sin2B2A 2B 或 2A2B,即 AB 或 A B 2,a、 b、c 依次成等比故 ABC 为等腰三角形或直角三角形. 例 2已知 ABC 的三个内角A、B、C 依次成等差数列,又三边数列,求证：该三角形为正三角形. 证法一： A、 B、C 成等差数列,就2BAC,又 ABC180, 3B180, B60,名师归纳总结 再由 a、b、c 成等比数列,可得b2ac,第 6 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载因此用余弦定理b 2a 2c 22accosB, aca 2c

19、22ac1 2,即（ ac）20, ac,AC又 B60, ABC 为正三角形 . 证法二： A、 B、C 成等差数列,就 2BAC,又 ABC180, 3B180, B60,再由 a、b、c 成等比数列,设公比为 q,于是 baq, caq 2,cosBa 2 c2ac 2 b 2,即 12a 2（ aq2a（aq 2）2（ aq）2）2整理得 q 42q 210,解得 q 2 1,q1 q1,三边长相等故三角形为正三角形 . 例 3在 ABC 中,如 a 2tanB=b解法一： a 2tanB=b 2tanA,2tanA,试判定 ABC 的外形 . a b2tanA tanBsinA co

20、sB2 sinB cosA由正弦定理得sinA sinBa b由余弦定理得cosBa2c2b2, 2accosAb2c2a2, 2bc把式代入式得a2 2 a ba 2c 2b2a2c2b2. 2ac b 2c 2a2 ,22c2abb2bc整理得（ a 2 b 2）（c2a2b2） 0,ab 或 a2b2c2. ABC 是等腰三角形或直角三角形解法二：由已知及正弦定理可得（ksinA）2sinB cosB（ ksinB）2sinA cosA,2sinAcosA2sinBcosB sin2Asin2B2A 2B 或 2A 2B名师归纳总结 即 AB 或 A B第 7 页,共 11 页2- -

21、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 ABC 是等腰或直角三角形 . 4.参考练习题1.在 ABC 中,如 sinAsinBsinC cosBcosC,试判定 ABC 的外形 . 解： sinAsinBsinC cosBcosC, cosB cosCsinBsinCsinA,a 2c 2b 2a 2b 2c 2b c应用正、余弦定理得2ac2aba,b（a 2c 2b 2） c（a 2b 2c 2） 2bc（bc）,a 2（bc）（ bc）（b 22bcc 2） 2bc（bc）即 a 2 b 2 c 2故 ABC 为直角三角形 . 2.在 AB

22、C 中,角 A、B、C 的对边分别为a、b、c,求证：a 2bc22sin（AB）sinC. 证明：由 a 2b2c22bccosA. b2 a 2 c 2 2accosB两式相减得a2b2c（acosBbcosA）,a2b2acosBbcosA 2 c. c2又a csinA sinC,b csinB sinC,a2b 2 c2sinAcosBsinBcosAsin（A B）. sinCsinC3.在 ABC 中,如（ abc）（ bca）bc,并且 sinA 2sinBcosC,试判定 ABC 的外形 . 解：由已知条件（abc）（b ca） bc 及余弦定理得cosAb2c2a2（ ab

23、c）（ b ca）2（a bc）（ bca） 12bcA60又由已知条件 sinA2sinBcosC 得 sin（BC） sin（B C） sin（BC）sin（ CB） 0, BC于是有 A BC60,故 ABC 为等边三角形 . 正弦定理、余弦定理名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载D.42 （）1在 ABC 中,已知 A105 0,B300,b22 ,就 c 等于A.2 B.22 C.4 2一个三角形的三边之长分别是3、5、7,就最大角为D.120（）A.arccos11B.15013 C.ar

24、ccos 1414（）3在 ABC 中,依据以下条件解三角形,其中有两个解的是A.b10,A45 , C70B.a60,c48,B60C.a7,b5,A80D.a14,b16,A455（）4在 ABC 中,如 sin 2Asin2Bsin 2C sinB sinC,就角 A 等于A. B. 2C. 3D. 3346（）5在 ABC 中,如 acosAbcosB,就 ABC 的外形是A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6在ABC 中,已知 c 102 ,C60 , a20 33,就 A. . 7在ABC 中,已知三边满意（abcab c 3ab,就 C 等于.

25、 8在ABC 中,如a2 2 tanA tanB,就 ABC 是. b9在ABC 中,已知 B135 , C15 , a5,那么此三角形的最大边的长是10在 ABC 中,已知 a3 ,b2 ,B45 ,求 A,C 及 c. 11已知ABC 中, sinAsinB sinC3 13 110 ,求最大角 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载12已知ABC 中, a2, c1,求角 C 的取值范畴 . 正弦定理、余弦定理答案名师归纳总结 1C 2D 3D 4B 5D 第 10 页,共 11 页- -

26、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载6457 608等腰或直角三角形 95 2 10在 ABC 中,已知 a3 ,b2 ,B45 ,求 A,C 及 c. 0解：sinAa sinB, sinAa sinB3 sin452 2 3ba 且 basinB A 有两解： A 60 或 120 . （1）当 A60 时, C 180 （ A+B） 75cb sinC2 sin75 0 sin45062sinB 22当 A 120 时, C180 （ A+B） 15cb sinC2 sin15 0 sin45062 . 10 ,求最大角 . sinB 211已知ABC 中, sinAsinB sinC3 13 1解：a sinAb sinBc sinCksinAsinBsinCabc3 +1 3 110 设 a 3 1k,b3 1k,c10 kk0 就最大角为C.cosCa2b 2c 22ab3 123 1210 212 3 1 3 12C120 . 12已知ABC 中, a2, c1,求角 C 的取值范畴 . 解：由三角形三边关系得b ac3 bac1 1b 3 名师归纳总结 由 c2a2 b 2 2abcosC,得 b24bcos 2C30 第 11 页,共 11 页由 0,得 cos 2C3 40C 6 . - - - - - - -