2022年智能控制讲义第三章模糊控制的数学基础.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆第 3 章 模糊掌握的数学基础3.1 概述模糊数学为模糊系统与模糊掌握的进展供应了起点和基本语言；模糊数学本 身就是一个庞大的领域, 其原理是由用模糊集合的概念取代经典数学理论中的集 合概念而进展来的；依据这种方式,全部的经典数学分支都可以被“ 模糊化”,于是产生了模糊测度理论、模糊拓扑、模糊算数和模糊分析等等分支；明显,模糊数学中仅有一部分可以应用到工程中去；所用到的相关内容；本章仅仅介绍后续模糊掌握器设计中在现实生活中, 人们接触过很多概念； 任何一个概1 A u 念都有着其内涵和外延； 概念的内涵是这一概念的本质

2、属性,而概念的外延是指符合这一概念的对象范畴；当我们谈论某一个概念的外延时, 总离不开肯定的争论范围；如我们争论 “ 工业掌握运算机” 这一概念时,自然我们不会去考虑那些风马牛不相及的事物,如汽车、机0 a A b u 图 3-1 Contor 集合的特点函床或老鼠、 大象等；我们争论的这个范畴称为 “ 论域” ,论域中的每个对象称为“ 元素”；而具有某些特定属性的元素的全体构成了该论域上的一个集合；对于这些明 确的概念,我们可以用德国数学家康托 Contor Georg, A u 1845-1918提出的经典集合来表示； 对于这种具有明确 外延的概念, 即对于一个详细的对象来说, 它要么属于

3、 这个概念的范畴, 要么不属于这个概念的范畴； 集合的 特点函数描述了这个明确的外延；然而,在现实生活中,有很多问题不能用Contor图 3-2 模糊集合的特点函数集合来描述, 即,这些概念没有明确的外延； 这种没有 明确外延的概念我们称之为模糊概念；如,青年人、老年人、高个子、好人等概念；1965 年美国自动掌握理论专家 类概念的描述；模糊集合理论将L.A.Zadeh 提出了模糊集合理论, 解决了对这 Contor 集合论中的概念拓展,即,把特点函数的取值范畴从 0,1 扩充到 0,1,不再把论域中的某个对象说成是属于这个集 合仍是不属于这个集合,而是说某个对象隶属于这个集合的程度是多少；名

4、师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆3.2 一般集合及其运算性质一、集合的基本概念 表 3-1 给出了一般集合的最基本概念；1 论域表 3-1 集合的基本概念由被考虑对象的全部元素的全体组成的基本集合称为论域,用大写字母 U、E 等表示；2 元素论域中的每个对象,称为元素,用小写字母a、b 等表示；给定一个论域,其中具有某种共同属性的、确定的、彼此间可以区分的元素的全体称为集合；它是指具有同一本质属性的全体事物的总和,用3 集合大写字母 A、B 等表示；对于论域 U 中的元素 a 及任意一个集

5、合于与不属于,表示为aA,或aA；A,它们的关系只有两种,属4 空集集合中不包含任何元素,这样的集合称为空集,表示为 ；5 全集集合中包含论域里的全部元素,这样的集合称为全集,表示为E；6 包含设 A、B 是论域 U 的两个集合,如xAxB,就称集合B 包含集合 A,表示为BA,或称 A 包含于 B,表示为AB；7 相等设 A、B 是论域 U 的两个集合,如AB与BA同时成立,就称A=B,表示为AB；8 子集设 A、B 是论域 U 的两个集合,如集合B 中的全部元素是由集合A 中的部分元素或全部元素组成,就称集合 B 是集合 A 的子集； 表示为BA幂集或AB；空集是任意集合的子集；9 给定集

6、合 A,以它的全体子集为元素组成的集合称为A 的幂集；表示为 P（A）,即, P（A）= B 是 A 的子集 ；10 并集设有任意两个集合A 和集合 B,如集合 C 是由全部属于集合A 或集合B 的元素组成的集合,就C 称为 A 和 B 的并集；表示为：AB,并被11 交集定义为：CABxxA xB ；设有任意两个集合A 和集合 B,如集合 C 是由同时属于集合A 和集合B 的元素组成的集合,就C 称为 A 和 B 的交集；表示为：AB,并被定义为：CABxxA xB ；设集合 A 为论域 E 上的一个集合, 由论域 E 中不属于 A 的全部元素组名师归纳总结 12 补集成 的 集 合 称 为

7、A的 补 集 ； 表 示 为 ：Ac； 定 义 为 ：第 2 页,共 25 页AcEAxxA xE；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆幂集举例：设集合 A=3 ,6,8 ,求其对应的幂集；解：依据幂集的定义,可知集合 A 的幂集为P（A）= ,3 ,6 ,8 ,3 ,6 ,3,8 ,6 ,8 ,3 ,6,8 ,即集合 A 的幂集有 8 个元素；二、集合的运算性质 设集合 A、B、C. E,其交、并、补运算具有如下性质：1 幂等律：表 3-2 集合运算性质AA=A, AA=A；2 交换律：AB= BA, AB= BA；3 结合律

8、：（AB） C=A（ BC）,（AB） C=A（BC）；4 安排律：A（ BC）=（AB）（AC）,A（B C） =（AB）（ AC）；5 同一律：A =,A=A,AE=A,AE=E；6 吸取律：A（ BA）=A,A（BA）=A；7 互补律：AAc= ,AAc=E；8 仍原律：（Ac）c=A；9 对偶律：（AB）c=A cB c,（AB）c=A cB c；三、集合的表示方法下面给出集合常用的表示方法；1 列举法 当集合中的元素个数为有限时,可将其中的元素一一列出,例如：A= a, b, c, d ,表示集合 A 由 4 个元素构成；2 描述法 当集合中的元素数目为无限时,可通过元素的定义来表示

9、集合；例如：A= x | px ,（3-1）表示由满意 px的全部 x 构成集合 A；3 特点函数法名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆设 A 是论域 U 上的集合,记Ax,0 when xA（3-2）,1 when xA为集合 A 的特点函数；4 文氏图法 用任意一个封闭的图形如圆、椭圆、矩形等表示一个集合；例如图 3-3 表示 了论域 U 上集合 A、B 及其它们的交与并；U A AB图 3-3 文氏图法B A B3.3 模糊集合论基础一、模糊集合（一）模糊集合的概念依据集合的概念,我们

10、知道,对于任意一个一般集合A 而言,其论域中的元素 x 要么属于这个集合,此时Ax 1,要么不属于该集合,此时A x 0,即存在非此即彼的概念；然而,在现实生活中,有大量的事物具有模糊的特点,无法用一般集合来描述；例如,“ 中年人” ,就是一个模糊概念；由于“ 中年人” 这个概念涉及两个问题： 中年人的外延问题, 即,年龄界限是多少？当一个人的年龄在这个界限内,那么他是否完全属于中年人的范畴？对于这样的问题,不同的人完全可以给出不同的回答；现在,假设中年人的年龄界限为35-50；如有 3 个人的年龄分别是 36、45、55,那么他们三人属于中年人的程度是否一样？通常,人们会认为 45 岁相对于

11、 36 岁其隶属于中年人的程度要大；而对于55 岁的人,尽管他已经开头进入老年,但他同时仍旧隶属于中年人,仅仅相对于 45 岁的人而言,其隶属程度比较小而已；由此,我们可以发觉,前面假设的中年人年龄界限 35-50岁,实际应用中是不能够精确描述人们的熟悉和观念的,用大致为 35-50 岁左右来描述中年人的年龄界限（没有清楚的外延）好像更合理；因此,对于一个模糊名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆概念来说,其特点是外延不清楚；又如,概念“ 头发多”,也是一个模糊概念,单位面积上究竟有多少根头发

12、时才可以称为头发多呢？假设每平方厘米有 200 根头发时为多,那当一个人他的头发是平均每平方厘米199 根,那他的头发仍多仍是少呢？而对于此类问题在实际中也不行能去精确量化；诸如此类的这种模糊概念在日常生活中处处可以碰 到；为此,凡是外延不明确的集合都称之为模糊集合；由于模糊集合往往是某个论域的子集,所以,在争论模糊集合时,经常称它为模糊子集；通常用大写字母下加或上加波浪线来表示；如：A, B；（二）隶属度对于模糊概念不能用一般集合的属于与不属于来描述,必需通过反映某个元素 x 属于模糊集合 A的程度的隶属函数 A x 来描述；A x 表示元素 x 属于模糊集合 A的隶属度,A x 取值范畴在

13、 0,1之间；例 3-1 以年龄为论域,设 E=0,100,Zadeh 给出了模糊集合青年人 A的隶属函数为：1 , 0 x 25 A x x 125 2 , 25 x 100（3-3）15其中, x 代表年龄,当 x 分别为 26、35、55 时,通过上式运算可得到这三个年龄的人分别隶属于模糊集合青年人 A的隶属度为：A 26 .0 96 A 35 0 . 2 A 55 .0 03留意：由描述模糊集合青年人 A的隶属度函数式（ 4-3）可知, 0 至 25 岁隶属于模糊集合青年人 A的隶属度均为 1 明显是不尽合理； 这说明该隶属度函数的构造不能够很好地描述青年人这一模糊概念,如修改此隶属函

14、数为下式：x 25 2A x e 10,（3-4）就 4、10、18、25、35 和 55 岁的人隶属于模糊集合青年人 A的隶属度分别为：A 4 0 . 02,A 10 0 . 1 0 5,A 18 .0 613,A 25 1 . 0,A 35 .0 368,A 55 0 . 0 0 0 1；（三）模糊集合的表示方法名师归纳总结 1 Zadeh表示法x 1,x 2,xn时,模糊集合 A可表示为第 5 页,共 25 页（1）论域 U 为离散有限域- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆A Ax 1 Ax 2 Axnin Axi, （3

15、-5）x 1x2xn1x i式中,A x 1并不代表 “ 分数” ,而是表示论域中素ix 属于模糊集合 A 的隶属x 1度 Ax i 和元素 ix 之间的对应关系,称为“ 单点”而是表示论域 U 上全部元素及其隶属于模糊集合；同样“ +” 也不表示“ 求和” ,A的隶属度的总体关系；假如某项的隶属度为零,就该项可不写入；该方法简洁、有用；但它只适用于论域为 有限的情形；（2）假如论域 U 为无限域时,可将式（ 3-5）推广到一般形式,如式（ 3-6）所示：A U Ax i,（3-6）xi式中,积分符号也不表示求和运算, 而是用来表示各元素与隶属度对应关系的一个总和；2 向量表示法x 1,x 2

16、,xn时,U 上的模糊集合 A仍可以表示成向当论域 U 为离散有限域量形式,即 A Ax 1 Ax 2 Axn；（3-7）但应留意：向量表示法中隶属度为零的项不能省略；例 3-2设某设备运行速度的论域为V；U=200,400,600,800,1000,1200,1400,单位为 r/min,“ 速度高” 是一个模糊概念, “ 速度高” 表示一个模糊集合用 Zadeh表示法表示如下： V002.0 .40.60 .811；200400600800100012001400去掉隶属度为零对应的元素项,又可表示为：V 0 .20.406.0.811；400600800100012001400用向量表示

17、法表示为：V=0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.0 ；此时,对应隶属度为零的元素项不行省略；3 隶属函数表示法A x 来描述,它表示元素x 隶属于模糊集合A模糊集合仍可以用隶属函数的隶属程度；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆例如例 3-1 中的 Ax1x1 12,0x2525x100255和 Ax ex252,10给出了模糊集合青年人A的隶属函数,用以描述该集合的特点；4 用序偶形式表示设论域 U 为离散有限域 x 1 , x 2 , , x n 时,模糊集合 A可表示为A

18、 x , x x | x U例 3-3 在整数 1 到 10 组成的论域 U=1 ,2,3,4,5,6,7,8,9,10 中,设 A表示模糊集合“ 几个”；并设各元素的隶属度函数依次为 X A 0 0, 0, . ,3 .0 7 ,1,1, .0 ,7 .0 ,3 ,0 0,请用序偶形式表达该模糊集合；解：就模糊集合 A x ,xx|xU=（1,0）,（2,0）,（3,0.3）,（4,0.7）,（5,1.0）,（6,1.0）,（7,0.7）,（8,0.3）,（9,0）,（10,0） ；二、隶属函数及其确定1 隶属函数一般集合用特点函数来表示, 而模糊集合的特点函数通常称做隶属函数；隶属函数能够

19、很好地描述事物的模糊性；关于隶属函数要留意到两点： 隶属函数是Contor 集合特点函数的扩展,其值域为0,1； x A 的值表示了元素 x 隶属于模糊集合A的程度； 隶属函数完全刻划了模糊集合,隶属函数是模糊数学的基本概念；不同的隶属函数刻划了不同的模糊集合；2 隶属函数的确定重要性：隶属函数的建立是一项非常关键的工作,题描述的正确性；它的合理性直接影响对问多样性：由于模糊集合理论争论的对象具有模糊性以及客观实际争论对象的 多样性,目前仍没有统一的隶属函数挑选方法；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,

20、思而不学就殆评判标准：在实际工作中评判隶属函数的好坏就是看是否符合客观实际；主观性：隶属函数的选取存在极大的主观性；基本原就：就是要符合实际,不能违反常识；例如在例 3-1 中假如挑选的隶属函数具有如下形式： Ax10 ,20x25（3-8）x2525x1005式中, x 代表年龄, A为青年人这个模糊集合；当 式（ 3-8）可得：x 分别为 26、35、55 时,由 A26.104 A 355 A5537,结果中显现了隶属度大于1 的情形,明显,这是不合理的；隶属函数的确定大致有如下三种方法：（1）模糊统计法；以调查统计所得结果,绘制出体会曲线作为隶属函数曲 线,利用数学中曲线回来的方法,找

21、出隶属函数的解析表达式；（2）主观体会法；当论域为离散论域时,可依据主观熟悉,结合个人体会,经过分析和推理,直接给出元素的隶属值；这种方法被广泛使用；（3）神经网络和模糊规律相结合的方法；利用神经元网络学习、训练才能 强的特点,通过对神经元网络的训练,由神经元网络自动生成隶属函数；3 几种常见的隶属函数形式 在实际应用中, 依据满意问题需要及运算简便的原就,常用的隶属函数有如 下几种：1）正态型（图 3-4）0b=4 xa2b=2 Axeb,b2）三角形（图 3-5）图 3-4 正态型隶属函数名师归纳总结 Ax x0a1a 1othera x A x第 8 页,共 25 页1.0 xaa1a2

22、xaxa20 a1aa2aa23）升半梯形（图 3-6）图 3-5 三角形隶属函数A x 1.0 x0 a1a2图 3-6 升半梯形隶属函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆 Axx0a 1a1xxa 1a2a21a1xa24）降半梯形（图 3-7）xxa 1a2A x x11.0 Axa2xa1a2a1xa20 a1a20图 3-7 降半梯形隶属函数三、模糊集合的运算1 模糊集合的基本运算定义 1：设 A和 B是论域 U 上的两个模糊集合,其隶属函数分别为 x A 和B x ；规定 A和B的并运算 A B 、交运算 A B

23、和补运算（A c, B c）的隶属函数分别为 A B x 、 A B x 、A c x 、B c x ,就对 U 上的每一个元素 x（x U）,有：A B x A x B x ,（3-9）A B x A x B x ,（3-10）Ac x 1 A x ,（3-11）Bc x 1 B x （3-12）式中,符号“ ” 表示取大运算,符号“ ” 表示取小运算；名师归纳总结 试求例 3-4 设论域 U=1x ,x ,x ,x ,5x 中的模糊子集为1.0第 9 页,共 25 页A 0.10.80.205.03.x 1x2x3x4x5 B0.30.402.0.701.x 1x2x3x4x5A B 、

24、AB 、A和B；解：A B =01.x 10 3.+0 . 8x 2.0 4+.02x 3.0 2+.0 54.07+.0 3xx 5=3.0+0 . 8+0 . 2+0 . 7+03.；x 1x 2x 3x 4x 5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆A B =0 .1x10.3+0.8x204.+02.x 302.+05.x40.7+03.x 501.=0 1.x 1+0.4+02.+05.+01.,+10 .3x2x 3x4x 5A=10.1+1x08.+1x0 .2+105.x 123x4x5=0.9+02.+0.8+0

25、5.+07.,x 1x2x 3x4x5+10.1B=10.3+1x0.4+10 .2+10.7x12x3x 4x5=0.7+06.+0.8+03.+09.；x 1x2x 3x4x52 模糊集合的运算定律 设模糊集合 A、 B和 C是论域 U 上的三个模糊子集,其并、交、补满意下列性质：1）幂等律：A 2）交换律：A 3）结合律：A 4）安排律：A 5）同一律： A6）吸取律：A 7）互补律：A 8）仍原律：A 9）对偶律：A cA = A,A A = A；B = B A ,A B = B A ；B C = A B C ,A B C =B C = A B A C ,A B ,A A ；A E A

26、 ,AB A = A,A B A = A；A c,A A cE；cA ；B cA cB c,A B cA cB cA C=B AC B； A C；EE；3.4 模糊关系及其运算客观世界中的各种事物间一般都存在某种联系,学模型就称作关系；集合论中的关系精确地描述了元素之间是否相关；而描述客观事物间联系的数模糊集合论中的模糊关系就描述了元素间相关的程度； 模糊关系在概念上是一般关系的推广,而一般关系 就是模糊关系的特例；一、模糊关系名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆（一）关系、关系矩阵定义

27、2：给定两个非空的一般集合 X、Y,由全体 x, y x X , y Y 组成的集合,叫做 X与 Y的直积,记做 X Y,又被称做笛卡尔积,又叫直集；其定义为X Y = x , y | x X , y Y,（3-13 ）例 3-5 设 X a , b,Y ,1 2 3,试求 X Y 和 Y X；解：X Y = a 1, , a , 2 , a 3, , b 1, , b , 2 , b 3,；Y X = ,1 a , ,2 a , ,3 a , ,1 b , ,2 b , ,3 b；留意：通常 X Y Y X,直积是由序偶对构成的集合；定义 3：给定两个非空的经典集合 X、Y,它们的直积 X

28、Y 的一个子集 R 称为 X 到 Y 的一个二元关系,简称关系；记做 R X Y；留意： X、Y 的直积 X Y 中包含了全体 x, y x X , y Y,而直积中的一个子集,即关系就包含了符合关系要求的 x, y 序偶对；如 x, y R ,就记做 xRy ,如 x, y R ,就记做 x R y；因此,关系 R 的特征函数为如XYCRx ,y0 ,x ,yR；,1x ,yR,就称 R 是 X 中的关系；当集合 X、Y 都是有限集合时,关系R 也可用矩阵来表示,称做关系矩阵；设Xx 1,x 2,x m,Yy 1,y2,yn,就 R可表示为Y的关系 R ；例 3-6 已知XRijrmn,其中

29、r ijCRxi,yj；Y,1,2,3,45,试确定XY中的X解：此题有两种解法：（1）用属于关系 R 的元素组成的集合来表示R =1,2,1,3,32 0 ,1,4 0,0 4 , 2 0 ,4 0 3,1,5,5 2,5 3,5 , 4（2） 用关系矩阵来表示10000yjR；R =11000,1110011110,1x iyj或x i,其中,关系矩阵中的元素：rij0 ,x iyj或x i,yjR（二）模糊关系、模糊关系矩阵一般二元关系是用简洁的“ 有” 或“ 无” 来衡量事物间的关系,因此无法用来衡量事物间有关系的程度； 模糊关系就是一般关系的推广, 它是指多个模糊集名师归纳总结 -

30、- - - - - -第 11 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆合的元素间所具有关系的程度；XY的一个模糊子集 R称为定义 4：给定两个非空集合 X、Y,它们的直积X 到 Y 的一个模糊二元关系； 序偶 x, y 的隶属度为 R x , y,取值区间为 0,1,它的大小反映了 x, y 具有模糊关系 R的程度；如 X Y,就称 R为 X 中的模糊关系；如集合 X、Y 分别为由 m,n 个元素组成,就模糊关系 R可用矩阵来表示,称之为模糊关系矩阵或模糊矩阵,其表达如下：r 11 r 12 r 1 n表 3-3 身高与体重接近标准关系的程

31、度 r 21 r 22 r 2 nR X Y r ij m n Kg 35 45 55 65 75 r m 1 r m 2 r mn m 1.4 1.0 0.7 0.2 0.1 0.0 r ij R x i , y j , i ,1 ,2 , m ; j ,1 2 , , n ；1.5 0.7 1.0 0.7 0.2 0.1 例 3-7 设 人 的 身 高 论 域 是 1.6 0.2 0.7 1.0 0.7 0.2 X 1 . ,4 1 . ,5 1 6. , 1 7. , 1 . 8（单位： m）,体 1.7 0.1 0.2 0.7 1.0 0.7 重论域是 Y 35 , 45 , 5 ,5

32、 6 ,5 7 5（单位：1.8 0.0 0.1 0.2 0.7 1.0 Kg）,表 3-3 给出了某地区男子 “ 身高与体重接近标准程度”的情形；我们用 R X Y表示其模糊关系,请用模糊关系矩阵来表示；解：1.007.j0.20.10 .0YR XY0.710.07.0 .20 .10.207.1.00 .70 .201.02.07.1 .00 .70.00.10.20 .71 .0其中rij R XYx i,yj表示元素x , iy隶属于关系R XY的程度；例 3-8 设集合X,1,57,YR；,15 ,7 ,9,试确定集合 X 中的元素比集合中的元素小得多的模糊关系解：用序偶的形式可表

33、示如下：R =0 + 1,105.+0.75+10.+0+0+0 .1+02.+0+0+0+0 .1；,15,179,11,555,5759,71,75,77,7 ,9（三）模糊关系的性质名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆1 自反性 定义 5：设 R是 X 中的模糊关系, 如对于xX,必有 Rx ,x1,就称 R是具有自反性的模糊关系；其对应的模糊矩阵中的对角线元素为 1；2 对称性定 义 6： 设 R是 X 中 的 模 糊 关 系 , 如 对 于 x X,y X, 均 有R x , y

34、 R y , x,就称 R是具有对称性的模糊关系；其对应的模糊矩阵中r ij r ji i , j ,1 ,2 , n；例 3-9 设 X 中的模糊关系 R 、R 用矩阵表示如下1 0 . 2 0 . 4 0 . 8 0 . 2 0 . 4R = 0 2. 1 0 . 6,R = 0 . 2 0 7. 0 1.；0 4. 0 . 6 1 0 . 4 0 1. 0 . 5请依据自反性、对称性定义,判定 1R 、R 具有的性质；解：由模糊矩阵 1R 对角线上元素唯独和对称元素相等,可知模糊关系 R 具有自反性和对称性；而模糊矩阵 R 对称元素相等,可知 R 只具有对称性；3 传递性定 义 7 ：

35、设 R是 X 中 的 模 糊 关 系 , 如 对 于 x , y , z X, 均 有R x , z y R x , y R y , z 成立,就称 R是具有传递性的模糊关系；其对应的模糊矩阵中nr ij k 1 r ik r kj i , j ,1 2 , , n；如关系 R具有自反性和对称性,就称 R为论域 X 上的 模糊相像关系 ；如关系 R具有自反性、对称性和传递性,就称 R为论域 X 上的 模糊等价关系；二、模糊关系运算当论域有限时, 模糊矩阵可用于表示模糊关系, 模糊矩阵为模糊关系的运算带来了便利,它已成为模糊关系运算的主要工具；S =设 模 糊 矩 阵 R、 S是XY上 的 模 糊 关 系 , R=ijrmn,2 ,n ijsmni,12,