2022年实变函数期中考试试题预测.docx

《2022年实变函数期中考试试题预测.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年实变函数期中考试试题预测.docx（12页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 实变函数期中考试试题猜测一、填空题1 点集 E 的外测度定义为 m E . 12如 B R ,就 B 的基数为 . 3如 A N ,就称 A 为 . 4 n 维欧几里得空间 R 的基数为 n5设 A, B 是两个非空点集,A, B 的距离定义为 d A , B 6点集 E 的外测度定义为 m E7假如 就称 E 是自密集,假如 就称 E 是开集,假如 E E 就称 E是,E E E 称为 E 的 . 8设集合 G 可表示为一列开集 G i 之交集：G G i,就 G 称为 . i 1如集合 F 可表示为一列闭集 iF 之并集：F iF,就 F

2、称为 . i 119如 B R ,就 B 的基数为10 如 A N ,就 A 为11 点集 E 的聚点全体所成之集称为 _ *12 点集 E 的外测度 m E = 2. 以下集合的基数为 C （连续基数）的是_ 13 、 C A C B A A B _ o14 、设 E 是 0,1 上有理点全体,就 E =_, E =_, E =_. 15 、设 E 是 R 中点集, 假如对任一点集 nT 都有 _ ,就称 E 是 L 可测的名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 16 、设A n1,21,n1,2,就lim nA n_；

3、nn17 、设 P 为 Cantor 集,就PS, mP_,o P =_ ；18 、设iS是一列可测集,就mi1_mS ii119 、设集合 NM ,就MMN_ 20 、设 P 为 Cantor 集,就P, mP_,o P =_ ；21 设 E 是R 中点集,假如对任一点集 nT 都有 _ ,就称 E 是 L 可测的22.设 A 2 m 1 ,0m 1, A 2 m ,0 m , m 1 , 2 , , 就 limn A n _ _. 23. 欲使 自然数全体 正奇数全体 ,只须令映射 n _,这里 n 为自然数；n24. 设 E R,就 E 是紧集 _ _. 025.设 Q 是有理数集 ,

4、E 0 1, Q,就 E _,E _ _, E _126. 依据开集构造定理可知：R 上任一非空开集可以唯独地表示成 _；027.设 P 为 Cantor 集,就 P _,P _, mP _ _. n28.设 E R , L 外测度定义为 _n29. 设 E R 可测,就存在一个 G 型集 G E,使得 _ 30. E f n _,E f a 1_. n 1 n 1 n31 如 A N ,就称 A为 . 132 如 B R ,就 B 的基数为 . 33 点集 E 的极限点的全体所成之集称为 . 34 点集 E 的外测度定义为 m E . 二、 挑选题名师归纳总结 - - - - - - -第

5、2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1以下集合基数为C连续基数 的是A.有理数集 Q B.正整数集 NC.区间 0,1 D.有理系数多项式全体2 以下命题或表达式正确选项A. bb B. 2 2C.对于任意集合A , B ,有AB或BAD. 3 以下命题不正确选项A.如点集 B 是无界集 ,就m*BB. 如点集 E 是有界集 ,就m*EC.开集 ,闭集都是可测集 5以下命题不正确选项D. 康托集 P 的测度为零A.外测度为零的集是可测集B. F 型集, G 型集都是可测集C. Borel集都是可测集D. 可测集都是Borel 集6以下命题不正确选项A如点集 A

6、是无界集,就m*AB如点集 E 是有界集,就m*EC可数点集的外测度为零7以下命题不正确选项D康托集 P 的测度为零名师归纳总结 A开集、闭集都是可测集B可测集都是Borel 集第 3 页,共 7 页C外测度为零的集是可测集D F 型集, G型集都是可测集8以下集合基数为a （可数集）的是A康托集 PB01, C设ARn,Axx 1,x 2,xn|x i是整数,i1 ,2 ,n D区间01,中的无理数全体E.有理数集F.正整数集G. 有理系数多项式全体9以下集合的基数为a可数基数 的是 _ A.区间（ 0,1）B. 实数集1 R- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

7、 - - C. 2 R 中坐标为整数的点全体D. 正整数 N的全部子集构成的集合10 以下命题不正确选项_ B. F 型集, G 型集都是可测集C. 可测A. 开集、闭集都是可测集集都是 Borel 集D. 外测度为零的集是可测集11 以下命题或表达式正确选项A. a a B. 22C. D 对于任意集合A, B ,有AB或BA. 12.以下各式正确选项（）P（A）lim nA nn1k nA ; （B）lim nA nn1knA ; （C）lim nA nn1k nA ; （D）lim nA nn1k nA ; 13 、设 P 为 Cantor 集,就以下各式不成立的是（）（ A） Pc B

8、 mP0C PPD P14 、以下说法不正确选项（）A 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测C 开集和闭集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可测15 设 M N 是两集合,就 M M N =（）A M B N C M N D 16. 以下说法不正确选项 A 0P 的任一领域内都有 E 中无穷多个点,就 P 是 E 的聚点B 0P 的任一领域内至少有一个 E 中异于 P 的点,就 P 是 E 的聚点C 存在 E 中点列 P n,使 nP P ,就 P 是 E 的聚点D 内点必是聚点17. 以下断言 是正确的；（A）任意个开集的交是开集；B 任意个闭集的交是闭集；名师归纳总结 - - -

9、 - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - C 任意个闭集的并是闭集；D 以上都不对；18. 以下断言中 是错误的；（A）零测集是可测集；（C）任意个零测集的并是零测集；（B）可数个零测集的并是零测集；D）零测集的任意子集是可测集；19 、设A n1,2n 1 ,n1,2,就（）nA lim nA n0, 1（B）lim nA n0, 1C lim nA n0, 3（D） lim nA n0, 320 、设 E 是 0,1 上有理点全体,就以下各式不成立的是（）（ A）E0,1B o EC E =0 ,1 D mE121 、以下说法不正确选项（）A

10、如AB,就m*Am*B（B） 有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集C 可测集的任何子集都可测（D）凡开集、闭集皆可测22 、设En是一列可测集,E1E2En,且mE 1,就有（A）mn1Enlim nmEnB mn1Enlim nmEn（C）mn1Enlim nmEn;（D）以上都不对、23 设 P 为 Cantor 集,就（ A） P 0 B mP 1 C P P D P P24. 以下说法不正确选项 A 0P 的任一领域内都有 E 中无穷多个点,就 P 是 E 的聚点B 0P 的任一领域内至少有一个 E 中异于 P 的点,就 P 是 E 的聚点C 存在 E 中点列 P n,使 nP P

11、 ,就 P 是 E 的聚点D 内点必是聚点名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 25.设f x 在 E 上 L 可积 ,就下面不成立的是 26. 设Afx在 E 上可测Bfx在 E 上 a.e. 有限）；Cfx 在 E 上有界Dfx 在 E 上 L 可积En是一列可测集,E 1E2En,就有（A）mn1Enlim nmEnB mn1Enlim nmE n（C）mn1Enlim nmE ;（D）以上都不对三、判定题（判定正确、错误,请在括号中填“ ” 或“ ”）1.设 E = n 2, 就集合 E = x x 2 , L

12、, x n , L | x i . E i , i 1,2, L 是可数集合 . 2.Cantor 集是 0,1 中稠密的完备集合 . 3.设 E 是可测集,如对任何有理数 ,r x . E | f r 可测,就 f 在 E 上可测 . p + q p q4.如 E . 是可测集,就对任何 x . . , E x 是 . 上的可测集合 . 四、以下命题是否成立 .如成立 ,就证明之 ;如不成立 ,就举反例说明 . 1如 A B B A ,就肯定有 A B 吗？为什么？2无穷多个闭集的并集肯定是闭集吗？为什么？3如mA0,那么对任意的点集B 肯定有mABmB吗？为什么？4如mE0,就肯定有m E

13、0吗？为什么？5如 A 是无界集,就肯定有mA0吗？为什么？6无穷多个开集的交集肯定是开集吗？为什么？7、如mE0,就 E 肯定是可数集 . 0,1和01,之间 1 1对应的映射；8、由于0,10,10,1 ,故不存在使9、可数个零测度集之和集仍为零测度集；10.设0,开集GE,使m * GE,就 E 是可测集；11 、任意多个开集之交集仍为开集；名师归纳总结 12 、如mE0,就 E 肯定是可数集 . 第 6 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 13.设f x 是,上的实值连续函数,就对任意常数c,Ex|fxc 是一开集 . 五、证明题一

14、、（15 分）设A,BRn, A是可测集,且mB,f0 ,存在开集G 与闭集 F ,满意证明mABmAmBmAB二、证明康托集P 的测度为零 . 三、设ER,证明 E 为可测集的充要条件是：对任意的FEG,且m GFx,y在 E 上不行积；（总分 10 分）四、证明：R 中的可数点集的外测度为零；1五、设fx,y x2y22定义在E01, 01, 上,证明x2y2六、证明0,1 上的全体无理数作成的集其势为c . 七、（6 分）试证 0,1 0,1八、 Bernstein 关于两集合对等的定理. EiAS ii1 ,2,n,mAB九、1中开集的构造定理. 十、证明：n R 中任意闭集都可以表示成可数个开集的交；十一、设S 1,S2,S n是Rq中一些互不相交的可测集,而nnmB mAmB应用卡氏定义证明: m*Eim*E i. i1i1十二、设A,BRn, A是可测集,且mB,证明六、解答以下问题： （每道题10 分,共 40 分）1如ABBA,就肯定有 A B 吗？为什么？2无穷多个闭集的并集肯定是闭集吗？为什么？名师归纳总结 3如mA0,那么对任意的点集B 肯定有mABmB吗？为什么？第 7 页,共 7 页4如mE0,就肯定有m E0吗？为什么？- - - - - - -