2022年椭圆重点知识点复习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点圆锥曲线学问网络椭圆定义标准方程圆锥曲线双曲定义几何性质应用标准方程抛物定义几何性质应用标准方程几何性质应用相切直线与圆锥曲线位置关系相交圆锥曲线的弦相离第 1 讲 椭圆学问梳理1. 椭圆定义：（1）第肯定义：平面内与两个定点 F、F 2 的距离之和为常数 2 a 2 a | F 2F 2 | 的动点 P 的轨迹叫椭圆 ,其中两个定点 F 、F 2 叫椭圆的焦点 . 当 PF 1 PF 2 2 a F 1 F 2 时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当 PF 1 PF 2 2 a F 1 F 2 时, P 的轨迹不存在 ; 当

2、PF 1 PF 2 2 a F 1 F 2 时, P的轨迹为 以 F 、F 2 为端点的线段（ 2）椭圆的其次定义 :平面内到定点 F 与定直线l定点 F 不在定直线l上的距离之比是常数 e 0 e 1 的点的轨迹为椭圆（利用其次定义 ,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 2.椭圆的方程与几何性质 : 名师归纳总结 标准方程x2y21 ab0y2x21 ab0 第 1 页,共 5 页a2b2a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 性名师总结优秀学问点b,0, b,0参数关系a2b2c2质焦点c , 0 ,c ,0 0,c,

3、 0 ,c焦距2 c范畴|x|a|,y|b|y|a|,x|b顶点a0,a ,0 ,0 ,b,0 ,b0,a,0,a,对称性关于 x 轴、 y 轴和原点对称离心率ec0 1,a准线xa2ya2ccPx 0y 0与椭圆x2y21 ab0的位置关系 : 3.点a2b2y21时,点 P 在椭圆上 ; x2y21时,点 P 在椭圆外 ; 当x2y21时,点 P 在椭圆内 ; 当x2当a2b2a2b2a2b24.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0;直线与椭圆相切0 ;直线与椭圆相离0重难点突破重点 :把握椭圆的定义标准方程,会用定义法和待定系数法、坐标转移法、求椭圆的标准方程,能通过方程 讨论椭圆的几何

4、性质及其应用难点 :椭圆的几何元素与参数a,b,c的转换,用代数方法讨论椭圆的性质,把握几何元素转换成参数a,b,c重难点 :运用数形结合,环绕“ 焦点三角形”的关系 1.要有用定义的意识问题 1 已知F 、F2为椭圆x2y21的两个焦点, 过F 的直线交椭圆于A、B 两点如F 2AF 2B12,259就AB=_ ；解析 ABF 的周长为4a20,AB =8 2.求标准方程要留意焦点的定位名师归纳总结 问题 2 椭圆x2y21的离心率为1,就m3；第 2 页,共 5 页4m24m1 2m解析 当焦点在x 轴上时,2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当焦

5、点在y 轴上时,m41m名师总结优秀学问点16m23,综上m16或 3 3热点考点题型探析考点 1 椭圆定义及标准方程题型 1:椭圆定义的运用例 1 湖北部分重点中学 2022 届高三联考 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点动身的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点 A 、B 是它的焦点,长轴长为 2a,焦距为 2c,静放在点 A 的小球（小球的半径不计）,从点 A 沿直线动身,经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是A 4a B2ac C2a+c D以上答案均有可能C A yOP B D 解析 按小球的运行路径分三种情形: 1A

6、CA,此时小球经过的路程为2ac; 2ABDBA, 此时小球经过的路程为2a+c; Q x3APBQA此时小球经过的路程为4a,应选 D 【名师指引】考虑小球的运行路径要全面题型 2 求椭圆的标准方程例 2 设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离为424,求此椭圆方程. y21. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数a ,b ,c的式子“ 描述” 出来解析 设椭圆的方程为x2y21或x2y21 ab0,a2b2b2a2bcac421 就,a2b2c2解之得：a42,b=c4.就所求的椭圆的方程为x2y21或x216323216【名

7、师指引】精确把握图形特点,正确转化出参数a,b,c的数量关系警示易漏焦点在y 轴上的情形考点 2 椭圆的几何性质题型 1:求椭圆的离心率（或范畴）名师归纳总结 例 3 在ABC中,A0 30|,AB|,2SABC3如以A,B为焦点的椭圆经过点C ,就该椭圆的离心率e第 3 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点【解题思路】由条件知三角形可解,然后用定义即可求出离心率解析 S ABC1|AB|AC|sinAAC3,|AB|AC|cosA22| AC|23,|BC|2|AB| 2| 2231e|AB|AC|BC2322【名师指

8、引】 （1）离心率是刻画椭圆“ 圆扁” 程度的量,打算了椭圆的外形；反之,外形确定,离心率也 随之确定（2）只要列出a、b、c的齐次关系式,就能求出离心率（或范畴）（3）“ 焦点三角形” 应赐予足够关注 题型 2:椭圆的其他几何性质的运用（范畴、对称性等）例 4 已知实数x,y满意x2y21,求x23y2x的最大值与最小值6 42【解题思路】把x2y2x看作x的函数,x,22 x2y21得y221x2, 解析 由42221x202x22x21x12x2y2x1x2222当x1时,x2y232时 ,x2y2x取得最大值x取得最小值2,当x【名师指引】留意曲线的范畴,才能在求最值时不出差错 考点

9、3 椭圆的最值问题 题型 : 动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值例 5 椭圆x2y21上的点到直线l:xy90的距离的最小值为_169【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数 解析 在椭圆上任取一点P,设 P4cos3,sin. 那么点 P 到直线 l 的距离为：x 的函数,关键是要具|4cos3 sin12|2|5sin9|22.2 12 12【名师指引】也可以直接设点Px,y,用x表示y后,把动点到直线的距离表示为有“ 函数思想”考点 4 椭圆的综合应用 题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - -

10、- - - - - - - 名师总结 优秀学问点例 6 已知椭圆C 的中心为坐标原点 O,一个长轴端点为 0 ,1 ,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,直线l与 y 轴交于点 P（0,m）,与椭圆 C 交于相异两点 A 、B,且 AP 3 PB（1）求椭圆方程；（2）求 m 的取值范畴【解题思路】 通过AP3PB,沟通 A 、B 两点的坐标关系,再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式解析 （1）由题意可知椭圆C 为焦点在y轴上的椭圆,可设C:y22x21 ab0a22 b由条件知a1且bc ,又有a2b22 c ,解得a1 ,bc2故椭圆C的离心率为ec2,其标准方程为：y2x2

11、11a22（2）设 l 与椭圆 C 交点为 A（x1,y1）,B（x2,y2）ykxm 2x2y21得（ k22） x22kmx （ m21） 0 （ 2km）2 4（k2 2）（m2 1） 4（k22m2 2）0 （* ）x1x22km k22, x1x2 m21）2 4m21 0 k2 2 AP 3 PB x13x2 x1 x2 2x2x1x2 3x22消去 x2,得 3（x1x2）24x1x2 0, 3（2km k22整理得 4k2m2 2m2k220m21 4 时,上式不成立；m214 时, k222m24m21,因 3 k 0 k22 2m2 4m210, 1m 12或 12m2m2 2 成立,所以（ * ）成立即所求 m 的取值范畴为（1,1 2）（ 1 2,1）【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一,应充分重视向量的功能名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页