2022年高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载圆锥曲线1. 圆锥曲线的两定义：椭圆中 ,与两个定点F 1,F 2 的距离的和等于常数2a ,第肯定义 中要 重视“ 括号” 内的限制条件且此 常数 2a 肯定要大于F 1F2,当常数等于F 1F 2时,轨迹是线段F 1 F 2,当常数小于F 1F2时,无轨迹；双曲线中 ,与两定点 F 1,F 2 的距离的差的肯定值等于常数2a,且此常数2a肯定要小于 | F1 F 2| ,定义中的 “ 肯定值” 与 2a |F 1 F 2 | 不行忽视 ；如 2a |F 1 F 2 | ,就轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点的两条射线,如

2、2a |F 1 F2 | ,就轨迹不存在；如去掉定义中的肯定值就轨迹仅表示双曲线的一支；如 方程 x 6 2y 2 x 6 2y 28 表示的曲线是 _（答：双曲线的左支）2. 圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：2 2 2 2（1）椭圆 ：焦点在 x 轴上时 x2 y2 1（a b 0）,焦点在 y 轴上时 y2 x21（a b 0）；a b a b2 2方程 Ax By C 表示椭圆的充要条件是什么？（ABC 0,且 A,B,C 同号, A B）；如 x, y R,且 3 x 22 y 26,就 x y 的最大值是 _,x 2y 2的最小

3、值是 _（答：5,2 ）2 2 2 2（2）双曲线 ：焦点在 x 轴上：x2 y2 =1 ,焦点在 y 轴上：y2 x2 1（a 0, b 0）；方程a b a b2 2Ax By C 表示双曲线的充要条件是什么？（ABC 0,且 A,B 异号）；如 设中心在坐标原点 O ,焦点 F 、F 在坐标轴上,离心率 e 2 的双曲线 C 过点 P ,4 10 ,2 2就 C 的方程为 _（答：x y 6）2 2（ 3 ） 抛物线 ：开口向右时 y 2 px p 0,开口向左时 y 2 px p 0,开口向上时2 2x 2 py p 0,开口向下时 x 2 py p 0；3. 圆锥曲线焦点位置的判定（

4、第一化成标准方程,然后再判定）：（1）椭圆 ：由 x 2 , y 2 分母的大小打算,焦点在分母大的坐标轴上；2 2如 已知方程 x y 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,就 m 的取值范畴是 _ （答：m 1 2 m3 , 1 ,1 ）2（2）双曲线 ：由 x 2 , y 2 项系数的正负打算,焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线 ：焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号打算开口方向；2 2 2 2 2 2提示 ：在椭圆中,a 最大,a b c ,在双曲线中,c 最大,c a b ；4. 圆锥曲线的几何性质：2 2（1）椭圆 （以 x2 y2 1（a b 0）为例）： 范畴 ：a x a ,

5、b y b ； 焦点 ：两a b个焦点 c ,0；对称性 ：两条对称轴 x 0, y 0,一个对称中心 （0,0 ）,四个顶点 a ,0,0, b ,2其中长轴长为 2a ,短轴长为 2b ；准线 ：两条准线 x a； 离心率 ：e c,椭圆 0 e 1,c ae越小,椭圆越圆；e越大,椭圆越扁；如（ 1）如椭圆 x y 1 的离心率 e 10,就 m 的值是 _（答： 3 或 25 ）；2 25 m 5 3名师归纳总结 第 1 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为

6、 1 时,就椭圆长轴的最小值为_（答：2 2）（2）双曲线 （以a x 22 b y2 21（a 0, b 0）为例）： 范畴 ： x a 或 x a y R ； 焦点 ：两个焦点 c ,0； 对称性 ：两条对称轴 x 0, y 0,一个对称中心（0,0 ）,两个顶点 a ,0,其中实轴长为 2a ,虚轴长为 2b ,特殊地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为2x 2 y 2 k k 0； 准线 ：两条准线 x a； 离心率：e c,双曲线 e 1,等轴双曲线c abe 2, e越小,开口越小,e越大,开口越大； 两条渐近线 ：y x；a（3）抛物线 （以 y 22 px p

7、 0 为例）： 范畴 ：x 0, y R ；焦点：一个焦点 p,0,其中 p2的几何意义是： 焦点到准线的距离；对称性 ：一条对称轴 y 0,没有对称中心, 只有一个顶点 （0,0）；p c准线 ：一条准线 x； 离心率 ：e,抛物线 e 1；2 a如设 a 0 , a R,就抛物线 y 4ax 2的焦点坐标为 _（答： ,0 1 ）；16 a2 2 2 25、点 P x 0 , y 0 和椭圆 x2 y2 1（a b 0）的关系 ：（1）点 P x 0 , y 0 在椭圆外 x 02 y 02 1；a b a b2 2 2 2（2）点 P x 0 , y 0 在椭圆上 x 02 y 021；

8、（3）点 P x 0 , y 0 在椭圆内 x 02 y 02 1a b a b6直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交 ：0 直线与椭圆相交；0 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有 0,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故 0是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件；0 直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不肯定有 0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故 0也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件；（2）相切：0 直线与椭圆相切；0 直线与双曲线相切；0 直线与抛物线相切；（3）相离 ：0 直线与椭圆相离；0 直线

9、与双曲线相离；0 直线与抛物线相离；提示 ：（1） 直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交；假如直线与双曲线的渐近线平行时 ,直线与双曲线相交 ,但只有一个交点； 假如直线与抛物线的轴平行时 ,直线2 2与抛物线相交 ,也只有一个交点； （2）过双曲线 x2 y21 外一点 P x 0 , y 0 的直线与双曲线只有一个a b公共点的情形如下： P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条；P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条；

10、 P 在两条渐近线上但非原点,只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线； P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线；名师归纳总结 7、焦点三角形 （椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 ：Sb2tan2c y0|,第 2 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载当|y0|b 即 P 为短轴端点时,Sm ax的最大值为bc；对于双曲线Sb2； 如（1）短轴长为5 ,tan 2：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（ 2）设8

11、、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质AB为焦点弦, M 为准线与 x 轴的交点,就AMF BMF；（3）设 AB为焦点弦, A、B在准线上的射影分别为 A1 ,B1 ,如 P 为 A1 B1的中点,就 PA PB；（4）如 AO的延长线交准线于 C,就 BC平行于 x 轴,反之,如过 B点平行于 x 轴的直线交准线于 C点,就 A,O,C三点共线；9、弦长公式 ：如直线 y kx b 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 x 1 , x 分别为 A 、B 的横坐标, 就 AB1 k 2 x 1 x 2,如 y 1 , y 分别为 A、B 的纵坐标,就 AB 1k 12 y 1 y 2,如弦

12、AB 所在直线方程设为 x ky b,就 AB 1 k 2y 1 y 2；特殊地,焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式运算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用其次定义求解；抛物线：10、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“ 韦达定理” 或“ 点差法”求解；在椭圆x2y21中,以P x 0,y0为中点的弦所在直线的斜率k=b2x0；b2x 0； 在 抛 物 线a2b2a2y0弦所在直线的方程：垂直平分线的方程：2在 双 曲 线x2y221中 , 以P x0,y0为 中 点 的 弦 所 在 直 线 的 斜 率k=2abay 0y22px p0中,以P x0,y0为

13、中点的弦所在直线的斜率k=p；对称问题时, 务必别y 0提示 ：由于0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,0 ！故在求解有关弦长、忘了检验11明白以下结论名师归纳总结 （1）双曲线x2y21的渐近线方程为x2y20；第 3 页,共 9 页a2b2a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）以 y ba x 为渐近线（即与双曲线a x 22b y2 21 共渐近线）的双曲线方程为a x 22b y22 为参数, 0）；2 2（3）中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx ny 1；22b（4）椭圆、双曲线的通径（

14、过焦点且垂直于对称轴的弦）为,焦准距（焦点到相应准线的距a2离）为 b,抛物线的通径为 2p ,焦准距为 p；c（5）通径是全部焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）如抛物线 y 22 px p 0 的焦点弦为 AB,A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ,就 | AB | x 1 x 2 p ；2 x x 2 p, y y 2 p 242（7）如 OA、OB是过抛物线 y 2 px p 0 顶点 O的两条相互垂直的弦,就直线 AB恒经过定点2 p ,012、解析几何与向量综合时可能显现的向量内容：（1） 给出直线的方向向量 u ,1 k 或 u m , n；（2）给出 OA O

15、B 与 AB相交 ,等于已知 OA OB 过 AB 的中点 ; （3）给出 PM PN 0 ,等于已知 P 是 MN 的中点 ; （4）给出 AP AQ BP BQ ,等于已知 P, Q 与 AB 的中点三点共线 ; （ 5 ）给 出 以 下 情 形 之 一 ： AB / AC； 存 在 实 数 , 使 AB AC； 如 存 在 实 数, , 且 1, 使 OC OA OB , 等于已知 A , B , C 三点共线 . （6） 给出 MA MB 0 ,等于已知 MA MB ,即 AMB 是直角 ,给出 MA MB m 0 ,等于已知 AMB 是钝角 , 给出 MA MB m 0 ,等于已知

16、AMB 是锐角 , （8）给出 MA MB MP ,等于已知 MP 是 AMB 的平分线 / MA MB（9）在平行四边形 ABCD 中,给出 AB AD AB AD 0,等于已知 ABCD 是菱形 ; （10） 在平行四边形 ABCD 中,给出 | AB AD | | AB AD |,等于已知 ABCD是矩形 ; 2 2 2（11）在 ABC 中,给出 OA OB OC,等于已知 O 是 ABC 的外心（三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12） 在 ABC 中,给出 OA OB OC 0,等于已知 O 是 ABC 的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）

17、；（13）在ABC 中,给出OAOBOBOC|OCOA,等于已知 O 是ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；OAAB|AC|R等于已知 AP 通过ABC 的内（14）在ABC 中,给出OP|ABAC心；（15）在ABC 中,给出aOAbOBcOC,0等于已知 O 是ABC 的内心（三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；第 4 页,共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（16） 在 ABC 中,给出 AD 1AB AC ,等于已知 AD 是 ABC 中 BC 边的中线 ; 2（3

18、）已知 A,B 为抛物线 x 2=2pyp0上异于原点的两点,OA OB 0,点 C 坐标为（ 0, 2p）（1）求证： A,B,C 三点共线；（2）如 AM BM （R）且 OM AB 0 试求点 M 的轨迹方程；（1）证明：设 A x 1 , x 1 2, B x 2 , x 2 2,由 OA OB 0 得2 p 2 p2 2 2 2 2x x 2 x 1 x 2 0, x x 2 4 p 2,又 AC x 1 ,2 p x 1 , AB x 2 x 1 , x 2 x 1 2 p 2 p 2 p 2 p2 2 2x 1 x 2 x 1 2 p x 1 x 2 x 1 0,AC / AB

19、,即 A,B,C 三点共线；2 p 2 p（2）由（ 1）知直线 AB 过定点 C,又由 OM AB 0 及 AM BM （R）知 OM AB,垂足为 M,所以点 M 的轨迹为以 OC 为直径的圆, 除去坐标原点； 即点 M 的轨迹方程为 x 2+ y-p 2=p 2x 0,y 0；13.圆锥曲线中线段的最值问题：例 1、 1 抛物线C:y2=4x 上一点P 到点A3,42 与到准线的距离和最小,就点P 的坐标为_ 2 抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B4,1 与到焦点 F 的距离和最小 ,就点 Q 的坐标为PA QB；分析：（1）A 在抛物线外, 如图, 连 PF,就PHPF,因

20、而易发觉,H当 A、P、F 三点共线时,距离和最小；F（2）B 在抛物线内,如图,作QRl 交于 R,就当 B、Q、R 三点共线时,距离和最小；解：（1）（2,2 ）（2）（1 1,）421、已知椭圆 C1 的方程为 xy 2 1,双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1的左、右顶点,而 C2 的左、右4顶点分别是 C1 的左、右焦点； 1 求双曲线 C2的方程； 2 如直线 l ：y kx 2 与椭圆 C1 及双曲线 C2恒有两个不同的交点,且 l 与 C2 的两个交点 A和 B 满意 OA OB 6 其中 O为原点 ,求 k 的取值范畴；2 2解：（）设双曲线 C2 的方程为 x2 y2 1

21、,就 a 2 4 1 ,3 再由 a 2b 2c 2得 b 2 1 .a b2 2x 2 x 2 2 2故 C2的方程为 y 1.（II ）将 y kx 2 代入 y 1 得 1 4 k x 8 2 kx 4 0 .3 4名师归纳总结 第 5 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载由直线 l 与椭圆 C1恒有两个不同的交点得1 8 2 2k 216 1 4 k 2 16 4 k 21 ,0 即 k 2 1. 42x 2 2 2将 y kx 2 代入 y 1 得 1 3 k x 6 2 kx 9 0 . 由直线 l 与双曲线

22、C2恒有两个不32同的交点 A,B得 12 3 k 6 2 0,2361 3 k 2 361 k 2 0.即 k 2 13 且 k 21.设 A x A , y A , B x B , y B , 就 x A x B 6 2 k2 , x A x B 921 3 k 1 3 k由 OA OB 6 得 x x B y y B 6, 而x x B y y B x x B kx A 2 kx B 22 k 1 x x B 2 k x A x B 22 9 6 2 k k 1 2 2 k 2 21 3 k 1 3 k23 k2 7 .3 k 12 2于是 3 k2 76, 即 15 k2 130. 解

23、此不等式得 k 2 13或 k 2 1. 3 k 1 3 k 1 15 3由、得 1 k 2 1 或 13 k 2 1 .4 3 15故 k 的取值范畴为 1, 13 3, 1 1, 3 13,115 3 2 2 3 15在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A0,-1,B点在直线 y = -3 上,M点满意 MB/OA, MA.AB = MB.BA,M点的轨迹为曲线 C；（）求 C的方程；（） P 为 C上的动点, l 为 C在 P 点处得切线,求 O点到 l 距离的最小值； 设 Mx,y, 由已知得 Bx,-3,A0,-1. 所以 MA =（ -x,-1-y）, MB =0,-3-y, A

24、B =x,-2. 再由情愿得知（MA + MB ）. AB =0, 即（ -x,-4-2y）. x,-2=0. 所以曲线 C的方程式为 y=1 x 2 -2. 设 Px 0 ,y 0为曲线 C： y= 1 x 2 -2 上一点,由于 y = 1 x, 所4 4 2以 l 的斜率为1 x 0 因此直线 l 的方程为 y y 0 1x 0 x x 0 ,即 x x 2 y 2 y 0 x 20；2 2名师归纳总结 第 6 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载就 O点到 l 的距离 d | 2 yx 00 2 x4 0 2| .

25、 又 y 0 14 x 0 22,所以 d 12x x0 02 24 4 12 x 0 24x 0 2 44 2,当 0x =0 时取等号,所以 2O点到 l 距离的最小值为 2. 2 2设双曲线 x2 y2 1（a0,b 0）的渐近线与抛物线 y=x 2 +1 相切,就该双曲线的离心率等于 a b2 2设双曲线 x2 y2 1 的一条渐近线,就双曲线的离心率为 .a b2 2x y过 椭 圆 2 2 1 a b 0 的 左 焦 点 F 作 x 轴 的 垂 线 交 椭 圆 于 点 P ,F 2 为 右 焦 点 , 如a bF PF 2 60,就椭圆的离心率为2 2已知双曲线 x y2 1 b

26、0 的左、右焦点分别是 F 、F 2,其一条渐近线方程为 y x,点2 bP 3 , y 0 在双曲线上 .就 PF 1 PF 0 22已 知 直 线 y k x 2 k 0 与 抛 物 线 C : y 8 x 相 交 于 A、B 两 点 , F 为 C 的 焦 点 , 如| FA | 2 | FB |,就 k 2已知直线 l 1: 4 x 3 y 6 0 和直线 l 2: x 1,抛物线 y 4 x 上一动点 P 到直线 1l 和直线 2l 的距离之和的最小值是（）设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F1,0,直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点；如 AB 的中点为（ 2,2

27、）,就直线 l 的方程为 _. 2 2椭圆 x y1 的焦点为 F F ,点 P 在椭圆上,如 | PF 1 | 4,就 | PF 2 |；F PF 的大9 2小为 .2过抛物线 y 2 px p 0 的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线交抛物线于 A、B 两点,如线段 AB 的长为8,就 p _名师归纳总结 第 7 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【 解 析 】 设 切 点 P x 0 , y 0 , 就 切 线 的 斜 率 为 y | x x 0 2 x 0 . 由 题 意 有 yx 00 2 x 0 又 y 0

28、x 0 21 解 得 : 2 b b 2x 0 1, 2, e 1 5a a双曲线 x 22 y2 21 的一条渐近线为 y b x ,由方程组 y ba x,消去 y,得 x 2 bx 1 0 有唯独解 ,所以a b a y x 21 a2 2= b 24 0 ,所以 b2 , e c a b 1 b 25a a a a a由渐近线方程为 y x 知双曲线是等轴双曲线,双曲线方程是 x 2y 2 2,于是两焦点坐标分别是（2,0）和（ 2 , 0 ）, 且 P 3 1, 或 P 3 , 1 . 不 妨 去 P 3 1, , 就PF 1 2 3 , 1,PF 2 2 3 , 1 . PF 1P

29、F 2 2 3 , 1 2 3 , 1 2 3 2 3 1 02【 解析 】设抛物线 C : y 8 x 的准线为 l x 2 直线y k x 2 k 0 恒过定点 P 2,0 .如图过 A、B 分 别作AM l 于 M , BN l 于 N , 由 | FA | 2 | FB | , 就| AM | 2 | BN | ,点 B 为 AP 的中点 .连结 OB ,就 | OB | 1| AF | , 2| OB | | BF | 点 B 的横坐标为 1, 故点 B 的坐标为2 2 0 2 21,2 2 k , 应选 D 1 2 32y 1 4 x 1A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 , 就有 x 1 x 2,2y 2 4 x 2两式相减得,y 1 2y 2 24 x 1 x 2,y 1 y 2 41x 1 x 2 y 1 y 2直线 l 的方程为 y-2=x-2, 即y=x名师归纳总结 第 8 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 9 页,共 9 页- - - - - - -