2022年高三数列复习例题总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数列理科判定（是否）并证明,反证法和数学归纳法【北京市东城区2022-2022 学年度其次学期高三综合练习II-数学理科】（20） 本小题共 14 分 对于数列 a n n 1, 2 , , m ,令 b 为 1a,a ,a 中的最大值, 称数列 b n为 a n 的“ 创新数列”. 例如数列 2 , 1, 3 , 7 , 5 的创新数列为 2 , 2 , 3, 7 , 7 . 定义数列 nc：c c 2 , c 3 , , c m 是自然数 1, 2 , 3,m m 3 的一个排列 . （）当 m 5 时,写出创新数列为 3

2、, 4 , 4, 5, 5 的全部数列 c n；（）是否存在数列 nc,使它的创新数列为等差数列？如存在,求出全部的数列 nc,如不存在,请说明理由 . 解：（）由题意,创新数列为 3 , 4 , 4, 5, 5的全部数列 c n 有两个,即：数列 3, 4 , 1, 5, 2；名师归纳总结 数列 3, 4 , 2 , 5, 1. 4 分第 1 页,共 25 页（）存在数列nc,使它的创新数列为等差数列. 数列nc的创新数列为e nn1,2,3,m ,由于e 是c c2,c m中的最大值,所以e mm . 由题意知,ke 为c c2,c 中最大值,ke1为c c2,c ck1中的最大值,所以e

3、 ke k1,且ke1,2,m . 如ne为等差数列,设其公差为d ,就de k1e k0 且 dN ,当d0时,ne为常数列,又e mm ,所以数列ne为 m , m , m . 此时数列nc是首项为 m 的任意一个符合条件的数列； 8 分当d1时,由于e mm ,所以数列ne为 1, 2 , 3, m . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 此时数列nc学习必备欢迎下载 10 分为1, 2 , 3, m ；当 d 2 时,由于 e m e 1 m 1 d e 1 m 1 2 2 m 2 e 1,又 m 3,e 1 0,所以 e m m ,这与 e m

4、 m 冲突,所以此时 e n 不存在,即不存在 nc 使得它的创新数列为公差 d 2 的等差数列 . 13 分综上,当数列 nc 为以 m 为首项的任意一个符合条件的数列或 c n 为数列 1,2 ,3, m 时,它的创新数列为等差数列 . 14 分【北京 2022 年高考理科数学模拟试题一】（20）（本小题共14 分）n1 anna2 对任意n* N 都成立 . 在单调递增数列an中,a12,不等式（）求a 的取值范畴；1,（）判定数列an能否为等比数列？说明理由；（）设b n1 11111,nc6 122n2n求证：对任意的n* N ,b ncn0. an12【解析】（）解：由于an是单调

5、递增数列,4, 4 分所以a2a1,a22. 令n1,2a 1a ,a2所以a22,4. . （）证明：数列an不能为等比数列用反证法证明：名师归纳总结 假设数列a n是公比为 q 的等比数列,a1020,an2 qn1. 第 2 页,共 25 页由于an单调递增,所以q1. n时,qn2. * N ,n1 anna2 都成立 . 由于n* N ,11qn所以nn由于q1,所以n0* N ,使得当n由于112nN*. n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以n 0学习必备0欢迎下载11,与冲突,故假设不成立. * N ,当nn时,qnn（）证明：观看：

6、bnb 1c nc 13,b 215c29,3b135 9 分3c21, ,猜42324想：. 用数学归纳法证明：（1）当n1时,1b3kc1k3成立；（2）假设当 nk时,bc成立；当时,名师归纳总结 bk1b k 1211ck1211611 12110. 第 3 页,共 25 页kk2kk6121112116 111211k2k2k2k2k6 1211k所以b k1ck1. 依据（ 1）（2）可知,对任意n* N ,都有bncn,即bncn由已知得,a2n11an. n所以a2 n111a 2n1 1211 11 11 a 1. 2nn214 分所以当n2时,a 2n2 n12 cn112

7、 121112. n由于a2a 412. 所以对任意 n* N ,a2n12. 对任意 n* N ,存在 m* N ,使得n2m,由于数列 a 单调递增,所以ana 2m12,an120. 由于b ncn0,所以b nc n0. a n12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【北京 2022 年高考理科数学模拟试题二】20. 本小题满分13 分 2 5,且对任意 nN ,都有a n14a n2已知数列a n满意a 1a na n12 ）求证：数列1 a n为等差数列；是否仍是a n中的项？假如是,请指出是数a ka k1kN ）试问数列

8、a n中列的第几项；假如不是,请说明理由（）令b n215,证明：对任意nN*,都有不等式2b nb n2成立 . 3a n【解析】解: （）a an12an34a an12a n1,即2 an2 an13 a an1, 1 分所以 . 211,a n1a n2分名师归纳总结 所以数列1是以5 2为首项,公差为3的等差数列,所以an22 3 分第 4 页,共 25 页a n2（II ）由（）可得数列1的通项公式为13 n2 4 分a na n23 na ka k122 3k229 k24103 k121 k2是正整数 .5 分9 k226233 k2222 7 分21 k7 k22 8 分由于

9、3k27k2k23k1k k1,22当 kN 时,k k1肯定是正整数,所以3k27k22 也可以从 k 的奇偶性来分析 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以akak1是数列a n学习必备3 k2欢迎下载2项 9 分中的项,是第7 k2 证明：由（ 2）知：a n322,b n2152 3 3n25n4 .10分3an2n2对任意nN*都成立 ；7k .11 分下面用数学归纳法证明：2n4n41 当 n=1时,明显252 5 ,不等式成立 . 2 4 ,2 假设当nk kN*时,有k 24kk5 2k26k当nk1 时,52322k1422k42 k

10、422k216k .12 分即有：2 nb1b n2也成立；2b nb n2 成立 13 分1综合 iii知：对任意nN*,都有不等式【2022 年 高考试题数学（理）北京卷】20 本小题共 13 分 如数列 A n a a 2, ., a n n 2 满意 a k 1 a k 1 k 1,2,., n 1,数列 A 为 E数列,记S A n = a 1 a 2 . a . （）写出一个满意 a 1 a s 0,且 S A s 0 的 E数列 A ；（）如 a 1 12,n=2000,证明： E 数列 A 是递增数列的充要条件是 a=2022；（）对任意给定的整数 n（n2）,是否存在首项为

11、0 的 E数列 A ,使得 S A n =0？假如存在,写出一个满意条件的 E 数列 A ；假如不存在,说明理由；【解析】：（） 0,1,2, 1,0 是一具满意条件的 E数列 A5；（答案不唯独,0,1,0,1,0 也是一个满意条件的 E 的数列 A5）（）必要性：由于 E 数列 A5是递增数列,所以 a k 1 a k 1 k ,1 2 , , 1999 . 所以 A5 是首项为 12,公差为 1 的等差数列 . 所以 a2000=12+（2000 1） 1=2022.充分性,由于 a2000a10001,a2000a10001 a 2a11 所以 a2000a19999,即 a2000a

12、1+1999.又由于 a1=12,a2000=2022, 所以 a2000=a1+1999. 故名师归纳总结 an1a n10k,12, 1999,即A n是递增数列 . 综上,结论得证；第 5 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载函数（指数函数,分段函数,二元函数）或曲线与数列结合【北京理科 2022 年高考数学模拟试题五】15.（本小题共 13 分）已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S ,a2=4, S5=35（）求数列 a n 的前 n 项和 S ；（）如数列 nb 满意 nb e a n,求数列 b n 的

13、前 n 项的和 T 【解析】名师归纳总结 （）设数列 a n的首项为 a1,公差为 d1, 5 分第 6 页,共 25 页a 1d4d35a 1就5 a 155 1d32- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - an3 n2学习必备欢迎下载 前 n项和S nn 1 3 n22n 3 n1 7 分2（）a n3n2, 8 分b n3 en2,且 b1=e当 n2 时,3 n 2b n3 en 1 2 e 3为定值, 10 分b n 1 e 数列 b n 构成首项为 e,公比为 e 3 的等比数列 11 分3 n 3 n 1T n e 1 e3 e3 e 13 分

14、1 e e 13 n 1数列 b n 的前 n 项的和是 T n e3 ee 1【北京理科 2022 年高考数学模拟试题五】20.（本小题共 13 分）用 a 表示不大于 a 的最大整数令集合 P 1,2,3,4,5,对任意 k P 和 m N*,定5义 f m k , m k 1 ,集合 A m k 1 | m N*, k P ,并将集合 A 中的元i 1 i 1素依据从小到大的次序排列,记为数列 a n （）求 f 1,2 的值；（）求 a 的值；（）求证：在数列 a n 中,不大于 m 0 k 0 1 的项共有 f m 0 , k 0 项【解析】名师归纳总结 （）由已知知f1,22333

15、3 53 4 分第 7 页,共 25 页234601 1002 所以f1,2是将集合Amk1 |mN*,kP 中的元素按从小到大的顺（）由于数列a n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载序排成而成,所以我们可设计如下表格k 1 m 1 2 3 4 5 m 022 23 242 2 32 33 34 3 3 42 43 4 4 52 53 5 5 62 63 6从上表可知,每一行从左到右数字逐步增大,每一列从上到下数字逐步增大且234562 22 32 43 22 5 所以a 93 2P ,m 1m k 1k 8 分（）任取m m 2N*

16、,k k2如m 1k 11m 2k 21,就必有即在（）表格中不会有两项的值相等对于m 0k 01而言,如在（）表格中的第一行共有m 的数不大于m 0k 01,就m 12m 0k 01,即m 1m 0k 01,所以m 1m 0k 01,22同理,其次行共有m 的数不大于m 0k 01,有m 2m 0k 01,3第 i 行共有m 的数不大于m 0k 01,有m im 0ik 011所以,在数列 an中,不大于m 0k 01的项共有i51m 0k01项,i1即f m 0,k0项； 13 分【北京 2022 年高考理科数学模拟试题三】名师归纳总结 20. （本小题满分13 分）第 8 页,共 25

17、页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 对于定义域分别为M ,N的函数学习必备x,欢迎下载x,规定：yfyg名师归纳总结 fxgx,当xM且xN,第 9 页,共 25 页函数hxfx,当xM且xN,gx,当xM且xN,1 如函数fx x11,gxx22x2 ,xR,求函数hx的取值集合；2 如fx,1gx x22x2,设b 为曲线yh x在点a ,han处切线的斜率；而an是等差数列,公差为1nN,点P 为直线l:2xy20与 x 轴的交点,点P 的坐标为a , nb n；求证：P 112P 112P 1122；P 2P 3P n53 如gxfx,其中是常

18、数,且0,2,请问,是否存在一个定义域为R的函数yfx 及一个的值,使得hx cosx,如存在请写出一个fx的解析式及一个的值,如不存在请说明理由；解（ 1）由函数fx x11,gxx22x2 ,xR可得Mx|x1,NR从而h xx2x2x2,x1,11 x1当x1时,hx x2x2x2xx1 21x1x11211当x1 时,hxx2x2x2x1 21x11121x1x所以hx的取值集合为y|y2 ,或y2 或y1 .5 分（2）易知hxx22x2,所以hx 2x2所以bngan2 an2明显点P nan,bn在直线 l 上,且1a1又an是等差数列,公差为1 - - - - - - -精选学

19、习资料 - - - - - - - - - 所以ann2 ,bn2n学习必备欢迎下载2故 Pn n 2 , 2 n 2 ,又 P 1 ,1 0 所以 P 1 P n 5 n 1 n 2 所以 12 12 12 11 12 12 12P 1 P 2 P 1 P 3 P 1 P n 5 2 3 n 11 1 1 1 15 1 2 2 3 n 2 n 1 1 1 1 1 2 .8 分5 n 1 5（3）由函数 y f x 的定义域为 R ,得 g x f x a 的定义域为 R所以,对于任意 x R ,都有 h x f x g x 即对于任意 x R ,都有 cos x f x f x a 所以,我

20、们考虑将 cos x 分解成两个函数的乘积,而且这两个函数仍可以通过平移相互转化c o s x2 c o sx2 s i nx c o s x2s i n x2 c o s x2s i n x2.13 分22所以,令2x cos242cosx42,即可 fx2cosx4,且2又cosx12sin2x 12sinx 122sinx22所以,令fx12sinx,且2,即可（答案不唯独）2非等差或等比函数【北京理科2022 年高考数学模拟试题四】20. 本小题共 13 分）名师归纳总结 对于数列A：a 1,a 2, ,a n,如满意ia0,1 i1,2,3, n ,就称数列A为“0-1第 10 页,

21、共 25 页数列”. 定义变换 T ,T 将“ 0-1 数列”A 中原有的每个1 都变成 0,1,原有的每个0 都变0-1 数列” ,令A kT A k1,成 1,0. 例如 A :1,0,1,就T A :0,1,1,0,0,1.设A 是“k1 2,3,. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如数列学习必备欢迎下载A ；0A ： 1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1.求数列A 1, 如数列 A 共有 10 项,就数列 A 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由； 如 A 为 0,1,记数列 A 中连续两项都是 0 的数对个数为 kl,k

22、1,2,3, . 求 kl 关于k的表达式【解析】名师归纳总结 由变换 T 的定义可得A 1: 0,1,1,0,0,1 2 分A 0第 11 页,共 25 页A 0:1,0,1 4 分 数列A 中连续两项相等的数对至少有10 对 5 分证明：对于任意一个“0-1 数列”A ,A 中每一个 1 在A 中对应连续四项1,0,0,1,在中每一个 0 在A 中对应的连续四项为0,1,1,0,因此,共有10 项的“0-1 数列”A 中的每一个项在A 中都会对应一个连续相等的数对,所以A 中至少有 10 对连续相等的数对. 8 分 设A 中有b 个 01 数对,A k1中的 00 数对只能由A 中的 01

23、 数对得到,所以lk1b ,A k1中的 01 数对有两个产生途径：由A 中的 1 得到；由A 中 00 得到,由变换 T 的定义及A 0: 0,1可得A 中 0 和 1 的个数总相等,且共有k 21个,所以b k1lkk 2,所以lk2lkk 2,由A 0: 0,1可得A 1:1,0,0,1,A 2 :0,1,1,0,1,0,0,1所以l11,l21,当k3时,如 k 为偶数,lklk2k 22lk2lk4k 24- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - l4l222学习必备欢迎下载上述各式相加可得kl122k113 分4 22k211 4212k1,143

24、经检验,k2时,也满意kl12 3k1如 k 为奇数,lklk2k 224lk2lk4k 2l3l12k1上述各式相加可得kl12232k21214212k1,143经检验,k1时,也满意kl12 3k1所以lk1 2 3k1,k 为奇数k1,k 为偶数 1 2 3集合与数列名师归纳总结 【北京理科2022 年高考数学模拟试题六】N*的子集,且满意两个条件： y . 第 12 页,共 25 页20. （本小题满分13 分）如A 1,A2,Am为集合A1 2,nn2且nA 1A 2A mA ；,m ,使Aix ,y x 或对任意的x ,y A,至少存在一个i,1,2,3就称集合组A 1,A2,A

25、m具有性质 P .a 11a 12a1m如图,作 n 行 m 列数表, 定义数表中的第k 行第 l 列a2ma21a22的数为a kl1kA l. 0kA l（） 当 n 4 时,判定以下两个集合组是否具有性质 P ,假如是请画出所对应的表格,假如不是请说明理a n1an2anm由；集合组 1：A 11,3,A 22,3,A 34；集合组 2：A 12,3, 4,A 22,3,A 31,4.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （）当n7时,如集合组学习必备欢迎下载7 行 3 列的一A A 2,A 具有性质 P ,请先画出所对应的个数表,再依此表格分别写出

26、集合 A A 2 , A ；（）当 n 100 时,集合组 A A 2 , , A 是具有性质 P 且所含集合个数最小的集合组,求 t 的值及 | A 1 | | A 2 | | A t | 的最小值 . （其中 | iA 表示集合 iA 所含元素的个数）【解析】（）解：集合组1 具有性质P. x,y 1 分所对应的数表为：1 0 0 4 分0 1 0 1 1 0 3 分0 0 1 集合组 2 不具有性质P. 由于存在2,31,2,3,4 ,x 或 y 冲突,所有2,3A 12,3, 2,3A 22,3 , 2,3A 3,与对任意的x ,y A,都至少存在一个i1,2,3,有Ai以集合组A 1

27、2,3, 4,A 22,3,A 31,4不具有性质 P . 5 分 7 分（）0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 A 13, 4,5,7,A 22, 4,6,7,A 31,5,6,7. 8 分名师归纳总结 （注：表格中的7 行可以交换得到不同的表格,它们所对应的集合组也不同）第 13 页,共 25 页（）设A A 2,A 所对应的数表为数表M ,由于集合组A A 2,A 为具有性质 P 的集合组,所以集合组A A 2,A 满意条件和,由条件：A 1A 2A tA ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 可得对

28、任意xA,都存在i学习必备有x欢迎下载1,2,3, iA,所以 a xi 1,即第 x 行不全为 0,所以由条件可知数表 M 中任意一行不全为 0. 9 分由条件知,对任意的 x , y A,都至少存在一个 i 1,2,3, , ,使 Ai x , y x 或 y ,所以 a , xia yi 肯定是一个 1 一个 0,即第x行与第y行的第i列的两个数肯定不同 . 所以由条件可得数表 M 中任意两行不完全相同 . 10 分由于由0,1所构成的t元有序数组共有 2 t 个,去掉全是 0 的 t 元有序数组,共有 2 t1 个,又t因数表M中任意两行都不完全相同,所以 100 2 1,所以 t 7

29、 . 又 t 7 时,由0,1所构成的7元有序数组共有128个,去掉全是0的数组,共127个,挑选其中的100个数组构造100行7列数表,就数表对应的集合组满意条件,即具有性质 P . 所以 t 7 . 12 分由于 | A 1 | | A 2 | | A t | 等于表格中数字 1 的个数,所以,要使 | A 1 | | A 2 | | A t | 取得最小值,只需使表中 1 的个数尽可能少,而 t 7 时,在数表 M 中,1的个数为 1的行最多7行；1的个数为 2 的行最多2 C 721行；3 C 735行；1的个数为 3 的行最多4 C 735行；1的个数为 4 的行最多由于上述共有98行,所以仍有 2 行各有5个1,名师归纳总结 所以此时表格中最少有72 21