2022年高中数学平面向量知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 平面对量学问点总结第一部分：向量的概念与加减运算,向量与实数的积的运算；一向量的概念：1 向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量；2 向量的表示方法：（ 1）几何表示法： 点射线 有向线段具有肯定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（留意起讫）（2）字母表示法：AB 可表示为 a3.模的概念：向量 AB 的大小长度称为向量的模；记作： |AB | 模是可以比较大小的4.两个特殊的向量：1 零向量长度（模）为0 的向量,记作 0 ； 0的方向是任意的；留意 0 与0 的区分2 单位向量长度（模）为 二 向量间的关系：1 个单位长度

2、的向量叫做单位向量；1平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量；记作： a b c a b 规定： 0 与任一向量平行 c 2 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；记作： a =b规定： 0 =0任两相等的非零向量都可用一有向线段表示,与起点无关；3 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上,所以平行向量也叫共线向量；三向量的加法：1定义：求两个向量的和的运算,叫做向量的加法；留意：；两个向量的和仍然是向量（简称和向量）名师归纳总结 2三角形法就：a a+b C a B A a a+ b C C a B 第 1 页,共 7 页b b b a+b 强调：A B A - -

3、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 点1 “ 向量平移” （自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起2 可以推广到 n 个向量连加3a00aa4 不共线向量都可以采纳这种法就三角形法就 3.加法的交换律和平行四边形法就 1 向量加法的平行四边形法就（三角形法就）：2 向量加法的交换律：a +b =b + a3 向量加法的结合律： a +b +c = a + b +c 4.向量加法作图：两个向量相加的和向量,箭头 末端；四向量的减法：1.用“ 相反向量” 定义向量的减法是由始向量始端指向终向量1 “ 相反向量” 的定义：与a 长度相同、方向相反的向量；记作a

4、2 规定：零向量的相反向量仍是零向量； a = a任一向量与它的相反向量的和是零向量；a + a = 0假如 a、b 互为相反向量,就a = b, b = a, a + b = 03 向量减法的定义：向量a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差；即： ab = a + b 求两个向量差的运算叫做向量的减法；2.用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：如 b + x = a,就 x 叫做 a 与 b 的差,记作 a b3.向量减法做图：AB 表示 a b；强调：差向量“ 箭头” 指向被减数总结： 1 向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、

5、共线向量2 向量的加法与减法：定义、三角形法就、平行四边形法就、运算定律五：实数与向量的积（强调：“ 模” 与“ 方向” 两点 1.实数与向量的积实数 与向量 a 的积,记作： a定义：实数 与向量 a 的积是一个向量,记作： a1 | a |=| |a | 2 0 时 a 与a方向相同； 0内分 外分 0 -1 外分 0 -1 0 内分 0 外分-1 如 P 与 P1 重合, =0 P 与 P2重合 不存在2中点公式是定比分点公式的特例1就 P 分P 2P 1的定比 =2 3始点终点很重要,如P 分P 1P 2的定比 =24公式：如x1, x2, x, 知三求一十 平面对量的数量积及运算律（

6、一）平面对量数量积1定义：平面对量数量积（内积）的定义,a b = |a|b|cos ,名师归纳总结 并规定 0 与任何向量的数量积为0；A C O A B 第 4 页,共 7 页2向量夹角的概念：范畴0 180A B B O = 0A O A B O B B A O = 180O - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C 3留意的几个问题；两个向量的数量积与向量同实数积有很大区分定；1 两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos 的符号所决2 两个向量的数量积称为内积, 写成 a b；今后要学到两个向量的外积 a b,而 ab 是两个数量的积,书

7、写时要严格区分；3 在实数中,如 a 0,且 a b=0,就 b=0；但是在数量积中,如 a 0,且 a b=0,不能推出 b=0；由于其中 cos 有可能为 0；这就得性质 2；4 已知实数 a、b、cb 0,就 ab=bc a=c；但是 a b = b c a = c 如右图： a b = |a|b|cos = |b|OA| a b c = |b|c|cos = |b|OA| c ab=bc 但 a c 5 在实数中,有 a bc = ab c,但是 a bc ab c O b A 明显,这是由于左端是与 c 共线的向量, 而右端是与 a 共线的向量,而一般 a 与 c 不共线；（二）投影

8、的概念及两个向量的数量积的性质：1“ 投影” 的概念：作图BBBa A b O O b O b O a B1 A B1 O a A 定义： |b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影；O O O O B 1O O 留意： 1 投影也是一个数量,不是向量；2 当 为锐角时投影为正值；当 为钝角时投影为负值；当 为直角时投影为 0；当 = 0 时投影为 |b|；当 = 180 时投影为 |b|；2向量的数量积的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 |b|cos 的乘积；3两个向量的数量积的性质：设 a、b 为两个非零向量, e 是与 b 同向的单位向量；1 e

9、 a = a e =|a|cos 2 a b a b = 0 3 当 a 与 b 同向时, a b = |a|b|；当 a 与 b 反向时, a b = |a|b|；名师归纳总结 特殊的 a a = |a| 2 或|a |aa第 5 页,共 7 页4 cos =|ab|a|b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5 |a b| |a|b| 十一 . 平面对量的数量积的运算律1. 交换律： a b = b a 2. 结合律： a b =a b = a b 3. 安排律： a + b c = a c + b c十二 . 平面对量的数量积的坐标表示1.设 a =

10、 x1, y1,b = x2, y2,x 轴上单位向量 i,y 轴上单位向量 j,就： i i = 1,j j = 1,i j = j i = 0 2.a b = x1x2 + y1y2 3.长度、角度、垂直的坐标表示就）1 a = x, y |a| 2 = x 2 + y 2 |a| =x2y22 如 A = x1, y1,B = x2, y2,就 AB =x1x22y1y223 cos =|ab|x12x1x2y 1y2y22y 12x22a|b4 a ba b = 0 即 x1x2 + y1y2 = 0 （留意与向量共线的坐标表示原十三 .平移一、平移的概念：点的位置、图形的位置转变,而

11、外形、大小没有转变,从而导致函数的解析式也随着转变；一个平移实质上是一个向量这个过程称做图形的平移； （作图、 讲解）二、平移公式：设PP = h, k,即：OP OPPP 平移公式x, y = x, y + h, k x xhyyk三、留意： 1 它反映了平移后的新坐标与原坐标间的关系 2 知二求一3 这个公式是坐标系不动, 点 Px, y按向量 a = h, k平移到点 Px, y；另一种平移是：点不动,把坐标系平移向量a,即：xxh；这两种变换使点在坐标系中的相对位置是一样y yk的,这两个公式作用是一样的；十四 . 正弦定理 1 正弦定理的表达：在一个三角形中；各边和它所对角的正弦比相

12、等名师归纳总结 公式即：aA=b=c它适合于任何三角形；第 6 页,共 7 页sinsinBsinC2 可以证明a sinA=b sinB=c sinC=2R （R 为 ABC 外接圆半径）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3 每个等式可视为一个方程：知三求一 从理论上正弦定理可解决两类问题：1两角和任意一边,求其它两边和一角；2两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角；十五 . 余弦定理 1余弦定理语言描述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍；2. 余弦定理公式：a2b2c22 bccosAb2a2c22 accosBc2a2b22 abcosC4.强调几个问题：1 熟识定理的结构,留意“ 平方”2 知三求一“ 夹角” “ 余弦” 等3 当夹角为 90 时,即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）4变形：cosAb2c2a2cosBa2c2b22 bc2acCa2b2c2cos2ac三、余弦定理的应用 能解决的问题： 1已知三边求角 2已知三边和它们的夹角求第三边名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页