2022年人教A版高中数学必修四2.4《平面向量的数量积》教案 .pdf

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1、名师精编优秀教案2.4 平面向量的数量积教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5 个重要性质；平面向量数量积的

2、运算律.教学过程：一、复习引入：1 向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数 ，使b=a.2平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2使a=11e+22e3平面向量的坐标表示分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得yjxia把),(yx叫做向量a的（直角）坐标，记作),(yxa4平面向量的坐标运算若),(11yxa，),(22yxb，则ba),(2121yyxx，ba),(2121yyxx，),(yxa.若),(

3、11yxA，),(22yxB，则1212,yyxxAB名师精编优秀教案5ab(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0 6线段的定比分点及 P1，P2是直线l上的两点，P是l上 不同于 P1，P2的任一点，存在实数，使PP1=2PP，叫 做 点P分21PP所 成 的 比，有 三 种 情 况：0(内分)(外分)0(-1)(外分)0 (-10)7.定比分点坐标公式：若点P(x1，y1)，(x2，y2)，为实数，且PP1 2PP，则点P的坐标为（1,12121yyxx），我们称 为点P分21PP所成的比.8.点P的位置与 的范围的关系：当 时，PP1与2PP同向共线，这时称点P为21PP的内分点.当

4、 (1)时，PP1与2PP反向共线，这时称点P为21PP的外分点.9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O，设1OP，2OP，可得OP=baba1111.10力做的功：W=|Fs|cosF与s的夹角.二、讲解新课：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作OA，OB，则（）叫与的夹角.说明：（1）当 时，与同向；（2）当 时，与反向；（3）当 2时，与垂直，记；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围 0180名师精编优秀教案2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cos与的数量积，记作ab，即有ab=|a|b|cos（）

5、.并规定0与任何向量的数量积为0.探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos.（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替.（3）在实数中，若a，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos0.（4）已知实数a、b、c(b，则.但是ab=bca=c如右图：ab=|a|bb|OA|，bc=|b|cb|OA|ab=bc但ac(5)在实数中，有(ab)c=a(bc)，

6、但是(ab)ca(bc)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.3“投影”的概念：作图定义：|b|cosb在a方向上的投影.0=0|b|=180b|.4向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos.C 名师精编优秀教案5两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1ea=ae=|a|cos2abab=0 3当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=|a|b|.特别的aa=|a|2或aaa|4 cos=|baba5|ab|a|b|三、讲解范例：例 1 已知|a|=5，|b|=4，a与

7、b的夹角=120o，求ab.例 2 已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为 60o求(a+2b)(a-3b).例 3 已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，k 为何值时，向量a+kb 与 a-kb 互相垂直.例 4 判断正误，并简要说明理由.0 0；0；0ABBA；若0，则对任一非零有；，则与中至少有一个为0；对任意向量，都有（）（）；与是两个单位向量，则.解：上述8 个命题中只有正确；对于：两个向量的数量积是一个实数，应有0；对于：应有 0；对于：由数量积定义有 cos，这里 是与的夹角，只有或 时，才有；对于：若非零向量、垂直，有；对于：由可知可以都非零；对于：若与 共线，记.则

8、（）（）（），（）（）（）（）若与 不共线，则()（）.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例 6 已知，当，与的夹角是60时，分别求.解：当时，若与同向，则它们的夹角，cos0361 18；若与反向，则它们的夹角180，名师精编优秀教案cos18036（-1）18；当时，它们的夹角90，；当与的夹角是60时，有cos6036219 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是0，180，因此，当时，有 0或 180两种可能.四、课堂练习：1.已知|a|=1，|b|=2，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（）A.60 B.30 C.135 D.2.已知|a|

9、=2，|b|=1，a与b之间的夹角为3，那么向量m=a-4b的模为（）A.2 B.23 C.6 D.12 3.已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知向量a、b的夹角为3，|a|=2，|b|=1，则|a+b|a-b|=.5.已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么ab=.6.已知ab、c与a、b的夹角均为60，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则(a+2b-c)_.7.已知|a|=1，|b|=2，(1)若ab，求ab；(2)若a、b的夹角为，求|a+b|；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角.8.设m、n是两个单位向量，其夹角为，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.9.对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角.五、小结（略）六、课后作业（略）七、教学后记：