2022年一元二次方程根与系数的关系3.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值；2、懂得并把握应用韦达定理求待定系数；3、懂得并把握应用韦达定理构造方程,解方程组；4、能应用韦达定理分解二次三项式；学问框图求代数式的值求待定系数一元二次韦达定理应用构造方程方程的求解特别的二元二次方程组根公式二次三项式的因式分解【内容分析 】韦达定理： 对于一元二次方程ax2bxc0a0,假如方程有两个实数根x x ,那么x 1x 2b,x x 2caa0说明：（1）定理成立的条件（2）留意公式重x 1x

2、2b a的负号与 b 的符号的区分根系关系的三大用处（1）运算对称式的值例 如 x x 是方程 x 22 x 2007 0 的两个根,试求以下各式的值：1 x 1 2x 2 2；2 1 1；3 x 1 5 x 2 5；4 | x 1 x 2 |x 1 x 2解： 由题意,依据根与系数的关系得：x 1 x 2 2, x x 2 20072 2 2 21 x 1 x 2 x 1 x 2 2 x x 2 2 2 2007 40181 1 x 1 x 2 2 22 x 1 x 2 x x 2 2007 20073 x 1 5 x 2 5 x x 2 5 x 1 x 2 25 2007 5 2 25 1

3、9722 2 24 | x 1 x 2 | x 1 x 2 x 1 x 2 4 x x 2 2 4 2007 2 2022说明： 利用根与系数的关系求值,要娴熟把握以下等式变形：细心整理归纳 精选学习资料 x 12x 22x 1x222x x ,11x 1x 2,x 1x22x 1x 224x x , 第 1 页,共 8 页 x 1x 2x x2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -|x 1x 2|x 1x 224x x 2学习必备2欢迎下载x x

4、2x 1x 2,x x22 x x2x 13x 23x 1x233 x x2x 1x2等等韦达定理表达了整体思想【课堂练习】1设 x 1,x 2 是方程 2x26x30 的两根,就x12x 2 2的值为 _ ,m的值2已知 x1,x2 是方程 2x27x40 的两根,就x1x2,x1x2（x1x2）23已知方程2x2 3x+k=0 的两根之差为1 2 2,就 k= ; 4如方程 x2+a22x 3=0 的两根是 1 和 3,就 a= ; 5如关于x 的方程 x2+2m1x+4m 2=0 有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么为 ; 6 设 x1,x2是方程 2x 26x+3=0 的两个根,求以

5、下各式的值：1x 1 2x 2+x1x 2 2 2 x1 1 x 27已知 x 1和x 2是方程 2x 2 3x1=0的两个根,利用根与系数的关系,求以下各式的值：1 12 2x 1 x 2（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是；例 解方程组 x+y=5 xy=6 解：明显, x,y 是方程 z 2-5z+6 0 的两根由方程解得 z1=2,z2=3 原方程组的解为 x1=2,y1=3 x 2=3,y 2=2 明显,此法比代入法要简洁得多；（3）定性判定字母系数的取值范畴例 一个三角形的两边长是方程的两根,第三边长为2,求 k 的取值范畴； 第 2 页,共 8 页 细心整理归纳 精

6、选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解：设此三角形的三边长分别为学习必备欢迎下载的两根,就c=2 a、b、c,且 a、b 为由题意知 k 2-4 2 20,k 4 或 k-4 为所求；【典型例题】例 1 已知关于 x 的方程x2k1x1k210,依据以下条件,分别求出k 的值41 方程两实根的积为5； 2 方程的两实根x 1,x 满意|x 1|x x 1x ,分析： 1 由韦达定理即可求之；2 有两种可能,一是x 1x20,二是所以要分类

7、争论细心整理归纳 精选学习资料 解： 1 方程两实根的积为5 k0k3； 第 3 页,共 8 页 x x2 kk1241k210k3,k44121524所以,当k4时,方程两实根的积为52 由|x 1|x 得知：当x 10时,x 1x ,所以方程有两相等实数根,故2当x 10时,x 1x 2x 1x20k101,由于0k3,故k1不合题意,舍去2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载综上可得,k3时,方程的两实根x 1,x 满意|x

8、1|x 2求待定字母的值, 务必要留意方程有两实说明： 依据一元二次方程两实根满意的条件,根的条件,即所求的字母应满意 0 例 2 已知 x 1 , x 是一元二次方程 4 kx 24 kx k 1 0 的两个实数根1 是否存在实数 k ,使 2 x 1 x 2 x 1 2 x 2 3成立？如存在,求出 k 的值；2如不存在,请您说明理由2 求使 x 1 x 2 2 的值为整数的实数 k 的整数值x 2 x 1解： 1 假设存在实数 k ,使 2 x 1 x 2 x 1 2 x 2 3成立22 一元二次方程 4 kx 4 kx k 1 0 的两个实数根4 k 02 k 0, 4 4 4 k k

9、 1 16 k 02又 x x 是一元二次方程 4 kx 4 kx k 1 0 的两个实数根x 1 x 2 1k 1x x 24 k2 2 22 x 1 x 2 x 1 2 x 2 2 x 1 x 2 5 x x 2 2 x 1 x 2 9 x x 2k 9 3 9k,但 k 04 k 2 5不存在实数 k ,使 2 x 1 x 2 x 1 2 x 2 3成立22 2 22 x 1 x 22 x 1 x 22 x 1 x 2 4 4 k 4 4x 2 x 1 x x 1 2 x x 1 2 k 1 k 1 要使其值是整数,只需 k 1 能被 4 整除, 故 k 1 1, 2, 4,留意到 k

10、0,x 1 x 2要使 2 的值为整数的实数 k 的整数值为 2, 3, 5 x 2 x 1说明： 1 存在性问题的题型,通常是先假设存在,然后推导其值,如能求出,就说明存在,否就即不存在细心整理归纳 精选学习资料 2 此题综合性较强,要学会对k41为整数的分析方法 第 4 页,共 8 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载一元二次方程根与系数的关系练习题A 组21一元二次方程 1 k x 2 x 1 0 有两个不相等的实数根,就

11、 k 的取值范畴是 Ak 2 Bk 2, 且 k 1 Ck 2 Dk 2, 且 k 12 1 12如 x x 是方程 2 x 6 x 3 0 的两个根,就 的值为 x 1 x 2A 2 B2 C1 D92 23已知菱形 ABCD 的边长为 5,两条对角线交于 O 点,且 OA、OB 的长分别是关于 x 的方2 2程 x 2 m 1 x m 3 0 的根,就 m 等于 A3 B 5 C 5 或 3 D5 或 32 24如 t 是一元二次方程 ax bx c 0 a 0 的根,就判别式 b 4 ac 和完全平方式 M 2 at b 2的关系是 AM BM CM D大小关系不能确定5如实数 a b

12、,且 a b 满意 a 28 a 5 0, b 28 b 5 0,就代数式 b 1 a 1 的a 1 b 1值为 A20 B 2 C 2 或 20 D 2 或 2026假如方程 b c x c a x a b 0 的两根相等, 就 a b c 之间的关系是 _ 27已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程 2 x 8 x 7 0 的两个根,就这个直角三角形的斜边长是 _ 28如方程 2 x k 1 x k 3 0 的两根之差为 1,就 k 的值是 _ 2 29设 x 1 , x 是方程 x px q 0 的两实根,x 1 1, x 2 1 是关于 x 的方程 x qx p 0的两实根,就 p

13、= _ ,q= _ 210已知实数 a b c 满意 a 6 b c ab 9,就 a = _ , b = _ , c = _ 211对于二次三项式 x 10 x 36,小明得出如下结论：无论 x 取什么实数,其值都不行能等于 10您是否同意他的看法？请您说明理由细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -12如n0,关于 x 的方程2 x m学习必备欢迎下载0有两个相等的的正实数根,求m n的2 n x1

14、 4mn值13已知关于x 的一元二次方程x24m1 x2m101 求证：不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根；2 如方程的两根为x x ,且满意1101 2,求 m 的值x 1x214已知关于x 的方程x2k1 x1k21的两根是一个矩形两边的长41 k 取何值时,方程存在两个正实数根？细心整理归纳 精选学习资料 2 当矩形的对角线长是5 时,求 k 的值 第 6 页,共 8 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载B 组1已

15、知关于x 的方程k1x22k3xk10有两个不相等的实数根x x 1 求 k 的取值范畴；2 是否存在实数k ,使方程的两实根互为相反数？假如存在,求出k 的值；假如不存在,请您说明理由2已知关于 x 的方程x23xm0的两个实数根的平方和等于11求证： 关于 x 的方程k3x2kmx2 m6 mx240有实数根10的两个实数根,且x 1,x 都大于 13如x x 是关于 x 的方程2k1xk21 求实数 k 的取值范畴；细心整理归纳 精选学习资料 2 如x 11,求 k 的值 第 7 页,共 8 页 x22 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载答案A 组1 B 2 A 3A 4A 5A 1,q3124 6ac2 ,且bc39p7 3 8 9 或10a3,b3,c00 2m11正确113116 m 252141 k3 2k22B 组11 k13且k12 不存在x10,有实根； 2 当k3时,0 也有实根 第 8 页,共 8 页 123时,方程为 32m11当k31 k3且k1；2 k74细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -