2022年高中数学必修知识点归纳2.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 必修 2 学问点归纳体积公式：第一章空间几何体V柱体Sh；V 锥体1Sh；31、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简洁组合体V 台体1h S 上S 上S 下S 下3常见的 多面体 有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体 有：圆柱、圆锥、圆台、球；简洁组合球的表面积和体积：体的构成形式：一种是由简洁几何体拼接而成,例如课本图1.1-11中（ 1）（2）物体表示的几何体；S 球4R2,V球43 R. 一般地,面积比等于相像比的平方,体积比等于相像比的立方；一种是由简洁几何体截去或挖去一部分而成,例如课本图1.1-11中（ 3）（4）物体表

2、示的几何体；简洁组合体3其次章点、直线、平面之间的位置关系及其论证1、公理 1：假如一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内；l A B A l B llA , B公理 1 的作用：判定直线是否在平面内棱柱 ：有两个面相互平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱；2、公理 2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面；C A B如 A,B, C不共线,就A,B,C确定平面棱台： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台；1、空间几何体的三视图和直观图推论 1：过直线的直线外一点有且只有一个平

3、面把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影线交于一点；把在一束平行Al如 Al,就点 A 和l确定平面光线照耀下的投影叫平行投影,平行投影的投影线是平行的；（1）定义：正视图 ：光线从几何体的前面对后面正投影得到的投影图；侧视图 ：光线从几何体的左面对右面正投影得到的投影图；俯视图 ：光线从几何体的上面对下面正投影得到的投影图；推论 2：过两条相交直线有且只有一个平面 A l m几何体的 正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图 ；如 mnA ,就m n确定平面（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“ 长对正”,“ 高平齐”,“ 宽相等”2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平

4、面图）. 观看者站在某一点观看几何体,画推论 3：过两条平行直线有且只有一个平面 m n出的图形 . 3、斜二测画法的基本步骤： 建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上）如 mn,就m n确定平面 建立斜坐标系 x O y ,使 xOy=45 0（或 1350）,留意它们确定的平面表示水平平面；公理 2 及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据； 画对应图形 ,在已知图形平行于X 轴的线段, 在直观图中画成平行于X 轴,且长度保持3、公理 3：假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点不变；在已知图形平行于Y轴的线段, 在直观图中画成平行于Y

5、轴,且长度变为原先的一半；一般地,原图的面积是其直观图面积的22 倍,即S 原图22S 直观的公共直线； P L4、空间几何体的表面积与体积圆柱侧面积 ；S 侧面2rl- 1 - P,Pl且Placr公理 3 作用：（ 1）判定两个平面是否相交的依据；（ 2）证明点共线、线共点等；llS侧2r.l4、公理 4：也叫平行公理, 平行于同一条直线的两条直线平行.ab cbrAAB=2 rB公理 4 作用：证明两直线平行；第 1 页,共 6 页圆锥侧面积：S侧面rl5、定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补；aA图中：扇形的半径长为l,b1aa 1abaa bb 且1 与2

6、 方向相同12l圆心角为 ,弧 AB的长VL .l注：扇形的弧长等于 圆心角乘以半径 .提示圆心角为弧度角,例如 60 3弧度,45 4弧度, 90 2弧度等等 22b 方向相同就方向相反就ba a b b且1 与2 方向相反12 180lhl 1 2 1+ 2 180 rB圆锥的侧面绽开图是扇形,扇形面积S扇形1 2弧长半径作用：该定理也叫等角定理,可以用来证明空间中的两个角相等；圆台侧面积：S侧面rlRlO 1r6、线线位置关系：平行、相交、异面；ab,abA,a b异面hl（ 1）没有任何公共点的两条直线平行aO 2RRO（ 2）有一个公共点的两条直线相交AbrdO1d= R 2-r2名

7、师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线aaaAa b7、线面位置关系：aabA1a2Aaa b ba b3（ 2）两平面平行的性质：（ 1）直线在平面内,直线与平面有很多个公共点；（ 2）直线和平面平行,直线与平面无任何公共点；a性质：假如一个平面与两平行平面都相交,那么它们的交线平行；（ 3）直线与平面相交,直线与平面有唯独一个公共点；aab8、面面位置关系：平行、相交；b性质：平行于同一平面的两平面平行；9、线面平行： （即直线与平面无任何公共点）判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平

8、行,就该直线与此平面平行；（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）a性质：夹在两平行平面间的平行线段相等；b/ba/A CCDACBDaB DAB证明两直线平行的主要方法是：性质：两平面平行,一平面上的任一条直线与另一个平面平行；三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半；aa或aa平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；线面平行的性质： 假如一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,11 、线面垂直：那么 这条直线和它们的交线平行；定义：假如一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直；aaab判定：一条直线与一个平面内的两条

9、相交直线都垂直,就该直线与此平面垂直；blm平行线的传递性：ab cbaclnAl面面平行的性质：假如一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行；mnm n性质：垂直于同一个平面的两条直线平行；aabaabb垂直于同一平面的两直线平行；aa bb性质：垂直于同始终线的两平面平行l lb直线与平面平行的性质：假如一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相12、面面垂直：定义：两个平面相交,假如它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面相互垂直；交,那么这条直线和它们的交线平行；（上面的）10 、面面平行： （即两平面无任何公共点）（ 1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个

10、平面平行,就这两个平面平行；a , ba b Aa , b判定定理的推论：一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分别平行,两判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线,就这两个平面垂直；平面平行- 2 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - l（只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直）（异面直线的公垂线是唯独的,指与两异面直线垂直且相交的直线）l5.点到平面的距离：指该点与它在平面上的 性质：两个平面相互垂直,就一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面；射影的连线段的长度；lmml如图： O为 P

11、在平面上的射影,线段 OP 的长度为点P 到平面的距离l求法通常有：定义法和等体积法 证明两直线垂直和主要方法：等体积法：就是将点到平面的距离看成是 利用勾股定理证明两相交直线垂直；三棱锥的一个高；如图在三棱锥 VABC利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；利用线面垂直的定义证明（特殊是证明异面直线垂直）；中有：V SABCV A SBCV BSACV C SAB利用三垂线定理证明两直线垂直（P“ 三垂” 指的是“ 线面垂”“线影垂”,“ 线斜垂”）如 图：PO OA 是 PA 在平面 上的射影aPA第三章直线与方程斜又直线a,且aOAA影Oa线即：线影垂直线斜垂直,反之也成立；1.直线方

12、程的概念：一条直线 l 与一个二元一次方程F x y , Ax By C0有如下两个对应：直线 l 上任意一点的坐标 , x y 都满意方程F x y , Ax By C0；以方程F x y , Ax By C0的解为坐标的点 , 都在直线 l 上；利用圆中直径所对的圆周角是直角,此外仍有正方形、菱形对角线相互垂直等结论；空间角及空间距离的运算就称方程F x y , Ax By C0为直线 l 的方程 ,直线 l 为 方程的直线；2.直线倾斜角的定义：把直线向上的方向与x 轴的正方向形成的最小正角叫直线的倾斜角；1. 异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角,通常在在两异面直线中的一3.

13、直线倾斜角的范畴：0180 ,当直线与 x 轴平行或者是重合时,倾斜角为0条上取一点,过该点作另一条直线平行线,如图：直线 a与b异面, b/b,直线 a与直线 b 的夹角为两异4.直线斜率的定义：倾斜角不为 90 直线, 倾斜角的正切值叫直线的斜率；面直线a 与 所成的角,异面直线所成角取值范畴是（0 ,90 记作ktan90 当倾斜角为 90 时直线的斜率不存在；2. 斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角；如图： PA是平面的一5、直线 l 过点P x 1,y 1,P x 2,y2,就直线的斜率为：ky2y1x1x2条斜线, A 为斜足, O为垂足, OA叫斜线 PA在平面上射

14、影,PAO 为线面角 ；xx126、直线方程的表示形式：3. 二面角：从一条直线动身的两个半平面形成的图形, 如图为二面角l,二点斜式 ：yy0kxx0,当 斜率不存在 时,直线与 x 轴垂直,倾斜角为90 ,面角的大小指的是二面角的平面角的大小；二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与此时直线方程为：xx ,如右图,特 别地 y 轴所在二面角的棱垂直直线方程为x0；如图：在二面角-l-中, O棱上一点,OA,OB,且OAl OBl,就AOB为二面角-l-的平面角；当直线斜率k0时,直线与 x 轴平行或者是重合直线方程为：yy 0, x 轴所在的直线方程为y0；用二面角的平面角的定义求二面

15、角的大小的关键点是：明确构成二面角两个半平面和棱；斜截式：ykxb（ b 为直线在 y 轴上的 截距 ）ykxb ,例如直线 l 过定点当直线过 y 轴上肯定点 0, b 时,通常设直线方程为：明确二面角的平面角是哪个？0,2 ,设l:ykx2；而要想明确二面角的平面角,关键是看该角的两边是否都和棱垂直；（求空间角的三个步骤是“ 一找” 、“ 二证”、“ 三运算”）当直线过 x 轴上肯定点（a,0）时,通常设直线方程为：xmya ,例如直线 l 过定点 2, 0 ,设l:xmy24. 异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的两点式 ：yy 11xx 1公垂线段的长度；如图 PQ 是两异面直线间

16、的距离y 2yx 2x 1- 3 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 截距式 ：xy1a0,b0,0；C（ 6）线段中点坐标公式：xx 12x 2,A x y 1,B x 2,y 2,M x y 是线段 AB 的中点；abyy 1y 2一般地,问题中显现两个截距 时,通常设直线方程为xy1 a0,bab2方程中a b 分别表示直线的 横截距和纵截距,x第四章圆与方程一般地,在直线方程中,令y0可求得横截距 a ,令x0可求得纵截距 b1、圆的第肯定义：到定点的距离等于定长的点的集合.PM x y , |MO|r一般

17、式 ：AxByC0A22 B0,全部直线方程都可化为一般式；圆的其次定义：到两个定点的距离之比等于常数（不等于1）的点的集合；当B0,直线的 斜率kA,当B0时,直线 斜率不存在 ,方程可化为BA2、圆的标准方程：xa2yb2r2,圆心为 , a b ,半径为 r ；7、两直线的位置关系的判定：3、圆的一般方程：x2y2DxEyF0D2E24F0；当两直线倾斜角相等时,即时,两直线 平行 ；当两直线倾斜角满意|90 时,两直线 垂直 ；当两直线倾斜角不相当时,两直线相交 ；对于直线l1:yk xb1,l2:yk xb 有：圆心为 D,E,半径r1D2E24F ；l1/ /l2k1k 2；1l和

18、2l相交k 1k ；222当D2E24F0时,方程x2y2DxEyF0表示点D,Eb 1b 2221l 和2l 重合k1k2；l1l2k k21. 当D2E24F0时,方程x2y2DxEyF0不表示任何图形；b 1b24、点P 0x0,y0与圆xa2yb22 r 的位置关系的判定：对于直线l1:A xB yC10,l2:A xB yC20有：（1）当P x 0,y 0满意x 0a2y 0b22 r 时点 P 在圆上；l1/ /l2A B 2A B 1；（2）1l 和2l 相交A B2A B ；B C2B C1（2）当P x 0,y 0满意x 0a2y0b2r2时点 P在圆内；1l 和2l 重合

19、A B 2A B 1；l1l2A A 2B B20. （3）当P x 0,y 0满意x 0a2y0b2r2时点 P在圆外；B C2B C15、求圆方程的方法,主要有两种：（1） 待定系数法 ：使用待定系数法求圆方程的一般步骤：8、交点与距离公式依据提设,挑选标准方程或一般方程；（ 1）两直线l1:A xB yC10,l2:A xB yC20的交点坐标需将两直线方程组成依据条件列出关于a、b、r 或 D、E、 F 的方程组 ；方程组求解,即：A xB yC10解出 a、b、 r 或 D、E、F,代入标准方程或一般方程；A xB yC20当有唯独解时, 两直线相交； 当无解时, 两直线平行； 当有

20、很多个解时,两直线重合 ；（2） 利用三角形外心的定义及其垂径定理求圆心坐标；（ 2）过两直线l1:A xB yC10,l2:A xB yC20交点的 直线系方程 为：三角形 外心 的定义：三角形三边垂直平分线的交点就是外心；垂径定理 ：垂直于弦的半径平分弦并平分弦所对的弧；A x 1B y 1C1A x 2B y 2C20By0CC1|弦的垂直平分线必经过圆心,因此求出两条弦的垂直平分线方程,联立解方程组求将含有一个参数的直线方程化为直线系方程x12y2y12得圆心坐标,而圆心到圆上任意一点的距离都等于半径,最终写出圆的标准方程；的样式就可解决直线恒过定点问题 ；6、直线与圆的位置关系的判定

21、：几何法 （ 1）相切 ：圆心到直线的距离d r ；（ 3）两点间距离公式：PP 12x2（ 4）点P x 0,y 0到直线l:AxByc0距离公式：dAx0（ 2） 相交 ：圆心到直线的距离dr ；22（ 3） 相离 ：圆心到直线的距离dr；BA（ 5）两平行线间的距离公式：对于直线0,1l 与2l 间的距离为：d|C2l:Ax+By+C=0l:Ax+By+C=0l:Ax+By+C=0dd rCa,b |Ax0+By0+C| d= A 2+B 2 圆 C:（x-a2+y-b2=r2dl1:A xB yC10,l2:A xB yC2r Ca,b |Ax0+By0+C|圆C:（x-a2+y-b

22、d=2=r A 2+B 2 2rd=|Ax0+By0+C|2 AB2Ca,bA 2+B 2圆C:（x-a2+y-b 相离： dr2=r2相切： d=r相切： dr 1+r 2外切 :有一个公共点,相交 :有两个公共点,圆心距 |r 1-r2 | C1C2 r1+r 2圆心距 C 1C 2 r1+r 2C1r 1r 2C 2C1r 1r2C2C1r 1r 2C 2圆 C1:x 圆 C2:x2+y 2+y2+D 1x+E 1y+F 1=0 2+D 2x+E 2y+F 2=0圆 C1:x 2+y 2+D 1x+E 1y+F1=0圆 C2:x2+y2+D 2x+E 2y+F2=0圆 C1:x 2 +y

23、 2 +D1x+E 1y+F 1=0圆 C2:x 2 +y 2 +D2x+E 2y+F 2=0确定空间直角坐标系中点的坐标的学问要点:1. 空间直角坐标系：从空间某一个定点O 引三条相互垂直且有相同单位长度的数轴Ox ,Oy Oz ,这样的坐标系叫做空间直角坐标系Oxyz ,点 O 叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴 . 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面, 分别称为 xOy 平面、 yOz 平面、xOz 平面 . 如图：边长为2 的正方体各顶点坐标分别为：名师归纳总结 - 5 - D0, 0, 0A2, 0, 0B2, 2, 0第 5 页,共 6 页C0, 2, 0A 1 2, 0,

24、2B 1 2, 2, 2C1 0, 2, 2D1 0, 0, 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 请留意：在写空间中点的坐标遇到困难时,通常先写出该点在 xOy 平面上的射影点的的坐标,然后加上相应的竖坐标即可；2. 右手直角坐标系 ：在空间直角坐标系中,让右手 拇指 指向 x 轴的正方向, 食指 指向 y 轴的正方向,如 中指 指向 z 轴的正方向,就称这个坐标系为右手直角坐标系 . 3. 空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点 M,作出 M点在三条坐标轴 Ox 轴、 Oy 轴、Oz 轴上的 射影 ,如射影在相应数轴上的坐标依次为 x、y、z,就把

25、有序实数组 x, y, z叫做 M点在此空间直角坐标系中的坐标,记作 Mx, y, z,其中 x 叫做点 M的横坐标 ,y 叫做点 M的纵坐标 ,z 叫做点 M的竖坐标 . 4.坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点：x 轴上的点的坐标的特点：P a , 0, 0,纵坐标和竖坐标都为零2x 2,y 12y2,z 12z2y 轴上的点的坐标的特点：P0,a, 0,横坐标和竖坐标都为零z 轴上的点的坐标的特点：P0, 0,a ,横坐标和纵坐标都为零xOy 坐标平面内的点的特点：P a b , , 0）,竖坐标为零xOz坐标平面内的点的特点：P a , 0, b ,纵坐标为零yOz 坐标平面内的点的特点：P0,a b ,横坐标为零5.中 点坐标 公式：设 A x 1,y z 1 1）, B x2,y 2,z 2就线段AB的中点坐 标为x 16、空间中两点间距离公式：PP 12x2x 12y2y 12z2z12- 6 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页