2022年高等数学教案ch定积分.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第五章 定积分教学目的：1、懂得定积分的概念；2、把握定积分的性质及定积分中值定理,把握定积分的换元积分法与分部积分法；3、懂得变上限定积分定义的函数,及其求导数定理,把握牛顿莱布尼茨公式；4、明白广义积分的概念并会运算广义积分；教学重点 ：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法；3、牛顿莱布尼茨公式；教学难点：1、 定积分的概念2、 积分中值定理3、 定积分的换元积分法分部积分法；4、 变上限函数的导数；5 1 定积分概念与性质一、定积分问题举例1 曲边梯形的面积曲边梯形 设函数 y fx在区间 a b上非负、连续

2、 由直线 x a、 x b、y 0 及曲线 y f x所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边求曲边梯形的面积的近似值将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 就全部小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 详细方法是 在区间 a b中任意插入如干个分点a x0 x1 x2 xn 1 xn b把a b分成 n 个小区间x0 x1 x1 x2 x2 x3 xn 1 xn 它们的长度依次为 x1 x1 x0 x2 x2 x1 xn xn xn 1经过每一个分点作平行于 y 轴的直线段 把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形

3、在每个小区间 xi 1 xi 上任取一点 i 以xi 1 xi 为底、f i为高的窄矩形近似替代第 i 个窄曲边梯形 i 1 2n 把这样得到的 n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积 A 的近似值 即nA f 1 x1 f 2 x2 f n xn f i x ii 1求曲边梯形的面积的精确值明显分点越多、每个小曲边梯形越窄所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积 A 的精确值因此要求曲边梯形面积A 的精确值只需无限地增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零记第 1 页,共 22 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - maxx1

4、x2xn 于是上述增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零相当于令0 所以曲边梯形的面积为n且 vt 0运算在这Alim 0i1fix i2变速直线运动的路程设物体作直线运动已知速度 v vt是时间间隔 T 1 T 2上 t 的连续函数段时间内物体所经过的路程S求近似路程我们把时间间隔 T 1 T 2分成 n 个小的时间间隔 ti 在每个小的时间间隔 ti 内 物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔 ti 内某点 i 的速度 v i 物体在时间间隔 t i 内 运动的距离近似为 Si v i ti 把物体在每一小的时间间隔 ti 内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔 T 1 T 2内所

5、经过的路程 S 的近似值 详细做法是在时间间隔 T 1 T 2内任意插入如干个分点T 1 t 0 t 1 t 2 t n 1 t n T 2把T 1 T 2分成 n 个小段t 0 t 1 t 1 t 2 t n 1 t n 各小段时间的长依次为t 1 t 1 t 0t 2 t 2 t 1t n t nt n 1i来代替 t i 1 t i上各即相应地在各段时间内物体经过的路程依次为S 1S 2S n在时间间隔 t i 1 t i上任取一个时刻i t i 1it i以i 时刻的速度v个时刻的速度得到部分路程S i 的近似值即S i vit ii 1 2n于是这 n 段部分路程的近似值之和就是所求

6、变速直线运动路程S 的近似值nSi1v iti求精确值记 maxt 1t 2t n当0 时取上述和式的极限即得变速直线运动的路程Slim 0invit i1设函数 y fx在区间 a b上非负、连续 及曲线 y f x所围成的曲边梯形的面积求直线 x a、x b、y 0 1用分点 a x0 x1 x2 xn 1 xn b 把区间 a b分成 n 个小区间 x0 x1 x1 x2 x2 x3 xn 1 xn 记 xi xi xi 1 i 1 2 n2任取 i xi 1 xi 以 xi 1 xi为底的小曲边梯形的面积可近似为f i x i i 1 2 n 所求曲边梯形面积 A 的近似值为n名师归纳

7、总结 Ai1fix i第 2 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3记maxx1x2xn 所以曲边梯形面积的精确值为nA lim 0 f i x ii 1设物体作直线运动 已知速度 v vt是时间间隔 T 1 T 2上 t 的连续函数且 vt 0 运算在这段时间内物体所经过的路程 S1用分点 T1 t0 t 1 t2 t n 1 t n T2 把时间间隔 T 1 T 2分成 n 个小时间段 t0 t1 t1 t2 tn 1 tn 记 ti ti ti 1 i 1 2 n2任取 i ti 1 ti 在时间段 ti 1 ti内物体所经过的路程

8、可近似为 v i t ii 1 2 n 所求路程 S 的近似值为nS v i t ii 13记 max t1 t2 tn 所求路程的精确值为nSlim 0i1v iti二、定积分定义抛开上述问题的详细意义抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括就抽象出下述定积分的定义定义 设函数 fx在a b上有界 在a b中任意插入如干个分点a x0 x1 x2 xn 1 xn b把区间 a b分成 n 个小区间x0 x1 x1 x2 xn 1 xn 各小段区间的长依次为x1 x1 x0 x2 x2 x1 xn xn xn 1在每个小区间 xi 1 xi上任取一个点 i xi 1 i xi 作函数值 f

9、 i与小区间长度 xi 的乘积f i xi i 1 2 n 并作出和nS f i x ii 1记 max x1 x2 xn 假如不论对 a b怎样分法 也不论在小区间 xi 1 xi上点 i 怎样取法 只要当 0 时 和 S 总趋于确定的极限 I 这时我们称这个极限 I 为函数 f x在区间 a b上b的定积分 记作a f x dx名师归纳总结 第 3 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即bfx dxnx 叫做积分变量a 叫做积分下限b 叫做积分上lim 0i1fix ia其中 f x叫做被积函数f xdx 叫做被积表达式限 a b叫做

10、积分区间定义 设函数 fx在a b上有界 用分点 a x0 x1 x2 xn 1 xn b 把 a b 分成 n 个小区间 x0 x1 x1 x2 xn 1 xn 记 xi xi xi 1i 1 2 n任 i xi 1 xi i 1 2 n 作和nS f i x ii 1记 max x1 x2 xn 假如当 0 时 上述和式的极限存在 且极限值与区间 a b的b分法和 i 的取法无关 就称这个极限为函数 fx在区间 a b上的定积分 记作a f x dxb n即 f x dx lim f i x ia 0i 1b依据定积分的定义 曲边梯形的面积为 A a f x dxT 2变速直线运动的路程为

11、 S T 1 v t dt说明1定积分的值只与被积函数及积分区间有关b而与积分变量的记法无关即bfx dxf t dtbf u duaaan我们就说f x在区间 a b上可积2和fixi通常称为 f x的积分和i13假如函数 f x在 a b上的定积分存在函数 fx在a b上满意什么条件时f x在a b上可积呢？定理 1设 f x在区间 a b上连续就 f x 在 a b上可积就 f x 在a b上可积定理 2设 f x在区间 a b上有界且只有有限个间断点定积分的几何意义b在区间 a b上 当 fx 0 时 积分 a f x dx 在几何上表示由曲线 y f x、两条直线 x a、x b 与

12、x 轴所围成的曲边梯形的面积 当 fx 0 时 由曲线 y f x、两条直线 x a、x b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值b n n ba f x dx lim0 i 1 f i x i lim0 i 1 f i x i a f x dx当 f x既取得正值又取得负值时 函数 fx的图形某些部分在 x 轴的上方 而其它部分在 x 轴名师归纳总结 第 4 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的下方假如我们对面积赋以正负号b在 x 轴上方的图形面积赋以正号在 x 轴下方的图形面积赋以负

13、号就在一般情形下定积分fxdx的几何意义为它是介于 x 轴、函数 fx的图形及两a条直线 x a、x b 之间的各部分面积的代数和用定积分的定义运算定积分积例 1. 利用定义运算定积分1x2dx0解把区间 0 1 分成 n 等份分点为和小区间长度为xiii 1 2n 1xi1 i 1 2 nn n取iii 1 2n 作积分和ninfix iin2 ix iini21111nn1 n 3i ni21 n 31n n1 2 n11 11 21i 166nn由于1当0 时 n所以n1x2 dxlim 0in1fix ilim n1 11 21106nn3利定积分的几何意义求积分: 例 2 用定积分的

14、几何意义求1 0 1x dx解 :函数 y 1 x 在区间 0 1上的定积分是以y 1 x 为曲边以区间 0 1 为底的曲边梯形的面由于以 y 1 x 为曲边以区间 0 1为底的曲边梯形是始终角三角形其底边长及高均为1所以11x dx1111022三、定积分的性质两点规定名师归纳总结 1当 a b 时bf x dx0差 即第 5 页,共 22 页a2当 a b 时bfx dxafx dxab性质 1函数的和 差的定积分等于它们的定积分的和b a fx gx dxbfx dxb a gx dxa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证明 :b a fx g

15、x dxlim 0infigix i1n nlim0 i 1 f i x i lim0 i 1 g i x ib ba f x dx a g x dx性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即b ba kf x dx k a f x dxb n n b这是由于 a kf x dx lim0 i 1 kf i x i k lim0 i 1 f i x i k a f x dx性质 假如将积分区间分成两部分 就在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即bfx dxcfx dxbfx dxaac这个性质说明定积分对于积分区间具有可加性成立值得留意的是不论a b c 的相对位置如何总

16、有等式bfx dxcfx dxbfx dxaac例如当 abc 时由于cfx dxbfx dxcfx dxaab于是有名师归纳总结 bfx dxcfx dxcfx dxcfx dxbfx dx第 6 页,共 22 页aabac性质 4假如在区间 a b上 f x 1 就b a1 dxb a dxba性质 5假如在区间 a b上 f x 0就bfx dx0a ba推论 1假如在区间 a b上 f xgx 就bfx dxbgx dxa baa这是由于 g x f x 0从而bgx dxbfx dxb a g x f xdx0aa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

17、 - 所以即bfx dxbgx dx就aa推论 2 |bfx dx|b a |fx |dxa ba这是由于|f x| f x |f x|所以b a |f x |dxbf x dxb a |fx|dxa|bf x dx|b a |fx|dx|a性质 6 设 M 及 m 分别是函数fx在区间 a b上的最大值及最小值m babf x dxM ba a ba证明由于mf xM所以bmdxbf x dxb a Mdxaa从而m babf x dxM bafx在闭区间 a b上连续就在积分区间 a b上至少a性质 7 定积分中值定理假如函数存在一个点使下式成立bfx dxf ba a这个公式叫做积分中值

18、公式证明由性质 6 使m babf x dxM baa各项除以b a得mb1abfx dxMa再由连续函数的介值定理在a b上至少存在一点fb1abfx dxa于是两端乘以b a 得中值公式bf x dxfba a积分中值公式的几何说明名师归纳总结 应留意不论 ab积分中值公式都成立第 7 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5 2 微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开头作直线运动 在 t 时刻所经过的路程为 St 速度为 v vt S tvt 0就在时间间隔 T1 T2内物体所经过的路程 S 可表

19、示为T 2S T 2 S T 1 及 T 1 v t dtT 2即T 1 v t dt S T 2 S T 1 上式说明 速度函数 vt在区间 T1 T2上的定积分等于 vt的原函数 St在区间 T1 T2上的增量这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？二、积分上限函数及其导数设函数 fx在区间 a b上连续并且设 x 为ab上的一点我们把函数fx在部分区间 a x上的定积分名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - xfx dx取x0就同理可证xfba称为积分上限的函数它是区间 a b上的函数记为xxf x dx或xx

20、f t dtaa定理 1 假如函数 fx在区间 a b上连续就函数xxfx dxa在a b上具有导数并且它的导数为xdxf t dtfxa x0就同理可证xfa如 x b定理 2假如函数 fx在区间 a b上连续就函数xxfx dxa就是 f x在a b上的一个原函数定理的重要意义一方面确定了连续函数的原函数是存在的另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系三、牛顿莱布尼茨公式就第 9 页,共 22 页定理 3假如函数 F x是连续函数fx在区间 a b上的一个原函数bfx dxF bFa a此公式称为牛顿莱布尼茨公式也称为微积分基本公式这是由于 Fx和xxf t dt都是 fx的

21、原函数a所以存在常数C使Fxx C C 为某一常数 由 Faa C 及a 0得 C Fa Fxx Fa由 Fbb Fa得b Fb Fa即名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - bfx dxF bFa 2积分上限函数a证明已知函数 Fx 是连续函数fx 的一个原函数又依据定理xxft dtb Faa也是 fx的一个原函数于是有一常数C使Fxx C a x b当 x a 时有 Faa C而a 0所以 C Fa当 x b 时 Fb所以b Fb Fa即bfx dxF bFa a为了便利起见可把 Fb Fa记成Fx b a于是bfx dxFx baF b

22、F aa进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系例 1. 运算1x2dxa5m/s2 刹车0解由于1 x 是 3x 的一个原函数 2所以1x2dx1x3 1 011 310 3103333例 2 运算3 dx1 1 x2解 由于 arctan x 是112的一个原函数所以x31dx x 2arctanx 3 1arctan3arctan1347112例 3. 运算11 dx x2解11dxln|x|1 2ln 1 ln 2ln 22x例 4. 运算正弦曲线y sin x 在0上与 x 轴所围成的平面图形的面积解这图形是曲边梯形的一个特例它的面积A0sinxdxcosx 0 1

23、1 2例 5. 汽车以每小时36km 速度行驶到某处需要减速停车设汽车以等加速度问从开头刹车到停车汽车走了多少距离？第 10 页,共 22 页解从开头刹车到停车所需的时间名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 t 0 时汽车速度361000m/s 10m/sv0 36km/h3600刹车后 t 时刻汽车的速度为vt v0 at 10 5t当汽车停止时 速度 vt 0 从vt 10 5t 0 得 t 2s于是从开头刹车到停车汽车所走过的距离为s20 v t dt2 0 105 t dt 10 t512t2 010m dt第 11 页,共 22

24、 页2即在刹车后汽车需走过10m 才能停住例 6. 设 fx在0, 内连续且 fx0证明函数Fxx 0 tf tx 0f t dt在0内为单调增加函数证明dxtf t dtxfx dxf tdtfx 故00dxdxFx xfxxf t dt tfx xtf tdtf xxxt f t dt000 xxfdt 2f tdt 2x00按假设当 0 t x 时 f t0 x tf t 0 所以xf t dt0x 0 xtf tdt00从而 F x0 x0这就证明白F x 在0内为单调增加函数例 7. 求lim x 01x ex 2t2dtcos解这是一个零比零型未定式由罗必达法就lim x 01x

25、ex 2t2dtlim x 0cosxet2dtlim x 0sinxecos 2x1cos12x2x2 e提示设x xet dt就cosx cosxet dt11dcosxet2dtdcosx d udueu2sinxsinxecos2dx1dxdudx名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5 3 定积分的换元法和分部积分法一、换元积分法定理假设函数 fx在区间 a b上连续函数 xt满意条件 a b1 a b 2t在 或 上具有连续导数且其值域不越出就有bfx dxf t tdta这个公式叫做定积分的换元公式证明由假设知fx在区间 a b

26、上是连续因而是可积的f tt在区间 或 上也是连续的因而是可积的t的一个原函数假设 Fx是 f x的一个原函数就bfx dxFb Faa另一方面由于 F tF tt f tt所以 F t 是 f t从而因此bfx dxft f t t dtF F Fb Fa第 12 页,共 22 页 t dta名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 提示例 1 运算aa2x2dxa0当 x 0 时 t 0当 x a 时t2第 13 页,共 22 页0解aa2x2dx令xasint2 0acostacostdt0a22 0cos 2tdta22 0 1cos2

27、t dt2a2 t1sin2 t2 01a2224a2x2a2a2sin2tacostdx a cos t提示例 2 运算2 0cos5xsinxdx解 令 t cos x就2cos 5xsinxdx2cos 5xdcosx00令cosxt0t5dt1 0 t5dt1t61 01166当 x 0 时 t 1当x2时 t 0或2cos 5xsinxdx2cos 5xdcosx001cos6 x 2 01cos 621cos6016666例 3 运算0sin3xsin5xdx解0sin3xsin5xdx0sin3 2x|cosx|dx2sin3 2xcosxdx2sin3 2xcosxdx02 0

28、sin3 2xdsinx2sin3 2xdsinx2sin5 2x 22sin5 2x 222 54提示50555x|sin3xsin5xsin3x 1sin2x sin3x|cos2名师归纳总结 在0 ,2上|cos x| cos x在2,上|cos x|cos x例 4 运算4xx21dx02- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解4xx2dx 1令2 x1t3t212tdt13 t23dt2021t21提示11t33 t3127913 22就2312333x2t21dx tdt当 x 0 时 t 1当 x 4 时 t 3例 5 证明如 f x在 a a上连续且为偶函数af x dx2af x dx而a0x dx证明 由于aafx dx0fx dxafx dxa00fx dx令xt0ftdtaft dtafaa00所以afx dxafx dxafx dxa00afx fx dxa2fx dx2afx dx0a0争论名师归纳总结 如 fx在 a a上连续且为奇函数问afx dx？第 14 页,共 22 页a提示如 f x为奇函数就 f x f x 0从而af x dxafxf x dx0a0 dt例 6 如 f x在0 1上连续证明12 0fsinx dx2 0fcosx dx20xfsinx dx20fsin