2022年高考中常见的三角函数题型和解题方法-数学秘诀3.docx

《2022年高考中常见的三角函数题型和解题方法-数学秘诀3.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考中常见的三角函数题型和解题方法-数学秘诀3.docx（11页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第 12 讲 三角函数高考试题中的三角函数题相对比较传统,难度较低,位置靠前,重点突出；因此,在复 习过程中既要留意三角学问的基础性,突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对 称性等性质；以及化简、求值和最值等重点内容的复习,又要留意三角学问的工具性,突出 三角与代数、几何、向量的综合联系,以及三角学问的应用意识；一、学问整合1娴熟把握三角变换的全部公式,懂得每个公式的意义,应用特点,常规使用方法等；熟识三角变换常用的方法化弦法,降幂法,角的变换法等；并能应用这些方法进行三角 函数式的求值、化简、证明；把握三角变换公式在三角形中应用的特点

2、,并能结合三角形的 公式解决一些实际问题2娴熟把握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它讨论复合函数 的性质；娴熟把握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的外形、特点,并会用五 点画出函数 y A sin x 的图象；懂得图象平移变换、伸缩变换的意义,并会用这两种 变换讨论函数图象的变化二、高考考点分析2004 年各地高考中本部分所占分值在1722 分,主要以挑选题和解答题的形式显现；主要考察内容按综合难度分,我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简洁运用,解决有关三角函数基本性质的问题；如判定符号、求值、求周期、判定奇偶性等；其次层次：三角函数公式变形

3、中的某些常用技巧的运用；如帮助角公式、平方公式逆用、切弦互化等；第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有 界性等特殊性质,解决较复杂的函数问题；如分段函数值,求复合函数值域等；三、方法技巧1. 三角函数恒等变形的基本策略；（1）常值代换：特殊是用“1” 的代换,如（2）项的分拆与角的配凑；如分拆项：sin1=cos 2 +sin 2 =tanx cotx=tan45 等；2x+2cos 2x=sin 2x+cos 2x+cos 2x=1+cos 2x；配凑角： =（ + ） , =2（3）降次与升次； （4）化弦（切）法；2等； ,这里帮助角所在象限由a、（

4、4）引入帮助角；asin +bcos =a22 bsin +b 的符号确定,角的值由tan=b 确定；a2. 证明三角等式的思路和方法；（1）思路：利用三角公式进行化名,化角,转变运算结构,使等式两边化为同一形式；（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法；3. 证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利 用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等；4. 解答三角高考题的策略；（1）发觉差异：观看角、函数运算间的差异,即进行所谓的“ 差异分析”；（2）查找联系：运用相关公式,找出差异之间的内在联系；（3）合理转化：挑选恰当的公

5、式,促使差异的转化；四、例题分析名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 值. 例 1已知tan2,求（ 1）cossin；（2）sin2sin.cos22 cos的cossin解：（1）cossin1sin1tan12322；cos sincossin11tan12coscos2 2 sin2sincos22cos22sin24sincos22sin2cossin2sin222. ,进行弦、切互化,2 cossin2cos 12132 cos说明：利用齐次式的结构特点（假如不具备,通过构造的方法得到）就会使解题过程简化；名

6、师归纳总结 例 2求函数y1sinxcosxsinxcos 2的值域；xR ,有第 2 页,共 6 页解：设tsinxcosx2 sinx2,2,就原函数可化为4yt2t1t123,由于t2,2,所以24当t2时,y max32,当t1时,ymin3,24所以,函数的值域为y3,2；4例 3已知函数f x 4sin2x2sin 2x2,xR；（1）求f x 的最小正周期、f x 的最大值及此时x 的集合；（2）证明：函数f x 的图像关于直线x对称；8解：f x 4sin2x2sin 2x22sinx21 2sin2x 2sin 2x2cos 2x22 sin2x41所以f x 的最小正周期

7、T ,由于 xR ,所以,当 2x2k,即xk3 时,f x 最大值为 2 2 ；4282证明：欲证明函数f x 的图像关于直线x对称,只要证明对任意8fxfx 成立,88x ,由于fx 22 sin2x2 2 sin2 2 2 cos28842- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fx2 2 sin2x2 2 sin2 22 cos2x ,8842所以fxfx 成立,从而函数f x 的图像关于直线x对称；888例 4 已知函数 y= 1 cos 2x+ 3 sinx 2 2（1）当函数 y 取得最大值时,求自变量cosx+1 （xR）, x 的集合；名师

8、归纳总结 - - - - - - -（2）该函数的图像可由y=sinxx R的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（1）y=1 cos 22x+3 sinx 2cosx+1=1 2cos 42x1+ 1 + 43 （2sinx 4cosx ）+1 =1 cos2x+ 43 sin2x+ 45 = 41 cos2x sin 26+sin2x cos6+54=1 sin2x+ 26+54所以 y 取最大值时,只需2x+6=2+2k , （kZ）,即 x=6+k , （ kZ）；所以当函数y 取最大值时,自变量x 的集合为 x|x=6+k ,k Z （2）将函数 y=sinx 依次进行如下变换：（

9、i ）把函数 y=sinx 的图像向左平移6,得到函数y=sinx+6 的图像；（ ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原先的1 倍（纵坐标不变）2,得到函数y=sin2x+6 的图像；（ iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原先的1 倍（横坐标不变）2,得到函数y=1 sin2x+ 26 的图像；（iv ）把得到的图像向上平移5 个单位长度,得到函数 4y=1 sin2x+ 26+5 的图像；4综上得到 y= 1 cos 2x+ 3 sinxcosx+1 的图像；2 2说明： 此题是 2000 年全国高考试题, 属中档偏简洁题, 主要考查三角函数的图像和性质；这类题一般有两种解法：一是化成

10、关于sinx,cosx的齐次式,降幂后最终化成y=a2b2sin x+k 的形式,二是化成某一个三角函数的二次三项式；此题（1）仍可以解法如下：当cosx=0 时, y=1；当 cosx 0 时, y=1cos2xx3 sin22 cosxcosx+1=13 tan22 tan xx+1 22sin2x1化简得： 2y 1tan2x3 tanx+2y 3=0 tanx R, =38y 12y 3 0, 解之得：3 y474y max=7 ,此时对应自变量 4x 的值集为 x|x=k +6,k Z 例 5已知函数fxsinxcosx3cos2 x.333第 3 页,共 6 页精选学习资料 - -

11、 - - - - - - - （）将 fx 写成Asinx的形式,并求其图象对称中心的横坐标；（）假如ABC的三边 a、b、 c 满意 b2=ac,且边 b 所对的角为x,试求 x 的范畴及此时3,函数 fx 的值域 . 解：fx1sin2x3 1cos2x1sin2x3cos2x3sin2x3323232323232（）由sin2x3=0 即2x3kkz得x3 k21kz33即对称中心的横坐标为3k1,kz2（）由已知b2=ac cosxa2c2b2a2c2ac2acac1,2ac2 ac2 ac21cosx1,0x3,32x35239|32|52|,sin3sin2x31,3sin2x31

12、9332即fx的值域为31,3. 2综上所述,x 0 , ,f x 值域为 3 1, 3 . 3 2说明：此题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等学问,仍需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题,有利于培育同学的运算才能,对学问进行整合的才能；例 6在ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C的对边,且cosC3 ac,cosBb1求 sin B 的值；名师归纳总结 2如b4 2,且 a=c,求ABC 的面积；0,所第 4 页,共 6 页解： 1由正弦定理及cosC3ac,有cos cosC3sinAsinC,cosBbBsinB即 sinBcosC3sinAcosBsinCcos

13、B ,所以 sinBC3sinAcosB ,又由于 ABC , sinBCsinA ,所以 sinA3sinAcosB ,由于 sinA以cosB1,又 0B ,所以sinB1cos2B2 2；332在ABC 中,由余弦定理可得a2c22ac32,又 ac ,3所以有4a232,即a224,所以ABC 的面积为3S1acsinB1a2sinB8 2；22例 7已知向量a2cos,2sin , = sin,cos ,xa t23 b,ykab,且x y0,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1求函数kf t 的表达式；名师归纳总结 2如t 13, ,求f

14、t 的最大值与最小值；630,第 5 页,共 6 页解： 1a24,b21,a b0,又x y0,所以x ya t23 kabka2t23 b2tk t23 a b所以k1t33t ,即kf t 1t33t ；44442由1可得,令f t 导数3t230,解得t1,列表如下：44t 1 1,1 1 1, 3 f t 导数0 0 + f t 极大值递减微小值递增而f 11,f11,f39,所以f t max9,f t min1；22222例 8已知向量acos,sin, =cos,sin |,ab|2 5,51 求 cos 的值；2 2如0,0,且sin5,求sin的值；2213解： 1由于ac

15、os,sin , =cos,sin ,所以abcoscos,sinsin,又由于|ab|2 5,所以coscos2sinsin22 5,55即22cos4,cos 3；552 0,0 0,22又由于cos 3,所以sin4,55sin5,所以cos12,所以sinsin131365例 9平面直角坐标系有点P ,1cosx,Qcosx1, ,x4,4（1）求向量 OP 和 OQ 的夹角的余弦用 x表示的函数f x ；（2）求的最值 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（ 1）OPOQOPOQcos,名师归纳总结 cosxcosx 12 cosxcos41x2,322,第 6 页,共 6 页cos12cosxx2 cos即fx12cosxx4xcos2（2）coscosx21x,又cosxcoscosarccos32. 2cos2321, ,min0,max说明：三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻留意；- - - - - - -