2023届高考数学专项复习放缩法比较大小（解析版）.pdf

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1、2023届高考数学专项复习放缩法比较大小2023届高考数学专项复习放缩法比较大小1.已知a=log328,b=0.02，c=sin1，则a，b，c的大小关系是()A.cbaB.cabC.abcD.acb2.已知 f x是定义在 0,+的增函数，设a=f e-78,b=f ln98,c=f18，则a,b,c的大小关系为()A.cbaB.acbC.bcaD.cabcdB.abdcC.bacdD.badc4.已知a=e0.1，b=ln1.22+1，c=1.2，则它们的大小关系正确的是()A.bacB.cbaC.acbD.abc5.已知a=tan370.1，b=log2sin8，c=log2cos37

2、，则a，b，c的大小关系是()A.acbB.bacC.cabD.abc6.已知a=11111，b=e-89100，c=ln111100，则a，b，c的大小关系是()A.bacB.bcaC.cabD.cba7.已知a=sin20,b=720,c=13，则它们的大小关系正确的是()A.cabB.acbC.cbaD.bca8.已知a=20.3,b=0.93.1,c=ln6，则a，b，c的大小关系为()A.abcB.cbaC.bcaD.ba2bB.b2aC.ab2D.ba210.已知a=e-0.02，b=0.01，c=ln1.01，则()A.cabB.bacC.abcD.bca11.已知函数 f x=

3、log39x+9-x，设a=f910，b=f 1-e-910，c=f ln11e10，则a，b，c的大小关系为()A.abcB.cbaC.bacD.cabcB.acbC.bacD.bca13.已知a=0.3，b=0.92，c=sin0.1，则a，b，c的大小关系正确的是()A.abcB.cabC.acbD.bac14.已知a=4ln2，b=e2，c=12-12ln 2e4，则a，b，c的大小为()A.acbB.abcC.bcaD.cab15.设a=e1.1-2 7，b=1.4-1，c=2ln1.1，则()A.abcB.acbC.bacD.cab16.若x，y(0,+)，x+lnx=ey+sin

4、y，则()A.ln(x-y)0C.xeyD.ycbB.abcC.bacD.cba18.若a=e0.2，b=1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为()A.abcB.acbC.bacD.cba参考答案：参考答案：1.D【分析】由对数的运算法则求出a,然后根据指数函数与正弦函数的单调性分别对b,c进行放缩，最后求得答案.【详解】由题意，a=log328=log2523=35=0.6，b=0.020=1，sin4sin1sin322c32，则ace-7818ln980，再结合函数 f x的单调性，即可求解.【详解】令h x=lnx-x+1,x(0,1)，可得hx=1x-1=1-xx，当x(0

5、,1)时，hx0，h x单调递增，又由h 1=0，所以h x0，即lnxx-1，所以ln980，g x单调递增，又由g 0=0，所以g x0，即exx+1，所以e-78-78+1=18，所以1e-7818ln980，因为 f x是定义在 0,+的增函数，所以 f e-78 f18 f ln98，即bc0，则函数 f(x)在(0,+)上单调递增，即ex-(x+1)0在(0,+)上恒成立，即e0.11.1；令g(x)=2lnxx,x 0,e，g(x)=2-2lnxx20，即函数g(x)在 0,e上单调递增，则g(3)=ln33g(2)=2ln22=ln2bdc故选：B4.C【分析】构造函数 f x

6、=lnx+1-x可证bc，又ln 1.2+11.2 1.1，可得ln 1.2 c【详解】由b=ln1.22+1=ln 1.2+1令 f x=lnx+1-x，则 fx=1x-1，当x 0,1，fx0；当x 1,+，fx0；所以 f x=lnx+1-x在 0,1上单调递增，在 1,+上单调递减，且 f 1=0则 f1.20，因此ln 1.2+1-1.2 0，所以bc又因为c=1.2 1.1，所以ln 1.2+11.2 1.1，得ln 1.2 0.1故1.2 c故选：C5.D【分析】根据指数函数的性质结合三角函数值的大小可判断a=tan370.1的范围，利用对数函数的单调性结合三角函数相关知识可比较

7、b=log2sin8，c=log2cos37，进而可得答案.【详解】4371，所以a=tan370.11，又0cos37=sin2-37=sin14sin81，则c=log2cos37b=log2sin8bc，故选：D.6.B【分析】记 f x=ex-x-1，记g x=lnx-x+1，利用导数即可得到结论.【详解】记函数 f x=ex-x-1，可得 fx=ex-1.令 fx0，解得x0；fx0，解得x-89100+1=1110011111，即ba.记g x=lnx-x+1，可得gx=1x-1.令gx0，解得0 x1；gx1，所以g x=lnx-x+1在 0,1单增，在 1,+单减，所以g xg

8、 1=0，即lnxx-1，所以-lnx1-x，当x=100111时，有ln111100=-ln1001111-100111=11111，即ca.所以c=ln111100111100-1=11100ca.故选：B.7.A【分析】由x0时，sinx0时，sinxx，所以sin993x在 0,6恒成立，所以sin913，所以cab，故选：A8.D【分析】中间值比大小【详解】由0b1，1a20.51.5，又1.5=lne1.5=ln e3ln 27 ln 36=ln6=c，即ba2，b2；在构造函数 f x=6x+8x-10 x，x2，再根据换元法和不等式放缩，可证明当x2时，f x=6x+8x-10

9、 x43log22 2+13=4332+13=732，所以a2；由6a+8a=10b且a2，所以6a+8a36+64=100，所以b2，令 f x=6x+8x-10 x，x2，令t=x-20，则x=t+2，则 f x=6x+8x-10 x，x2等价于g t=366t+648t-10010t，t0；又g t=366t+648t-10010t1008t-10010t2时，f x=6x+8x-10 x0，故6a+8a=10bb2故选：C10.C【分析】根据指数函数的性质判断a,b，构造函数 f(x)=ex-1-x，由导数确定单调性得 f(0.01)f(0)，再由对数性质得b,c大小，从而得结论【详解

10、】由指数函数的性质得：e-0.02e-12=1e130.01，设 f(x)=ex-1-x，则 f(x)=ex-10在x0时恒成立，所以 f(x)在(0,+)上是增函数，f(x)是连续函数，因此 f(x)在0,+)上是增函数，所以 f(0.01)f(0)，即e0.01-1-0.010，即e0.011.01，所以0.01ln1.01，所以abc故选：C11.D【分析】令F x=f x+1=log33x+3-x+1，可得F x为偶函数，且在 0,+上单调递增，由题可得a=F110，b=F e-910，c=F ln1110，构造函数g x=ex-x-1及t x=lnx-x+1 x0，利用导函数判断a,

11、b,c的大小可得答案.【详解】f x=log39x+9-x，f x+1=log39x+1+9-x+1=log39x+1-x+1=log33x+3-x+1令F x=f x+1=log33x+3-x+1,xR，F-x=log33-x+3x+1=F x，F x为偶函数，令y=3x+3-x，设x1x20，则y1-y2=3x1-3x2+3-x1-3-x2=3x1-3x23x1+x2-13x1+x2，因为x1-x20，x1+x20，3x1+x21，所以 3x1-3x23x1+x2-13x1+x20，所以y1y2，所以y=3x+3-x在 0,+是增函数，又y=log3x为增函数，所以F x=log33x+3

12、-x+1在 0,+上为增函数，所以a=f910=F-110=F110，b=f 1-e-910=F-e-910=F e-910，c=f ln11e10=F ln1110由g x=ex-x-1，得gx=ex-1，当x0时gx0；当x0时gxx+1 x0，故e-910-910+1=110，ba，令t x=lnx-x+1 x0，tx=1x-1=1-xxx0，当x1时tx0；当0 x0，所以t xt 1=0，当且仅当x=1时取等号，lnxx-1 x1，ln1110c.综上bac.故选：D【点睛】本题考查了比较大小的问题，比较大小的方法有：(1)根据单调性比较大小；(2)作差法比较大小；(3)作商法比较大

13、小；(4)中间量法比较大小.12.B【分析】结合已知条件，比较a4和b4的大小，进而可得到a和b的大小，然后利用介值比较a与c的大小，利用介值65和对数函数性质可得b和c的大小，进而得出答案.【详解】由a4=9，b4=2，可知ab1，又由e28，从而e2 2=232，可得c=log2e32a，因为b4-654=2-12966250，所以1b2.75-640，从而e526，即e265，由对数函数单调性可知，c=log2elog2265=65，综上所述，acb.故选：B.13.B【分析】作差法比较出ab，构造函数，利用函数单调性比较出ca，从而得出cab.【详解】a-b=0.3-0.92=0.3-

14、0.920.33-0.92=0，所以a-b0，故ab，又 f x=sinx-3x，则fx=cosx-3在x 0,6上单调递减，又 f0=-30，f6=32-30，在x x0,6时，fx0，所以x012，又因为 f 0=0，所以当x0,x0时，f x=sinx-3x0，其中因为1100，故sin0.10.3，即cab.故选：B14.B【分析】利用对数的性质以及不等式放缩进行大小比较.【详解】ln4112ln2124ln242a4e2.7187e287b12-1472=494cba 故A，C，D错误.故选：B.15.A【分析】利用幂函数和指数函数的性质判断的范围，a利用基本不等式判断b的范围，构造

15、新函数并利用导数讨论函数的单调性求出c的范围，进而得出结果.【详解】由e328，得e328，即e322 7，所以e1.1e1.5=e32，所以e1.12 7，则e1.1-2 7 0，即a0；由1.4-1=1.41.21.2-11.41.2+1.22-10.184，即b0)，则 f(x)=1x-4(x+1)2=(x-1)2x(x+1)20，所以 f(x)在(0,+)上单调递增，且 f(1)=0，所以当x(1,+)时 f(x)0，即lnx2(x-1)x+1，当x(0,1)时 f(x)0，即lnx1，则ln1.12 1.1-11.1+10.095，所以c=2ln1.10.19，即c0.19，综上，a

16、bsiny可得x+lnx0，则 fx=1-cosx0(不恒为零)，故 f x在(0,+)上为增函数，故 f x f 0=0，所以xsinx，故ysiny在(0,+)上恒成立，所以x+lnxey+y=ey+lney，但g x=x+lnx为(0,+)上为增函数，故xey即lnx5e+21+e-siny，矛盾，故ye+1即y-x1，此时ln(y-x)0，故B错误.取y=1，考虑x+lnx=e+sin1，若x2，则x+lnx2+ln23e+122，此时x-y1，此时ln(x-y)0，故A错误，故选：C.【点睛】思路点睛：多元方程隐含的不等式关系，往往需要把方程放缩为不等式，再根据函数的单调性来判断，注

17、意利用同构来构建新函数.17.B【分析】先比较a与c的大小，通过构造出 f x=lnxx，然后根据单调性可得ac；再比较b和a，通过构造g x=x-ln x+1进行适当放缩即可；最后比较b和c，也是运用g x=x-ln x+1函数进行适当放缩即可.【详解】设 f x=lnxx则有：fx=1-lnxx2令 fx0，解得：0 xe故 f x在 0,e上单调递增；令 fxe故 f x在 e,+上单调递减.可得：f 22 f 20，即ln2222ln2020，即20ln22c设g x=x-ln x+1x0则有：gx=1-1x+1=xx+10则g x在 0,+上单调递增g xg 0=0故xln x+1x

18、0b-a=21 ln21-ln20-ln20=21ln 1+120-ln202120-ln200故有：ba同理：cbc故选：B【点睛】(1)对于实数比较大小，我们通常观察式子结构，构造出对应的函数，然后利用函数的单调性；(2)作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小；(3)当直接无法比较的时候，往往需要选取适当的“媒介”数(通常以“0”或“1”为媒介)，分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小.18.B【分析】构造函数 f x=ex-x-1 x0，利用导数可得a=e0.21.2b，进而可得e1.23.2，可得ac，再利用函

19、数g x=lnx-2 x-1x+1，可得ln3.21.1，即得.【详解】令 f x=ex-x-1 x0，则 fx=ex-10，f x在 0,+上单调递增，a=e0.20.2+1=1.21.2=b，a=e0.21.2=lne1.2，c=ln3.2，e1.25=e6 2.76387.4,3.25335.5，e1.23.2，故ac，设g x=lnx-2 x-1x+1，则gx=1x-2 x+1-2xx+12=x-12x x+120，所以函数在 0,+上单调递增，由g 1=0，所以x1时，g x0，即lnx2 x-1x+1，ln3.2=ln2+ln1.62 2-12+1+2 1.6-11.6+1=15391550=1.1，又11.21.21,1b=1.2 1.1b，故acb.故选：B.【点睛】本题解题关键是构造了两个不等式exx+1 x0与lnx2 x-1x+1(x1)进行放缩，需要学生对一些重要不等式的积累.