2022年高等数学课本习题答案第章函数与极限习题详解.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第一章 函数与极限习题详解第一章 函数与极限习 题 1-1 1求以下函数的自然定义域：（1）y112x2；2 且x21x解：依题意有1x20,就函数定义域D x x xx20（2）yarccos2x1x36；xx21,就函数定义域D x 2x1解：依题意有3x2x60（3）ylnx23 x2；x|1解：依题意有2 x3 x20,就函数定义域D x 13（4）y 2 x x；解：依题意有 x 3x 0,就函数定义域 D x x | x 且 x 0, 1（5）y sinx 11 , x 1,2,x 1;解：依题意有定义域 D x x | x（6）y

2、 arctan 13 x . xx 0解：依题意有,就函数定义域 D x x x 3 且 x 03 x 02已知 f x 定义域为 0,1 ,求 f x 2, f sin , f x a , f x a f x a a 0 的定义域解：由于 f x 定义域为 0,1 ,所以当 0 x 21 时,得函数 f x 2 的定义域为 1,1 ；当 0 sin x 1 时,得函数 f sin x 定义域为 2 ,2 k 1；当 0 x a 1 时,得函数 f x a 定义域为 a , a 1；当 0 x a 1时,得函数 f x a f x a 定义域为：（ 1）如 a 1,x a ,1 a ；0 x

3、a 1 2（2）如 a 1,x 1；（3）如 a 1, x2 2 23设 f x x 12 1a 2 a2 ax xx 2 , 其中 a 0, 求函数值 f 2 , f 1解：由于 f x x 12 1a 2 a2 ax xx 2,就f 2 12 1 a 12,f 1 12 1 a 1 0 , 1,4 a a 2 a 1 a 1 2 ,0 1110 时,不等式|an2| 104成立93N 时,|a n2 3|（3）要使|an2|成立,n193,取N193,那么当 n3成立 . 2依据数列极限的定义证明：（1）lim n10；|10 |（ 2）lim nn231N1, 所以,对任意0 ,n.n解

4、：（1）0 , 要使11, 只要取n.n.n4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第一章 函数与极限习题详解存在 N 1,当 n N 时,总有 |n 1. 0|,就 lim n n 1.0 .2 2 0 , 要 使 | nn 31|n n 2 33 n 2 2n 2 , 即 n2 3, 只 要 取23 3 n 3N ,所以 ,对任意的 0, 存在 N , 当 n N , 总有 | 1| , 就2 2 n2n 3l i m n n . 13如 lim x n a,证明 lim | x n | | a 并举例说明：假如

5、数列 | x n | 有极限,但数列 nxn n未必有极限证明 : 由于 limn x n a , 所以 0 , N , 当 n N 时, 有 | x n a | .不妨假设 a0, 由收敛数列的保号性可知 : N , 当 n N 时 , 有 x n 0 , 取 N max N 1 , N 2 , 就对0 , N , 当 n N 时, 有 | | x n | a | | | n | a .故 lim | n x n | | a . 同理可证 a 0时, lim |n x n | | a 成立 .n反之 , 假如数列 | x n | 有极限 , 但数列 | x n | 未必有极限 .如：数列 n

6、x 1 , | x n | 1,明显 lim |n x n | 1 , 但 lim n x不存在4设数列 x n 有界,又 lim n y n 0证明： lim n x y n 0证明 : 依题意 ,存在 M0, 对一切 n 都有 | x n | M , 又 lim n y n 0 , 对 0 , 存在 N , 当 n N 时 , | y n 0 | , 由于对上述 N , 当 n N 时 , | x y n 0 | | x y n | M | y n | M ,由的任意性 , 就 limn x y n 05设数列 x n 的一般项 x n 1n cos n2 3,求 lim n x解: 由于

7、 lim x 1n 0 , | cos n2 3| 1 , 所以 lim x 1n cos n2 30 . 6对于数列 x n,如 x 2 k 1 A k ,x 2 k A k ,证明：x n A n 证明 : 由于 lim k x 2 k 1 A , 所以 , 0 , N 1 0 , 当 k N 时,有 | x 2 k 1 A | , 同理 , 0 , N 2 0 , 当 k N 时 , 有 | x 2 k A |取 N =max N 1 , N 2 , 0 , 当 n N 时 , | x n A | 成立 , 故 x n A n 习 题 1-3 1当x1时,yx234问等于多少,使当|x1

8、|时, |y4|0.01？解：令|x1|1,就3 2|x1|5,要使22只要 |x1|0.004|y4 | |x234 | |x21| |x1|x51| | x2时, | y1|0.01,所以取0.004,使当|x1|4 | 0.01成立0.001？2当 x|y时,y2x21|2问 X 等于多少,使当|x|X 时, |y2 |x232x2解：要使2 | |12 |x273|M 时,总有 | sinx x0 | ,故 x lim sinx x0 .4用 X 或 语言,写出以下各函数极限的定义：（1） limx f x 1；（2） lim x f x a ；（3） limx af x b ；（4）

9、x lim3 f x 8解: 1 0, M 0 , 当 x-M 时, 总有 | f 1| ;2 0, M 0 , 当 | x | M , 总有 | f x a | ; 3 0, 0 , 当 a x a 时 , 总有 | f x b | ; 4 0, 0 当 3 x 3 时, 总有 | f x 8|5证明 : lim | x 0 x | 0 . 证明 : 由于x lim |0 x |x lim0 x 0 , x lim |0 x |x lim0 x 0 ,所以 lim | x 0 x | 0 . 6证明：如 x 及 x 时,函数 f x 的极限都存在且都等于 A ,就 limx f x A 证

10、明 : 由 于 lim x f x A ,就 对 0 , M 1 0 , 当 x M 1 时 , 有 | f x A | 又x lim f x A,就 M 2 0 ,当 x M ,有 | f A | .取 M max M 1 , M 2 那么对 0 ,当| x | M 时,总有 | f x A | ,故有 lim x f x A.习 题 1-4 1依据定义证明：（1）yx21为当x1时的无穷小；x1（2）y1 sin xx为当 x时的无穷小；6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第一章函数与极限习题详解, 有（3）

11、y13x为当x0时的无穷大x证明 : lim x 11 00,由于|x210 | |x1|,取,就当 0 |x1|时, 总有x0,故x1x21x12 0,由于|1sinx0 |1| sinx|1|,取M1, 就当 |x|M 时, 总有xxx|1sinx0 |sinx|1|, 故lim x1sinx0. x|x|xx3 M0, M13,当 0|x|时,总有|13 x| |13|1|3M,所以xxxlim x 013 x. x2函数yxsinx 在 0, 内是否有界？该函数是否为x时的无穷大？解答 : 取x n2 ,就yn0,因此当x n2 n时, yn0x n故函数yxsinx 当 x时,不是无

12、穷大量下证该函数在0,内是无界的 . M0,x n2 且xnn, 2y n2 sin 2 2 , 取N0M1, x02N00,2222y n2N0M ,所以yxsinx 是无界的 .23证明：函数y1cos1在区间 0,1 上无界,但这函数不是x0时的无穷大xx证明 : 令1 xt,类似第 2 题可得习 题 1-5 1求以下极限：（1）lim n3 n24n1 1；n；（2）lim n1111；n3n21 22 3n n（4）lim n3nn 21；（3）lim n12n2n24；n2n 31n 2（5）lim x 1x22 xx13（6）lim x 2 x 2 x5 x 13；2（8）lim

13、 x x 2 2 x5 x 13；2（10）lim x 1 x 2 3 x4 x 11；2（12）lim x 5 x 3 x3 x x1；5（7）lim xx2xx21；（9）lim h 0x3 h x3；h1（11）lim x 1133x1x7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - （13）lim x 1313x3x31x x；第一章函数与极限习题详解lim xx31；3 x27（14）1x12x（15）lim2 xx6；（16）lim x 3x3x2x3解: 1 lim n32 n4n1 = lim n31101

14、nn11n2 n4n 133 n2 n11nn32 lim n1111 = lim n1 11111 22 3n n223= lim1 nn1 113 lim n12n=lim n1n n112n2n2n2n224 lim nn 3n 21=lim n1 2 n322 3n11x12n 31n 2335 lim x 1x214=lim x 1x=lim x 12 x11 21x2 x5 xx1x4x436 lim x 2x2x313=2 23 21335x527 x limx2xx21=x limx2x2 x1x2x2 xxx211=x limx2x1x21=x lim11xx111xx28

15、lim x2x213=lim x1251223 hx3=lim3 h 0x32 x32 x2 3 x hx25 x9 lim h 03xx 33 xh3xhh232 x xh3x=lim h 0hh10 lim x 113311x=lim x 131x32 x=lim x 111x2xxx1xx2x1=lim x 112x21xx11 lim x5x2x1=lim x5131 2 x10x3 x3 xx2x312 lim x 131x31x1x1x8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即a第一章函数与极限习题详解l

16、im x 0f x ,=lim x 1 1x31x 1x213x31x 231x1x 3112 x 3 1x1x31x1x1x312 x 1xx=lim x 12 1x 231xx1 1x 312 x =6 2 2 1x13 lim x2x31=lim x2x21xx14 lim2 x3 xx3x6=lim x3 x2326lim x 3x13x2x315 lim x 3x323x27=lim x 33 xx27x3x32设f x xe,a ,x0,问当 a 为何值时,极限lim x 0f x存在2xx0.解：由于x lim 0f x x lim 0ex1, lim x 0f x x lim2

17、 0xaa ,所以,当lim x 0f x 1时,lim x 0f x存在3求当 x1时,函数x21ex11的极限x1解：由于lim x 1x21e1lim x 1x1 e110,x1xx1lim x 1x21e1x lim 1x1 e11,x1xx1所以lim x 12 x1e11不存在；xx14已知x lim 5xax2bxc1,其中a,b,c 为常数,求a 和 b 的值解：由于lim 5 xxax2bxclim x5xax25bxc5xax2bxcxax2bxc25= lim x25a x2bxcx lim25a xbbc1,所以25ba0,就ax5a5a1b105xax2bxccxx25运算以下极限：（1）lim x 0xsin10；（2）lim xsinxlim x1 xsinx0;0xx（3）lim x1sin10；（4）lim xarctanx