2022年不等式及不等式选讲【概念方法题型易误点及应试技巧总结】.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结不等式及不等式选讲（4-5 ）一不等式的性质 ：就a1同向不等式可以相加； 异向不等式变向相加 ：如a bc ,d,就 a c b d（如ab cd ,cbd ）,但异向不等式不行以直接相加；同向不等式不行以相减；2左右同正不等式：同向的不等式可以相乘,但不能相除； 异向不等式取倒相乘 ,但不能相除：如ab0,cd0,就 acbd （如ab0,0cd ,就a1b1 d）；nb ；c3左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：如ab0,就ann b 或na4

2、如ab0, ab ,就1 a1；如ab0, ab ,就1 a1；如0；bb（1）对于实数a,b ,c中,给出以下命题：2bc2,就ab；如ab,就ac2bc2；如acb0 就11；如ab0,就a2abb2；如aab如ab,0就ba；如ab0 ,就ab；abb,11,就a0,b 如 c a b ,0 就 ac其中正确的命题是 _ acbb；如aab（答：）；（2）已知1xy1,1xy3,就 3xy 的取值范畴是 _ 3 xy7）；：（答： 1二不等式大小比较的常用方法1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判定差的符号得出结果；2作商（常用于分数指数幂的代数式） ；3分析法；4平方法；5分子（或分

3、母）有理化；6利用函数的单调性；7查找中间量或放缩法；at21（t18图象法； 其中比较法（作差、作商）是最基本的方法；如（1）设a0 且a,1t0,比较1loga和logat21的大小2（答：当a1时,1 2logatlogat21（t1 时取等号）；当 0a1 时,12logatlog时取等号）；（2）设a2,paa12,q2a24a2,试比较p,q的大小2；当x4（答： pq ）；（3）比较 1+log x3与2logx2 x0 且x1 的大小（答：当 0x1 或x4时,1+log x32logx2；当1x4时,1+log x32logx333细心整理归纳 精选学习资料 - - - -

4、- - - - - - - - - - - 第 1 页,共 5 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -时, 1+log x3 2logx2）学习必备欢迎下载三利用基本不等式求函数最值 小” 这 17 字方针； 如（1）以下命题中正确选项时,你是否留意到： “ 一正二定三相等,和定积最大,积定和最A、yx1 x的最小值是 2 （答： C）；B、y2 x23的最小值是 2 x2C、y23x4x0的最大值是 24 3xD、y23x4x0的最小值是 24 3x（2）如x2y1,就 2x4y 的最小值是 _ （答：

5、2 2 ）；（3）正数 x y 满意 x 2 y 1,就 1 1 的最小值为 _ x y（答： 3 2 2 ）；2 2四. 常用不等式 有：（1）a b a b ab 2 依据目标不等式左右的运算结构选用 ；2 2 1 1a b2 2 2（2）a、b、c R,a b c ab bc ca （当且仅当 a b c 时,取等号 本质就是排序不等式你看出来了吗？ ）；（3）如 a b 0, m 0,就ba ba mm（糖水的浓度问题）；如 假如正数 a 、 b 满意 ab a b 3,就 ab的取值范畴是 _ （答： 9,）五证明不等式的方法 ：比较法、分析法、综合法和放缩法比较法的步骤是：作差（商

6、）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判定符号或与1 的大小,然后作出结论； . lgblgc；常用的放缩技巧有：1n1111111n111（裂项法 ）nn nn2n nnk1kk1k21kk1kkk1（有理化 ）11如（1）已知abc,求证：a2bb2cc2aab2bc2ca2；2 已知a,b,cR,求证：a2b2b2c2c2a2abcabc ；（3）已知a b x yR ,且1 a1 , x by,求证：xxayyb；4 如 a、b、c 是不全相等的正数,求证：lga2blgbclgc2alga2（5）已知a,b ,cR,求证：2 a b22 b c22 c a2c ；abc ab6 如n

7、* N ,求证：n2 11 n1n21n ；7 已知 |a| |b ,求证：|a|b|a|b|；|ab|ab| 第 2 页,共 5 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（8）求证：111学习必备欢迎下载并使1 2 2；n：根轴法：其步骤是：（1）分解成如干个一次因式的积,222 3六简洁的一元高次不等式的解法每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并留

8、意奇穿偶不穿 ；（3）依据曲线显现f x 的符号变化规律,写出不等式的解集； 如集为（1）解不等式x1x220；（答： x x1或x2）；（2）不等式x2x22 x30的解集是 _ （答： x x3或x1）；（3）设函数f x 、g x 的定义域都是R,且f x 0的解集为 x|1x2,g x 0的解,就不等式f x g x 0的解集为 _ x2（答： ,12, ）；（4）要使满意关于 x 的不等式2x29xa0（解集非空）的每一个x 的值至少满意不等式4x30和x26x80中的一个,就实数a 的取值范畴是 _. 七分式不等式的解法 ：分式不等式的一般解题思路是（答：7, 81 ）8先移项 使

9、右边为 0,再通分 并将分子分母分解因式, 并使 每一个 因式中 最高次项 的系数为正 ,最终用根轴法求解；解分式不等式时,一般不能去分母,但 分母恒为正或恒为负时可去分母 符号可判定,也可去分母） ；如（或者说在已知条件给出的范畴内分母（1）解不等式2 x52x31（答： 1,12,3 ）；x（2）关于 x 的不等式axb0的解集为,1,就关于x 的不等式axb0的解集为x2_ 八肯定值不等式的解法：（答：,1 2 ,）.1零点分段法（ 最终结果应取各段的并集）：如 解不等式|23x|2|x1|42（答： xR）；2利用肯定值的定义；3数形结合； 如解不等式 |x|x1|3（答： ,12,

10、）4两边平方： 如如不等式 | 3 x 2 | | 2 x a 对 x R恒成立,就实数a的取值范畴为 _；（答： 4）3九含参不等式的解法 ：求解的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类争论是关键”留意解完之后要写上： “ 综上,原不等式的解集是 ”；留意：按参数争论,最终应按参数取值分别说明其解集；但如按未知数争论, 最终应求并集即 争论变量一样时先交后并, 否就不予交并 . 如细心整理归纳 精选学习资料 第 3 页,共 5 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -

11、- - - - - - -（1）如loga201学习必备欢迎下载,就 a的取值范畴是 _ 3a2）；（答：a1或32（2）解不等式 axx a R ax 1（答：a 0 时, x | x 0；a 0 时, x x 1 或 x 0；a 0 时, x | 1x 0 或 x 0）a a提示：（1）解不等式是求不等式的解集,最终务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范畴的端点值；如 关于 x 的不等式 ax b 0 的解集为 1,就不等式 x 2 0 的解集为 _（答：（ 1,2）ax b十含肯定值不等式的性质：a、 同号或有 0 | a b | | a

12、| | b | | a | | b | | a b ；a、 异号或有 0 | a b | | a | | b | | a | | b | | a b . 如设 f x x 2x 13,实数 a 满意 | x a | 1,求证： | f x f a | 2| a | 1十一不等式的（恒成立、能成立、恰成立）等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“ 分别变量法” 转化为最值问题,也可抓住宅给不等式的结构特点,利用数形结合法）1. 恒成立问题如不等式 f x A 在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间 D 上 f x min A如不等式 f x B 在区间 D 上恒成立 ,

13、 就等价于在区间 D 上 f x max B2 2如（1）设实数 ,x y 满意 x y 1 1,当 x y c 0 时, c的取值范畴是 _ （答：2 1,）；（2）不等式 x 4 x 3 a 对一切实数x恒成立,求实数a的取值范畴 _ （答：a 1）；（3）如不等式 2 x 1 m x 2 1 对满意 m 2 的全部 m 都成立,就 x 的取值范畴 _ 7 1 3 1（答：（,）；2 2n 1（4）如不等式 1 na 2 1 对于任意正整数 n 恒成立,就实数 a 的取值范畴是 _ n（答： 2, 3）；22（5）如不等式 x 2 mx 2 m 1 0 对 0 x 1 的全部实数 x 都成

14、立,求 m 的取值范畴 . （答：m 1）22. 能成立问题如在区间 D 上存在实数x使不等式 f x A 成立 , 就等价于在区间 D 上 f x max A ；如在区间 D 上存在实数x使不等式 f x B 成立 , 就等价于在区间 D 上的 f x min B . 如已知不等式 x 4 x 3 a 在实数集 R 上的解集不是空集,求实数 a 的取值范畴 _ （答：a 1）3. 恰成立问题细心整理归纳 精选学习资料 第 4 页,共 5 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - -

15、- - - - - - - -如不等式fxA学习必备欢迎下载fxA的解集为 D ；在区间 D 上恰成立 , 就等价于不等式如不等式fxB在区间 D 上恰成立 , 就等价于不等式fxB的解集为 D . 十二二维柯西不等式1. 定理 1 （代数形式）：如 a、b、c、 dR,就 a 2b 2 c 2d 2acbd 2 （当且仅当 adbc 时,等号成立）如 已知 2x4y3,就 x 2y 2 的最小值是 _（答：9 20）【析】 x 2y 2x 2y 241620 1 20x2y4 29 20.当且仅当 4x2y,即 y2x,即 x10,y3 5时等号成立,2. 定理 2 （向量形式）：设 、 是

16、两个向量,就 | （当且仅当 是零向量或存在实数k,使 k 时即 共线 ,等号成立）3. 定理 3 （三角形式）：设 x1,y1, x2, y2 R,那么 x 2 1y 2 1x 2 2y 2 2x1x2 2 y1y2 2（当且仅当 P1x1,y1,P2x2,y2,O0,0三点共线且 P1, P2在 O 两侧 时,等号成立）例 已知 2x4y3,就 x 2y 2 的最小值是 _（答：9 20）十三排序不等式1次序和、乱序和、反序和的概念设 a1a2 a3 an,b1b2b3 bn 为两组实数, c1,c2, , cn是 b1,b2, , bn的任一排列,就称 ai 与 bi i 1,2 , ,

17、n 的相同次序相乘所得积的和a1b1a2b2 anbn为次序和, 和 a1c1a2c2 ancn 为乱序和,相反次序相乘所得积的和 a1bna2bn 1 anb1称为反序和2排序不等式 排序原理 设a1a2 an,b1b2 bn 为两组实数,c1, c2, , cn 是b1,b2, , bn的任一排列,就a1bna2bn1 anb1 a1c1 a2c2 ancna1b2a2b2 anbn,当且仅当a1a2 an或 b1b2bn时,反序和等于次序和,此不等式简记为反序和乱序和次序和如 已知 a、b、c 是正数,求证：b 2c 2 c 2a 2 a 2b 2 abc. abc（提示：不妨先证b2c

18、2c2a2a2b2abc2ab2ca 2bc）十四数学归纳法一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0 的全部正整数 n 都成立时,可以用以下两个步骤：1证明当 nn0时命题成立； （n0 不肯定是 1,指适合命题的第一个正整数,不是肯定从 1 开头）2假设当 nkkN *,kn0时命题成立,证明 _n k1 时命题也成立在完成了这两个步骤后,就肯定命题对于不小于n0 的全部正整数都成立,这种证明方法称为数学归纳法如 用数学归纳法证明：3n1 7n1 能被 9 整除 nN* 第 5 页,共 5 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -