2022年高三数学不等式的性质不等式证明知识精讲通用版.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高三数学不等式的性质、不等式证明学问精讲通用版【本讲主要内容 】不等式的性质、不等式证明【学问把握】【学问点精析 】实数集与数轴间一一对应关系,数轴上任意两点所对应的实数都有大小之别（右边的点对应的实数较大） ,任取两实数 a、b,ab,a b,ab 三者中有且只有一式成立：ab ab0,a b ab0,ab ab0；在不等式的意义的基础上总结出的不等式的性质是我们证明不等式的理论基础,要娴熟把握；对不等式的证明,从思想方法上,有如下四种：1. 比较法,这是直接利用不等式的意义：AB AB0 等等,有时为便利计,也使A用其变种：B 0AB 等等

2、；B 02. 分析法,从结论的需要动身,看条件是否能供应,如原先证明 A B ,我们就由B C DA ,也有称之为“ 执果索因” 的,只是书写时必需要留意,切不行写为：B C D , A 由已知,命题成立,由于这样实际上是证明白逆命题,与原命题正确与否不相干；3. 综合法,也有称为“ 执因索果” 的,是由已知条件或定理动身,逐次推出结论成立；4. 反证法,当正面证明不易奏效时,不妨考虑反证法,特殊地,有“ 存在”、“ 至少” 等词语的问题中,往往收到奇效；其它仍有判别式法,放缩法,函数法,换元法,有时也采纳数学归纳法等；证明不等式的方法敏捷多样,但比较法、 综合法、分析法仍是证明不等式的最基本

3、方法；要依据题设、条件的结构特点、内在联系,挑选适当的证明方法,要熟识各种证法中的推理思维,并把握相应的步骤,技巧和语言特点,为沟通联系的途径,证明时往往联合使用分析综合法,两面夹击,相辅相成,达到欲证的目的；在诸多方法中,最基本的方法是比较法,它的一般步骤是：作差（商）变形判定符号（值）；变形的主要方向是因式分解、配方,判定过程必需具体表达,假如作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,就考虑用判别式法证；综合法也是常用的方法之一,在证明经经常用到如下公式：名师归纳总结 （1）a22b22ab（a,bR） （2）a2baba,bR（3）ba 2（a b0）第 1 页,共 16 页ab（

4、4）ab2a2b2a,bR（ 5）如 a,bR,就 |a| |b|ab|a|b| 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【解题方法指导 】例 1. 设 a0,b0,求证：（a21（b111；）2）2a2+b2ba剖析： 不等式两端都是多项式的形式,故可用比差法证明或比商法证明；（证法一： 左边右边（a）3（b）3（a b ）0；abab）（aabb）ab（aab）b）2abb）（b）（a（ab）（a2ababab原不等式成立；证法二：左边0,右边 0,b）aabb2ababab1；左边 （右边ab）（aabab（ab）ab原不等式成立；评述： 用比较法证

5、不等式,一般要经受作差（或商）、变形、判定三个步骤；变形的主 要手段是通分、因式分解或配方；在变形过程中,也可利用基本不等式放缩,如证法二；要 留意的是, 作差对两个式的值的符号没有要求,作差后的式子与 0 进行大小比较； 而作商通 1 进行大小比较；常对两个式子的值的符号有要求,作商后的式子与例 2. a1、b1、a2、b2 R,求证：（a12+a22）（ b12+b22）（ a1b1+a2b2）2；剖析： 这是“ 柯西不等式” 在 证明方法：证法一 （作差比较法） ：n 2 时的特殊情形,我们利用它来回忆一下常用的几种左 右 （ a12b12+a22b2 2+a1 2+b 2 2+a2 2

6、+b 1 2 ） （ a12b12+a2 2b2 2+2a1b1a2b2 ） a12b22 2a1b2a2b1+a2 2b12（ a1b2a2b1）2 0；原不等式成立；证法二 （判别式法）：（ a1x+b1）2+（a2x+b 2）20 恒成立；（ a1 2+a2 2）x 2+2 （a1b1+a2b2） x +（b1 2+b2 2） 0 恒成立；如 a1 2+a2 20,就 4（a1b1+a2b2）24（a1 2+a2 2）（b1 2+b2 2） 0 （ a12+a22）（b12+b22）（ a1b1+a2b2）2；如 a12+a220,就 a1 a20,原不等式左、右均为 0,也成立；其它方

7、法如：分析法： 左 a12b12+a22b22+a12b22+a22b12,右 a12b12+a22b22+2a1a2b1b2,要证原式,只要名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证明 a12b22+a22b122a1a2b1b2,即可 综合法： a12b22+a22b122a1a2b1b2,两边同加 a12b12+a22b22；构造法： 作向量 a（ a1,a2）,b（ b1, b2）,由向量的数量积的性质可得（a）2（b）2（ ab）2,代入坐标立得；几何法： 在直角坐标系内取点A（a1,a2）B（b1,b2）,就

8、OA+OB AB （2 a 12 a 2+2 b 12 b 2）2（a 1b 12a 2b 22）2 亦即a 1 2a2b 1 2b 2 2（ a1b1+a2b2）2右边为负时当然成立,非负时平方即得；评讲： 这一问题的解决方法说明白不等式证明方法的多样性及敏捷性；另外, 这个不等式也是一个重要的基本不等式,只不过它只是显现在课本的例习题中,在今后的学习中,我们也可以直接使用这个不等式解决有关问题；最终大家想一想：这样的实数增加到 3 对、 4对 ,上面的方法仍都有效吗？例 3. 已知 ab0,求证：a8b2a2babab 2这时可以用分析法对a8 b剖析： 不等式的运算形式是比较复杂的,一眼

9、看不出从哪儿下手,不等式变形；证明： 如证原不等式成立,只要证：a4b2abab2babab2a4 bab只要证明ab2ab2ab2,只要证0a2a2b2ab2baab2b只要证aab1aab,只要证a22只要证1b2a1,即证b1a b,即证b a1a b成立abaab0 此式明显成立,又以上各步均可逆；原不等式成立；评讲： 分析可以让我们掀开一个不等式的真面目；同学们要留意的是在使用分析法时,肯定依据规范的格式书写；【考点突破】【考点指要】高考考纲要求： 懂得不等式的性质及其证明；把握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理；把握分析法、综合法、比较法证明简洁的不等

10、式；名师归纳总结 从近几年的高考试题来看,有关不等式的试题基本上都是一道挑选题或填空题和一道解第 3 页,共 16 页答题, 解答题一般是解不等式和证明不等式,纯粹本单元的试题分值逐步削减,但在一些函- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中常涉及不等式的学问,在综合题的解题过程中到处分布着不等式的学问、方法和技巧,理科平均约9%,文科约 7%；关于不等式证明的内容年年都有,大部分是间接考查不等式的证明,有时也直接考查；年份题号分值占总分比例题型考查内容2001 20 12 8% 解答题不等式证明与排列组合二项

11、式定理综合2002 全国22 14 9.5% 解答题不等式证明与数列学问综合2002 北京18 12 8% 解答题与立几何结合考查不等式证明方法中的比较法2002 北京19 12 8% 解答题不等式证明与数列学问综合2003 江苏22 14 9.5% 解答题不等式证明与二次函数,数列等学问综合2003 北京20 14 9.5% 解答题不等式性质,证明等综合应用2004 江苏22 14 9.5% 解答题不等式证明与函数学问综合2004 福建21 12 8% 解答题不等式证明与函数、导数等学问综合2004 北京20 13 9% 解答题不等式证明等基本学问2004 全国22 14 9.5% 解答题不

12、等式证明与数列学问综合2004 辽宁21 14 9.5% 解答题不等式证明与函数学问综合2004 湖南22 14 9.5% 解答题不等式证明与数列学问综合2004 重庆22 14 9.5% 解答题不等式证明与数列学问综合2005 全国13 4 19% 填空题不等式与指数的综合19 12 解答题不等式证明与数列学问综合2006 全国22 12 8% 解答题不等式证明与函数学问综合22 12 解答题不等式证明与数列学问综合证明不等式是理科（或文理合卷的省、市）考查的重点,不等式证明题历来难度大,区 分度高,综合性强,创新不断,同学平常练习题与高考试题差距较大,所以我们在学习时一方面要重视对基础学问

13、、基本方法的复习,另一方面更要留意证明方法中包蕴的思想方法、技巧、技能；【典型例题分析 】例 4. （20XX 年北京）数列 xn由以下条件确定：x 1a0 ,xn11 2xna,nN.xn（）证明：对n 2,总有xna；（）证明：对n 2,总有xnxn1；证明：（）（均值不等式的应用综合法）：由x 1a0,及xn11x na,可归纳证明nx02xnn 2 时,xna成立；从而有xn11xnax naanN,所以,当2xnx n（） 证法一（作差比较法） ：名师归纳总结 当 n2 时,由于xna0,xn11x na,第 4 页,共 16 页2xn- - - - - - -精选学习资料 - -

14、- - - - - - - 所以xn1x n1xnax n1axx20,故当 n2 时,xnx n1成立；n2x n2n证法二（作商比较法） ：当 n2 时,由于xna,0x n11xna,所以重点仍是考查不等式2xnxn11x nnax2 nx2a2 x nxx212xnnxnx222nn故当 n2 时,xnxn1成立；评讲： 此题是以数列为学问背景,把数列与不等式证明综合起来,证明方法中最基本的方法 综合法和比较法；例 5. （2001,全国,理, 20）已知 i ,m,n 是正整数,且1i mn （I）证明： niAmi（1+n）m证明：（1）对于 1 im,且 Ai m m （mi+1

15、）,Am imi mm mm 1 mm i 1 , 同理 An imi nn nn 1 nn i 1,由于 mn,对于整数 k1,2, , i 1,有 n k m k,n mi i所以 Ai n A mi , 即 m iA in n iA imn m（2）由二项式定理有（1+m）n 1+C 1nm+C 2nm 2+ +C nnm n,（1+n）m1+C 1mn+C 2mn2+ +C mmn m,由（ 1）知 miA inniA im（1im ,而 C imA im , C in A ini . i .miC i nn iC i m（1mn m0C 0 nn0C n1,mC 1 nnC 1 mm

16、n,m2C 2 nn2C 2m, ,m mC mnnmC mm,mm+1C mn 10, , mnC nn0,1+C 1nm+C 2nm 2+ +C nnm n1+C 1mn+C 2mn 2+ +C mmn m,即（ 1+m）n（ 1+n）m成立评讲： 在第一问中肯定要弄清符号A mi的意义,把要证的式子用“ 隔离参数” 的思想变名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 形为AiAi m,再比较两边对应的比值即可；在其次问中要留意使用第一问的结论,把排nnimi列数之间的不等关系转化为组合数之间的不等关系；例 6. （20

17、02 江苏, 22）已知 a0,函数 f（x） axbx2；（1）当 b 0 时,如对任意xR 都有 f（x） 1,证明 a2b ；b1 a2b ；（2）当 b1 时,证明： 对任意 x0,1,|f（x）|1 的充要条件是（3）当 0 b1 时,争论：对任意x 0,1,|f（x）|1 的充要条件；证明：（）依设,对任意xR,都有 f（x） 1, f（x）b xa2a2,2 b4bfaa21, a0, b0, a2b ；2b4b（）证明：必要性对任意 x 0,1,|f（x）|11f（x）,据此可以推出1 f（1）,即 ab 1, ab1；对任意 x 0,1,|f（x）|1f（ x） 1,由于 b

18、1,可以推出 f（1） 1,即 a111,bba2b ； b1a2b ；充分性由于 b1, ab1,对任意 x 0,1,可以推出axbx2b（xx2） x x 1,即 axbx2 1；由于 b1, a2b ,对任意 x 0,1,可以推出axbx22b xbx2 1,即 axbx21； 1 f（x） 1；综上,当 b1 时,对任意 x 0, 1,|f（x）| 1 的充要条件是 b1a2 b ；（）解：由于 a 0,0b1 时,对任意 x 0,1：f（x） axbx 2 b 1,即 f（x） 1；f（x） 1 f（1） 1 ab1,即 ab1,ab1 f（x）（ b1）xbx 21,即 f（x）

19、1；所以,当 a0,0 b1 时,对任意 x 0,1,|f（x）|1 的充要条件是 ab1；评讲：在证明的过程中要留意结合二次函数特殊的性质,不等式对所给区间上的任意一个值都成立,当然对一个特殊值（比如：顶点处）也成立,这样我们就把一个一般的函数不等式变为我们所需要的不含变量 x 的不等式；【达标测试】一. 挑选题：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1. （2006 安徽 4）设a,bR,已知命题p ab ；命题q:a2b2a22b2,就 p 是q 成立的（）p 或A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分

20、必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 假如 a,b,c 满意 cba,且 acac B. c（b-a）0 C. cb2ab2D. ac（a-c）1,0b1,就logablogba的取值范畴为（）A. ,2B. 2 ,C. ,2D. ,26. 设 x0,y0,且 xy（ x+y） 1,就（）A. x+y22 +2 B. x+y22 +2C. x+y（2 +1）2 D. x+y（2 +1）27. 设x,yR且x2y4,就lgxlgy的最大值是（）A. lg2B. lg2C. 2lg2D. 2 8. 已知 x、yR,Mx2+y2+1, N x+y+xy,就 M 与 N 的大小关系是（）A.MN B

21、.MN C.MN D.不能确定二. 填空题：9. 已知x2y21,就 1xy 1xy 的最大值为,最小值为；10. 设 a0, 1b1 是|a+b|1 的充分而不必要条件；名师归纳总结 命题 q：函数 yx12的定义域是（ -, -13,+）；就（）第 8 页,共 16 页A. “ p或 q”为假B. “ p且 q”为真 C. p 真 q 假且 a+b2, 就 3a+3b 的最小值为（D. p 假 q 真3. 如 a、b 为实数,）A. 18 B. 6 C. 23D. 24 34. 设 p+q1, p0, q0, 就不等式logxpq1成立的一个充分条件是（）A. 0x1B. 1x1C. 1x

22、1 44225. （2006 江苏）设 a,b,c是互不相等的三个正数, 就以下不等式中不恒成立 的是（）A. |a-b|a-c|+|b-c| B. a2+1a1a2aC. |a-b|+a1b2D. a3a1a2a6. （20XX 年高考福建卷理 11）设a,bR,a22 b26,就ab的最小值是 （）A. 22B. 53C. 3 D. 7327. （20XX年春北京）如不等式（1）na2+（n 1 1）对任意nN*恒成立,就实数an的取值范畴是 A. 2,3 2B.（ 2,3 ）2C. 3,3 2D.（ 3,3 ）2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

23、8. （2000 全国）如 ab1,Plga lgb,Q1 （lg a lg b）,R lg（2a2b）,就（）B.PQ R C.QPRD. P RQA.R PQ二. 填空题：9. 如 abc,就a1b+b1c_a3c；（填“ ” “ ” “ ” ；ab10. 如a、bR,就aabb和ab2的大小关系是 _ ；11. （ 1999 全国, 17）如正数 a、b 满意 aba+b+3,就 ab 的取值范畴是12. 如110,已知以下不等式：a+b|b| a2 abab其中正确的不等式的序号为；三. 解答题：13. 如a+b 1,求证： x+y（ya +b ）2（式中 a、b、x、 y 均当正实数

24、）x14. 已知 a、b 为正数,求证：（1）如a +1b ,就对于任何大于1 的正数 x,恒有 ax+xx1 b 成立；（2）如对于任何大于1 的正数 x,恒有 ax+xx1b 成立,就a +1b ；15. （2006 广东 20） A 是定义在 2,4 上且满意如下条件的函数 x 组成的集合： 对任名师归纳总结 意的x1,2,都有2 1,2；存在常数L0L1,使得对任意的x x 21,2,都第 9 页,共 16 页有| 2 2x 2 |L x 1x 2|；A ；2x 0,那么这样的x 是唯独的；（ I）设2 31x x2,4,证明： （ II）设 A ,假如存在x 01,2,使得x 0（

25、III ）设 A ,任取x 11,2,令x n12x n,n1,2,；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【达标测试答案】一. 挑选题：1. 解： 命题p ab 是命题q:a2b2a22b2等号成立的充分条件,应选B；2. 解析： 取 b 0,可验证 C 不成立； C 3. 答案： A 4. 解析： p 是假命题, q 是真命题,故正确；选C；0 .5. 解析： a1,0b1,logab0,logba1bloga设logabt,logba1,就t12；tt就logablogbat1t12tt选 D 6. 解析： x0,y0, xy（x2y）2；由 xy（

26、 x+y） 1 得（x2y）2（ x+y） 1；x+y2+22 ；答案： B 7. 解析： 设x ,yR且x2y42就x2yx2y2,即xy2故lgxlgylg xylg2；选 B 8. 解析： MNx2+y2+1（ x+y+xy）1 （x2+y22xy）+（x2 2x+1）+（y22y+1）21 （xy） 2+（x 1） 2+（y1） 2 0；2答案： A 二. 填空题：名师归纳总结 9. 解析： 由x2y21得 0|xy|1 4,所以 1xy 1xy 1-（xy）21-x2y23 4,1；第 10 页,共 16 页填 1,3 4；ab2ab 1b0ab2aa b21 010. 解析：ab-

27、 - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - aab 2ab11. 解析： a 2+b21a2+b2213 ；2342；2a1b22 ab2212 a2b2212 3222答案：3421,就 a+b2” ,12. 解析： 均可举出反例,可用反证法证明“ 如两数均小于与题设冲突；填三. 解答题：13. 证明 ：a2b2 a,b2c2 b,c2a2cbcaa2b2c2abc2（abc）bcaa2b2c2abcbca证毕！14. 证法一：（分析综合法）名师归纳总结 欲证原式,即证4（ ab）2+4（ a 2+b2） 25ab+40,即证 4（ab） 233（ab） +80

28、 第 11 页,共 16 页即证 ab1 或 ab8；4a0,b0,a+b 1, ab8 不行能成立 1a+b2ab , ab1 从而得证；4证法二：（均值代换法）设a1+t1, b1+t2, a+b1,a0,b0,22t1+t20,|t1|1 ,|t2|212a1b1a2a1b21abb11t 12111t2211t 12 t 11 1t2t 221 2244 1t 1t21 2t 1t22221t 1t 121 141 t 242t2t221 5t2222t22441t 24- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 253t222t242525.162 1

29、216 1t444明显当且仅当t0,即 ab1 时,等号成立；2证法三：（比较法）a+b 1,a0,b 0, a+b2ab , ab18 14ab8ab04a1b125a2a1b2b1254a2b233 abab444ab4 aba1b125ab4证法四：（综合法）a+b 1, a0,b0, a+b2ab , ab1 41ab 21251ab1131ab 291ab 21251644161 ab4ab4即a1b125ab4证法五：（三角代换法） a0,b 0,a+b1,故令 asin2 ,bcos2 , （ 0,2）a1b1sin21cos21absin22 cossin4cos42sin2cos224sin22164sin224sin22sin221 ,4sin2241342sin22162544sin2222511sinsin224224即得a1b125ab415. 证明：（1）a31-a2-11a-1a5-1a 3a2a3a1,1a-1a5-10,a3原不等式成立名师归纳总结 （2）解： a-1 与 a5-1 同号对任何a0 且 a 1 恒成立第 12 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 上述不等式