2022年直线与园、圆与圆的位置关系知识点及习题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 直线与圆、圆与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点；rd2、直线与圆相切有一个交点 切点）；dr3、直线与圆相交有两个交点；drrdd=r二、切线的判定定理与性质（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不行即： MNOA且 MN 过半径 OA外端O MN 是 O 的切线（2）性质定理：经过切点的半径垂直于圆的切线经过切点垂直于切线的直线必经过圆心（如上图）MAN过圆心；过切点；垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个；例 1、 在中,BC=6cm ,B

2、=30 ,C=45 ,以 A 为圆心,PBO当半径 r 多长时所作的A 与直线 BC 相切？相交？相离？A解题思路： 作 AD BC 于 D 在中, B=30在中, C=45 CD=AD BC=6cm 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当时, A 与 BC 相切；当时, A 与 BC 相交；当 时, A 与 BC 相离；例 2如图,AB 为 O 的直径,C 是 O 上一点,D 在 AB 的延长线上, 且 DCB=. A（1）CD 与 O 相切吗？假如相切,请你加以证明,假如不相切,请说明理由（2）如 CD 与 O

3、相切,且 D=30 ,BD=10 ,求 O 的半径解题思路：（1）要说明 CD 是否是 O 的切线,只要说明OC 是否垂直于CD,垂足为C,.由于 C 点已在圆上由已知易得：A=30 ,又由 DCB= A=30 得： BC=BD=10 解：（1）CD 与 O 相切理由： C 点在 O 上（已知）AOCBD AB 是直径 ACB=90 ,即 ACO+ OCB=90 A= OCA 且 DCB= A OCA= DCB OCD=90综上： CD 是 O 的切线（2）在 Rt OCD 中, D=30 COD=60 A=30 BCD=30BC=BD=10 AB=20 , r=10 答：（1）CD 是 O

4、的切线,（2） O 的半径是 10三、切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角；即：PA 、 PB 是的两条切线PBAO PAPB PO平分BPA（证明）四、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘名师归纳总结 积相等；BCOD第 2 页,共 13 页即：在 O 中,弦 AB 、 CD 相交于点 P ,PA- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PA PBPC PD（相像）（2）推论：假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成PBOECAOE的两条线段的比例中项；即：在 O 中,

5、直径 ABCD ,DDACE2AE BE（3）切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；即：在 O 中, PA 是切线, PB是割线CBPA2PC PB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） ；PDAOE即：在 O 中, PB 、 PE 是割线 PC PBPD PECB五、三角形的内切圆（1）定义：与三角形三边都相切的圆（角平分线的交点）（2）内心、外切三角形例 1：如图, O为 ABC的内切圆, C 90 ,AO的延长线交 BC于点 D,AC 4,DC 1,就 O的半径等于（）1、如

6、图, ABC=90 , O为射线 BC上一点,以点 O为圆心、1 BO长为半 2 径作 O,当射线 BA绕点 B 按顺时针方向旋转 度时与 0 相切六、圆与圆的位置关系名师归纳总结 外离（图 1）无交点dRr ；Rr ；第 3 页,共 13 页外切（图 2）有一个交点dRr ；相交（图 3）有两个交点Rrd- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 内切（图 4）有一个交点dRr；内含（图 5）无交点dRr ；dddR图 1rdRrR图 2rdrRr图 3R图4 图 5例 1两个同样大小的肥皂泡黏在一起,其剖面如图1 所示（点O,O 是圆心）,分隔两个肥皂泡的肥

7、皂膜PQ 成一条直线, TP、NP 分别为两圆的切线,求TPN 的大小（1）2 解题思路：要求TPN,其实就是求OPO 的角度,很明显,POO 是正三角形,如图 2 所示解： PO=OO=PO PO O是一个等边三角形 OPO=60又 TP 与 NP 分别为两圆的切线,TPO=90 , NPO=90 TPN=360 29060=120例 2如图 1 所示, O 的半径为 7cm,点 A 为 O 外一点, OA=15cm ,求：（1）作 A 与 O 外切,并求 A 的半径是多少？名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - O

8、A1 2 2）作 A 与 O 相内切,并求出此时A 的半径解题思路：（1）作 A 和 O 外切,就是作以 A 为圆心的圆与O 的圆心距 d=r O+r A；（.2）.作 OA 与 O 相内切,就是作以 A 为圆心的圆与O 的圆心距 d=rArO解：如图 2 所示,（1）作法：以 A 为圆心, rA=157=8 为半径作圆,就A. 的半径为8cm （2）作法：以 A 点为圆心, r A=15+7=22为半径作圆,就A 的半径为 22cm 例 3如下列图,点 A 坐标为（ 0,3）,OA 半径为 1,点 B 在 x 轴上（1）如点 B 坐标为（ 4,0）, B 半径为 3,试判定 A 与 B 位置

9、关系；（2）如 B 过 M （ 2, 0）且与 A 相切,求 B 点坐标_y答（ 1）AB=51+3 ,外离（2）设 B（x, 0）x 2,就 AB=92 x , B 半径为 x+2 ,_A_x设 B 与 A 外切,就92 x = x+2 +1,_O当 x2 时,9x2=x+3 ,平方化简得：x=0 符题意, B（0,0）,当 x2（舍）,设 B 与 A 内切,就92 x = x+2 1,当 x2 时,9x2=x+1 ,得 x=4 2, B（4,0）,当 x2 时,9x2= x3,得 x=0 ,七、两圆公共弦定理： 两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦；如图：O O 垂直平分 AB ；

10、CAO1BAO2即：O 、O 相交于 A 、 B 两点BO O 垂直平分 ABO1O2名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 八、圆的公切线两圆公切线长的运算公式：（1）公切线长：Rt O O C 中,2 AB2 CO 12 O O 2CO 22；BCAC（2）外公切线长：CO 是半径之差；内公切线长：CO 是半径之和；九、圆内正多边形的运算（1）正三角形OD在 O 中 ABC 是 正 三 角 形 , 有 关 计 算 在 Rt BOD 中 进 行 ：OD:BD OB1:3 : 2；B（2）正四边形ODA同理,四边形的有关

11、运算在Rt OAE 中进行,OE:AE OA1:1:2：E（3）正六边形名师归纳总结 同理,六边形的有关运算在Rt OAB 中进行,AB OB OA1:3 : 2.AO第 6 页,共 13 页B- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 基础训练1填表：直线与圆的图形公共点公共点圆心到直线的距离d直线的位置关系个数名称与圆的半径r 的关系名称相交相切相离2如直线 a 与 O交于 A,B 两点,O到直线 a.的距离为 6,.AB=.16,.就 O.的半径为 _3在 ABC中,已知 ACB=90 , BC=AC=10,以 C 为圆心,分别以 5,5 2 ,8 为半径

12、作图,那么直线 AB与圆的位置关系分别是 _,_,_4 O的半径是 6,点 O到直线 a 的距离为 5,就直线 a 与 O的位置关系为（） A相离 B相切 C相交 D内含5以下判定正确选项（）直线上一点到圆心的距离大于半径,就直线与圆相离；直线上一点到圆心的距离等于半径,就直线与圆相切；直线上一点到圆心的距离小于半径,.就直线与圆相交 A B C D6OA平分 BOC,P 是 OA上任一点（ O 除外）,如以 P 为圆心的 P 与 OC相离, .那么 P名师归纳总结 与 OB的位置关系是（）第 7 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A相

13、离 B相切 C相交 D相交或相切7如下列图, Rt ABC中, ACB=90 , CA=6,CB=8,以 C 为圆心, r 为半径作 C,当 r 为多少时, C与 AB相切？8如图, O 的半径为3cm,弦 AC=4 2 cm,AB=4cm,如以 O 为圆心, .再作一个圆与AC相切,就这个圆的半径为多少？这个圆与 AB的位置关系如何？ 提高训练9如下列图,在直角坐标系中,M的圆心坐标为（m, 0）,半径为 2,.假如 M与 y 轴所在直线相切, 那么 m=_,假如 M与 y 轴所在直线相交,那么 m.的取值范畴是 _10如图,ABC中, AB=AC=5cm,BC=8cm,以 A为圆心, 3c

14、m.长为半径的圆与直线BC的位置关系是 _11如图,正方形 ABCD的边长为 2,AC和 BD相交于点 O,过 O作 EF AB,交 BC于 E,交名师归纳总结 AD于 F,就以点 B为圆心,2 长为半径的圆与直线AC,EF,CD的位置关系分别是什么？第 8 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 12已知 O的半径为 5cm,点 O到直线 L 的距离 OP为 7cm,如下列图（1）怎样平移直线 L,才能使 L 与 O相切？（2）要使直线 L 与 O相交,应把直线 L 向上平移多少 cm？13如图, Rt ABC中, C=90 , AC=3,

15、AB=5,如以 C为圆心, r 为半径作圆, .那么 : （1）当直线 AB与 C相切时,求 r 的取值范畴；（2）当直线 AB与 C相离时,求 r 的取值范畴；（3）当直线 AB与 C相交时,求 r 的取值范畴14在南部沿海某气象站 A 测得一热带风暴从 A 的南偏东 30. 的方向迎着气象站袭来,已知该风暴速度为每小时 20 千米,风暴四周 50 千米范畴内将受到影响,.如该风暴不改变速度与方向,问气象站正南方 60 千米处的沿海城市 B 是否会受这次风暴的影响？如不受影响,请说明理由；如受影响,恳求出受影响的时间名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料

16、 - - - - - - - - - 九年级下册直线和圆的位置关系练习题一、挑选题：1如 OAB=30 ,OA=10cm,就以 O为圆心,6cm为半径的圆与射线AB的位置关系是 （）A相交B相切C相离D不能确定2Rt ABC中, C=90 , AB=10,AC=6,以 C为圆心作 C和 AB相切,就 C的半径长为（）B4 C96 D48 A8 3 O 内最长弦长为 m ,直线 l 与 O 相离,设点（）O 到 l 的距离为 d ,就 d 与 m 的关系是m mA d =m B d m C d 2 D d 24以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边,就该三角形为（）A锐角三角形 B直角三角形

17、 C钝角三角形 D等边三角形5菱形对角线的交点为 O,以 O为圆心,以 O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为（）A相交 B相切 C相离 D不能确定6 O的半径为 6, O的一条弦 AB为 6 3 ,以 3 为半径的同心圆与直线 AB的位置关系是（）A相离 B相交 C相切 D不能确定7以下四边形中肯定有内切圆的是（）A直角梯形 B等腰梯形 C矩形 D菱形8已知ABC的内切圆 O与各边相切于 D、E、F,那么点 O是 DEF的（）A三条中线交点 B三条高的交点 C三条角平分线交点 D三条边的垂直平分线的交点9给出以下命题：任一个三角形肯定有一个外接圆,并且只有一个外接圆；名师归纳总结 -

18、 - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 任一个圆肯定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形；任一个三角形肯定有一个内切圆,并且只有一个内切圆；任一个圆肯定有一个外切三角形,并且只有一个外切三角形其中真命题共有（）C3 个D4 个A1 个B2 个二、证明题1如图,已知O中, AB是直径,过B 点作 O的切线 BC,连结 CO如 AD OC交 O于 D求证： CD是 O的切线2已知：如图,同心圆O,大圆的弦AB=CD,且 AB是小圆的切线,切点为E求证： CD是小圆的切线3如图,在 Rt ABC中, C=90 , AC=5,BC=12,

19、 O的半径为 3（1）当圆心 O与 C重合时, O与 AB的位置关系怎样？（2）如点 O沿 CA移动时,当OC为多少时？ C与 AB相切？名师归纳总结 4如图,直角梯形ABCD中, A=B=90 , AD BC,E 为 AB上一点, DE平分 ADC,第 11 页,共 13 页CE平分 BCD,以 AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5设直线 到 O的圆心的距离为d,半径为 R,并使 x22d xR=0,试由关于x 的一元二次方程根的情形争论 与O的位置关系6如图, AB是 O直径, O过 AC的中点 D,DEBC

20、,垂足为 E（1）由这些条件,你能得出哪些结论？（要求：不准标其他字母,找结论过程中所连的辅助线不能显现在结论中,不写推理过程,写出 4 个结论即可）（2）如 ABC为直角,其他条件不变,除上述结论外你仍能推出哪些新的正确结论？并画出图形（要求：写出 6 个结论即可,其他要求同（1）7如图,在 Rt ABC中, C=90 , AC=3,BC=4如以 C 为圆心, R 为半径所作的圆与斜边 AB只有一个公共点,就 R的取值范畴是多少？8如图,有一块锐角三角形木板,现在要把它截成半圆形板块（圆心在 BC上）,问怎样截取才能使截出的半圆形面积最大？（要求说明理由）名师归纳总结 - - - - - -

21、 -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 9如图,直线1、2、3 表示相互交叉的大路现要建一个货物中转站,要求它到三条大路的距离相等,就可挑选的地址有几处？答案 : 一.1-5 A D C B B ;6-9 C D D B 二.1. 提示 : 连结 OC,证 AOC与 BOC全等 2. 作垂直证半径 , 弦心距相等 3. 垂直三角形的高 , 用面积方法求 ; AOE ABC即可 用角平分线定理证明 EF=EA=EB即可 4. 5. 做三角形的内切圆 6. DE与 O相切 ,AB=BC,DE 2+CE 2=CD 2, C+CDE=90BC是 O的切线 , 有 DE=1/2AB等. 7.R=2.4 或 3R4 8.A角平分线与 BC的交点为圆心 O,O到 AC的距离为半径做圆 9.4 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页