2022年平面向量的线性运算.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 2 平面对量的线性运算第 1 课时教学目标 一、学问与技能1把握向量的加减法运算,并懂得其几何意义 .2会用三角形法就和平行四边形法就作两个向量的和向量和差向量,培育数形结合解 决问题的才能 .3通过将向量运算与熟识的数的运算进行类比,使同学把握向量加减法运算的交换律 和结合律,并会用它们进行向量运算,渗透类比的数学方法；二、过程与方法1位移、速度和力这些物理量都是向量,可以合成,而且知道这些矢量的合成都遵循 平行四边形法就,由此引入本课题2运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加减法的三角形法就、平行四边形法就,并对向量加法的交换律、结

2、合律进行证明, 同时运用他们进行相关运算,这可让同学们进一 步加强对向量几何意义的懂得三、情感、态度与价值观1通过本节内容的学习,让同学熟识事物之间的相互转化,培育同学的数学应用意识2体会数学在生活中的作用培育同学类比、迁移、分类、归纳等才能教学重点、难点教学重点：会用向量加法的三角形法就和平行四边形法就作两个向量的和向量和差向 量教学难点：懂得向量加减法的定义教学关键：向量加法的三角形法就和平行四边形法就的探究引导 .教学突破方法：由物理中力的合成与分解拓展延长,引导同学探讨得到结论教法与学法导航 教学方法；启示诱导,讲练结合学习方法： 数能进行运算, 向量是否也能进行运算呢？数的加法启示我

3、们,从运算的角度看, 位移的合成、 力的合成可看作向量的加法借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法, 让同学顺理成章接受向量的加法定义结合图形把握向量加法的三角形法就 和平行四边形法就联系数的运算律懂得和把握向量加法运算的交换律和结合律教学预备 老师预备：多媒体或实物投影仪、尺规同学预备：练习本、尺规 .教学过程 一、创设情境,导入新课 上一节,我们一起学习了向量的有关概念,明确了向量的表示方法,明白了零向量、单 位向量、平行向量、相等向量等概念,并接触了这些概念的辨析判定数能进行运算,向 量是否也能进行运算呢？这一节,我们将借助于物理中位移的合成、力的合成来学习向量的 加法和减法二

4、、主题探究,合作沟通 提出问题：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 类比数的加法,猜想向量的加法,应怎样定义向量的加法？2. 向量加法的法就是什么？3. 与数的运算法就有什么不同？师生互动：向量是既有大小、又有方向的量,老师引导同学回忆物理中位移的概念,位移可以合成,如图某对象从 A 点经 B 点到 C 点,两次位移 AB 、 BC 的结果,与 A 点直接到 C 点的位移 AC 结果相同力也可以合成,老师引导,让同学共同探究如下的问题 .图（ 1）表示橡皮条在两个力的作用下,沿着 GC 的方向伸长了 EO；图（

5、 2）表示撤去F1和 F2,用一个力 F 作用在橡皮条上,使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度转变力 F 1 与 F 2 的大小和方向, 重复以上的试验, 你能发觉 F 与 F 1、F 2 之间的关系吗？力 F 对橡皮条产生的成效与力F 1 与 F2 共同作用产生的成效相同,物理学中把力F 叫做F1与 F2的合力合力 F 与力 F 1、F 2 有怎样的关系呢？由图（3）发觉,力F 在以 F 1、 F2 为邻边的平行四边形的对角线上,并且大小等于平行四边形对角线的长数的加法启示我们,从运算的角度看,F 可以认为是F 1 与 F2 的和,即位移、力的合成看作向量的加法争论结果： 1.向量加法的定义

6、：如下图,已知非零向量a、b,在平面内任取一点A,作 AB =a, BC =b,就向量 AC 叫做 a 与 b 的和,记作 两个向量和的运算,叫做向量的加法2. 向量加法的法就：（1）向量加法的三角形法就a+b,即 a+b= AB + BC = AC 求名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法就运用这一法就时要特殊留意“ 首尾相接” ,即其次个向量要以第一个向量的终点为起点,就由第一个向量的起点指向其次个向量的终点的向量即为和向量位移的合成可以看作向量加法三角形法就的物

7、理模型（2）向量加法的平行四边形法就如图, 以同一点 O 为起点的两个已知向量a、b 为邻边作平行四边形,就以 O 为起点的对角线 OC 就是 a 与 b 的和我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法就力的合成可以看作向量加法平行四边形法就的物理模型对于零向量与任一向量a ,我们规定a+0= 0+ a= a提出问题1. 两共线向量求和时,用三角形法就较为合适当在数轴上表示两个向量时,它们的 加法与数的加法有什么关系？2. 摸索 |a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？3. 数的运算和运算律紧密联系,运算律可以有效地简化运算类似地,向量的加法是 否也有运算律呢？师生互动：观看实

8、际例子,老师启示同学摸索,并适时点拨,诱导,探究向量的加法在 特殊情形下的运算,共线向量加法与数的加法之间的关系数的加法满意交换律与结合律,即对任意 a,bR,有 a+b=b+a,（a+b）+c=a+（b+c）任意向量 a , b 的加法是否也满意交换律和结合律？引导同学画图进行探究争论结果： 1. 两个数相加其结果是一个数,对应于数轴上的一个点 ;在数轴上的两个向量相加,它们的和仍是一个向量,对应于数轴上的一条有向线段2.当 a,b 不共线时, |a+b|0 时, a 与 a 方向相同,当 0 时,a 的方向与 a 的方向相同； 当 0 时,a 的方向与 a 的方向相反 由（1）可知, =0

9、 时, a=0依据实数与向量的积的定义,我们可以验证下面的运算律实数与向量的积的运算律：设 、 为实数,那么（1） （a） =（ ） a；（2）（+）a=a+a；（3） （a+b）=a+b特殊地,我们有（- ）a=- （a）=（ - a）,（a- b）=a- b对问题, 向量共线的等价条件是：假如 a（a0）与 b 共线, 那么有且只有一个实数 ,使 b=a推证过程老师可引导同学自己完成,推证过程如下：对于向量 a（a 0）、b,假如 有一个实数 ,使 b=a,那么由向量数乘的定义,知 a 与 b 共线反过来,已知向量 a 与 b共线, a0,且向量 b 的长度是向量a 的长度的 倍,即 |b

10、|=|a|,那么当 a 与 b 同方向时,有 b=a；当 a 与 b 反方向时,有 b=- a关于向量共线的条件,老师要点拨同学做进一步深层探究,让同学摸索,如去掉 a0这一条件,上述条件成立吗？其目的是通过 件的熟识在判定两个非零向量是否共线时,0 与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条 只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可,名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 与这两个向量的长度无关在没有指明非零向量的情形下,共线向量可能有以下几种情形：（1）有一个为零向量； （2）两个都为零向量； （3）同向且模相等； （

11、4）同向且模不等； （ 5）反向且模相等； （6）反向且模不等争论结果： 数与向量的积仍是一个向量,定,大小由 | |a|确定向量的方向由实数的正负及原向量的方向确它的几何意义是把向量 a 沿 a 的方向或 a 的反方向放大或缩小向量的平行与直线的平行是不同的,直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情形,又包含两个向量在同一条直线上的情形三、拓展创新,应用提高例 1 运算：（1）（- 3）4a；（2）3（a+b）- 2（a- b）- a；（3）（2a+3b- c）- （3a- 2b+c）活动： 本例是数乘运算的简洁应用,可让同学自己完成,要求同学娴熟运用向量

12、数乘运算的运算律 教学中, 点拨同学不能将此题看作字母的代数运算,可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义,使同学明确向量数乘运算的特点同时向同学点出,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量a、b,以及任意实数、1、2,恒有 （1a2b）= 1a 2b解：（1）原式 =（- 34）a=- 12a；（2）原式 =3a+3b- 2a+2b-a=5b；（3）原式 =2a+3b- c- 3a+2b- c=- a+5b-2c点评： 运用向量运算的运算律,解决向量的数乘其运算过程可以仿照多项式运算中的“ 合并同类项” 例 2 如图,已知任意两个非零向量a、b,试作 OA =a+b,OB =

13、a+2b,OC =a+3b你能判定 A、B、C 三点之间的位置关系吗？为什么？活动：本例给出了利用向量共线判定三点共线的方法,这是判定 三 点共线常用的方法 教学中可以先引导同学作图,通过观看图形得到 A、B、C三点共线的猜想, 再将平面几何中判定三点共线的方法转化为用向量 共 线证明三点共线 此题只要引导同学理清思路,详细过程可由同学自己 完成另外, 此题是一个很好的与信息技术整合的题材,教学中可以通过运算机作图,进行动态演示,揭示向量 a、b 变化过程中, A、B、C 三点始终在同一条直线上的规律解：分别作向量 OA 、 OB 、 OC 过点 A、C 作直线 AC（如上图）观看发觉,不论向

14、名师归纳总结 量 a、b 怎样变化,点B 始终在直线AC 上,猜想 A、B、C 三点共线第 9 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 事实上,由于 AB = OB - OA =a+2b- （a+b）=b,而 AC = OC - OA =a+3b- （a+b）=2b,于是 AC =2 AB 所以 A、B、C 三点共线点评：关于三点共线问题,同学接触较多,这里是用向量证明三点共线,方法是必需先证明两个向量共线,并且有公共点 老师引导同学解完后进行反思,体会向量证法的新奇独特例 3 如图,ABCD 的两条对角线相交于点 M,且 AB =a, AD

15、 =b,你能用 a、b 表示 MA MB MC 和 MD 吗？活动：本例的解答要用到平行四边形的性质另外,用向量表示几何元素（点、 线段等）是用向量方法证明几何问题的重要步骤,教学中可以给同学明确指出这一点解：在 ABCD 中, AC = AB + AD =a+b, DB = AB - AD =a- b,又平行四边形的两条对角线相互平分, MA =1 AC = 21（a+b）=1a-1b,222MB =1 DB = 21 （a- b）= 21a-1b,22MC =1 AC = 21 a+ 21 b,2MD =MB =-1 DB =-21 a+ 21 b2点评：结合向量加法和减法的平行四边形法就

16、和三角形法就,出来,这是解决这类几何题的关键四、小结将两个向量的和或差表示1让同学回忆本节学习的数学学问：向量的数乘运算法就,向量的数乘运算律,向量 共线的条件2体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般、归纳、猜想、类比、分类争论、等 价转化课堂作业名师归纳总结 11 31 （2a+8b）- （4a- 2b）等于（2） D a- b）第 10 页,共 11 页A2a- bB2b- aCb- a2设两非零向量e1、e2不共线,且ke1+e2 与 e1+ke2共线,就k 的值为（- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A1 B- 1 C1 D0 3如向量方2 x

17、 - 3（ x - 2a ） =0,就向量 x 等于（）A6 a 54在 ABC 中, AE =B- 6a C6a D6 a 51 AB ,EF BC,EF 交 AC 于 F,设 AB =a, AC =b,就 BF 用 5a、b 表示的形式是 BF =_5在 ABC 中, M、N、P 分别是 AB、 BC、CA 边上的靠近A、B、C 的三等分点, O是 ABC 平面上的任意一点, 如 OA +OBOC=1 e1-31 e2,就 2OMONOP=_6已知 ABC 的重心为 G,O 为坐标原点, OA =a, OB =b, OC =c,求证： OG =1 （a+b+c）3参考答案：1. B 2. C 3. C 4- a+1 b 551 e1-31 e226连接 AG 并延长,设AG 交 BC 于 M AB =b- a, AC =c- a, BC =c- b,名师归纳总结 AM = AB +1 BC =（b- a）+ 21 （c-b）= 21 （c+b- 2a）2第 11 页,共 11 页 AG =2 AM = 31 （ c+b- 2a）3 OG = OA + AG =a+1 （c+b- 2a）= 31 （ a+b+c）3- - - - - - -