2022年平面解析几何知识点归纳.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载平面解析几何学问点归纳 学问点归纳 直线与方程 1.直线的倾斜角规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时,它的倾斜角为x20kP 1P 2y 2y 1范畴：直线的倾斜角的取值范畴为0 ,的直线的斜率公式为2.斜率：ktana2,kR斜率公式：经过两点P 1x 1,y 1,P 2x2,y2x 1x 2x 13.直线方程的几种形式名称方程kxbx 0说明适用条件斜截式k 是斜率y点斜式yy0kxb 是纵截距与 x 轴不垂直的直线x0 y0是直线上的已知点两点式yy 1xx 1与两坐标轴均不垂直x 1,y 1,x2,y2是直线上截距

2、式y2y 1x 2x 1的两个已知点的直线x 1x2,y 1y2不过原点且与两坐标a 是直线的横截距xy b1a轴均不垂直的直线b 是直线的纵截距一般式AxByC0当B0时,直线的横截距全部直线为C AA2B20当B0时,A,C,C分别为直线BAB的斜率、横截距,纵截距才能提升 斜率应用名师归纳总结 例 1.已知函数fxlog2x1 且abc0,就fa,fb ,fc的大小关系第 1 页,共 8 页abc- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2.已知实数x,y满意yx22x学习必备1 ,试求欢迎下载21xy3的最大值和最小值x2两直线位置关系两条直线的位

3、置关系位置关系l l1 2: :l 1l 2: :y yk 1 xk 2 xb 1b 2B 1 yB 2 yl l1 2: :A 1 xA 2 xB 1 yB 2 yC 1C20 0A 2B 1时它们平行k 1k2,且b 1b2A 10 0B 1C 1A1B2-A2B1=0 A 2B 2C 2重合k 1k2,且b 1b2A 1B 1C 1A 2B 2C2相交k 1k2A 1B 1C 1C2A 2B 2垂直k 1k21A 1A 2B 1B20y yk 1 xk 2 xb 1b 2或l l1: :A 1 xA 2 x设两直线的方程分别为：；当k 1k2或A 1B22相交,交点坐标为方程组y yk

4、k1x xb 1b 2或A 1A 2x xB 1 yB 2 yC 1C 20 02直线间的夹角：名师归纳总结 当1如为1l 到2l 的角 ,tank 2kk 1或tanA 1B 2A 2B 1；：2第 2 页,共 8 页12k 1A 1A 2B 1B 2如为1l 和2l 的夹角 ,就tank2kk1或tanA 1B 2A 2B 112k 1A 1A 2B 1B 2k 1k20或A 1A 2B 1B20时,o 90 ；直线1l 到2l的角与1l 和2l的夹角- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 或2；学习必备欢迎下载距离问题1. 平面上两点间的距离公式P 1

5、x 1,y 1,P 2x2,y2就P 1P 2x2x 1y 2y 12. 点到直线距离公式点P x 0y0到直线l:AxByC0的距离为：dAx0ABy02C2B3. 两平行线间的距离公式已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：AxByC 10,C20有交点,就过1l 与2l交点的2l ：AxByC20,就1l 与2l 的距离为dC 12C22B 2yAB4. 直线系方程 : 如两条直线1l ：A 1xB 1yC 10,2l：A 2x直线系方程为A 1xB 1yC 1A 2xB2yC20或A 2xB2yC2+A 1xB 1yC 10 为常数 对称问题1. 中点坐标公式：已知点A

6、x 1,y 1,Bx 2,y 2,就A,B中点Hx,y的坐标公式为xx 12x 2y 1y 2点Px0y0关于A a ,b的对称点为Q2 ax0,2 by2y0,直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问题；2. 轴 对 称 ：b点Pa,b关 于 直 线AxByc0 B0的 对 称 点 为Pm ,n, 就 有n-bA1m-aBC0,直线关于直线对称问题可转化为点关于直线对称问题；nAa2mB2（1）中心对称：点关于点的对称：名师归纳总结 该点是两个对称点的中点,用中点坐标公式求解,点A a ,b关于Cc,d的对称点2 ca2,db 第 3 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 -

7、 - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载直线关于点的对称：、在已知直线上取两点,利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再由两点式求出直线方程；、求出一个对称点,在利用l1/ l2由点斜式得出直线方程；、利用点到直线的距离相等；求出直线方程；如：求与已知直线l1:2x3y60关于点P,11 对称的直线2l 的方程；点关于直线对称：、点与对称点的中点在已知直线上,点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数；、求出过该点与已知直线垂直的直线方程,然后解方程组求出直线的交点,在利用中点坐标公式求解；如：求点 A 3 5, 关于直线 l : 3 x 4 y 4 0 对称的坐标；直线关

8、于直线对称： （设 a, b 关于 l 对称）、如 a, b 相交,就 a 到 l 的角等于 b 到 l 的角；如 a / ,就 b/ l,且 a, b 与 l 的距离相等；、求出 a 上两个点 A, B 关于 l 的对称点,在由两点式求出直线的方程；、设 P x , y 为所求直线直线上的任意一点,就 P 关于 l 的对称点 P 的坐标适合 a 的方程；如：求直线 a : 2 x y 4 0 关于 l : 3 x 4 y 1 0 对称的直线 b 的方程；才能提升例 1. 点P 2 1, 到直线mxyy3x0mR 的最大距离为AMN 的周长最短,并求出周长；例 2. 已知点A3 1,在直线和y

9、0上各找一点 M 和 N ,使线性规划问题：（1）设点Px0y0和直线l:AxBBy0C0,BAx0By0C0；如点 P 在直线 l 上,就Ax0By0C0；如点 P 在直线 l 的上方,就如点 P 在直线 l 的下方,就AxBy0C0；（2）二元一次不等式表示平面区域：名师归纳总结 对于任意的二元一次不等式AxByC0 0,第 4 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载当 B 0 时,就 Ax By C 0 表示直线 l : Ax By C 0 上方的区域；Ax By C 0 表示直线 l : Ax By C 0 下方的区

10、域；当 B 0 时,就 Ax By C 0 表示直线 l : Ax By C 0 下方的区域；Ax By C 0 表示直线 l : Ax By C 0 上方的区域；留意： 通常情形下将原点 ,0 0 代入直线 Ax By C 中,依据 0 或 0 来表示二元一次不等式表示平面区域；（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题；满意线性约束条件的解x ,y叫做可行解, 由全部可行解组成的集合叫做可行域；生产实际中有很多问题都可以归结为线性规划问题；留意：当B0时,将直线AxBy0向上平移,就zAxBy的值越来越大；y C4,2 直线AxBy0向下平移,

11、就zAxBy的值越来越小；当B0时,将直线AxBy0向上平移,就zAxBy的值越来越小；直线AxBy0向下平移,就zAxBy的值越来越大；如：在如下列图的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界）,目标函数zxay取得最小值的最优解有很多个,就a 为；（1）设点Px0y0和直线l:AxByC0,O A1,1 B5,1 x 如点 P 在直线 l 上,就Ax0By0C0；如点 P 在直线 l 的上方,就BAx0By0C0；如点 P 在直线 l 的下方,就BAx0By0C0；（2）二元一次不等式表示平面区域：名师归纳总结 当对于任意的二元一次不等式CAxByCl0 0,0上方的区域；第 5 页,共 8

12、 页B0时,就AxBy0表示直线:AxByCAxAxByC0下方的区域；0下方的区域；ByC0表示直线l:当B0时,就AxByC0表示直线l:AxByC- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AxByC0表示直线l学习必备欢迎下载0 来表示二元一次不等式表示平面:AxByC0上方的区域；留意： 通常情形下将原点,00 代入直线AxByC中,依据0 或区域；（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题；满意线性约束条件的解x ,y叫做可行解, 由全部可行解组成的集合叫做可行域；生产实际中有很多问题都可以归结为线性规划

13、问题；留意：当B0时,将直线AxBy0向上平移,就zAxBy的值越来越大；y C4,2 By的值越来越小；直线AxBy0向下平移,就zAxBy的值越来越小；当B0时,将直线AxBy0向上平移,就zAx,目标函数直线AxBy0向下平移,就zAxBy的值越来越大；如：在如下列图的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界）zxay取得最小值的最优解有很多个,就a 为；A1,1 B5,1 O x 圆与方程2.1 圆的标准方程：xa2yb2r2圆心Ca ,b,半径 rr 的圆的方程是：x2y2r2. 特例：圆心在坐标原点,半径为2.2 点与圆的位置关系：名师归纳总结 1. 设点到圆心的距离为d,圆半径为r

14、 ：2dr ；3 点在圆内（x0dr 0b2r2第 6 页,共 8 页1点在圆上d=r ；2点在圆外2.给定点Mx0y0及圆C:xa2yb r2. a2y M 在圆 C 内x 0a2y0b2r2 M 在圆 C 上 M 在圆 C 外x 0a2y0b2r2. 2.3 圆的一般方程：x2y2DxEyF0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载r20D2E24F. 4AF0. 当D2E24F0时,方程表示一个圆,其中圆心CD,E,半径222当D2E24F0时,方程表示一个点D,E. 22B且AC0且D2E2当D2E24F0时,方程无图形（称虚圆）.

15、注：（ 1）方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是：圆的直径系方程：已知AB是圆的直径br2的位置关系有三种,A x1,y1Bx2,y2xx1xx2yy1yy20d 是圆2.4 直线与圆的位置关系：直线AxByC0与圆xa2y心到直线的距离,dAaABbBC22（1）dr相离0；2dr相切0；（3）dr相交02.5 两圆的位置关系设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,O 1O 2d；外切3条公切线；（1）dr 1r2外离4 条公切线；（2）dr 1r2（3）r 1r 2dr 1r 2相交2 条公切线；（ 4）dr 1r2内切1 条公切线（5）0dr 1r 2内含无公切

16、线；内含外离外切相交内切圆的切线方程 ：1.直线与圆相切：1圆心到直线距离等于半径r；（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）2.圆x2y2r2的斜率为k 的切线方程是ykx1k2r过圆x2y2DxEyF0上一点Px0y0的切线方程为：x0xy0yDxx0Eyy0F0. 22一般方程如点 x0 ,y0在圆上,就 x ax0 a+y by0 b=R 2. 名师归纳总结 特殊地,过圆x2y2r2上一点Px0y0的切线方程为x0xy0yr2. 第 7 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载L22 Rd2第 8 页,共 8 页y1y0kx1x0如点 x0 ,y0不在圆上,圆心为a,b就Rby1kax 1,联立求出k切线方程 . R213.圆的弦长问题：1.半弦L 、半径 r、弦心距 2d 构成直角三角形,满意勾股定理：22、弦长公式（设而不求） ：AB（x 12 x 2）y 1y 22 （1k2）x 1x 22x 1x 24- - - - - - -