柯西不等式的证明及妙用.docx

《柯西不等式的证明及妙用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《柯西不等式的证明及妙用.docx（20页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、柯西不等式的证明及妙用摘要：在高等数学的应用领域，柯西不等式的重要性不言而喻。本文致力于 探究柯西不等式的证明方式，并在此基础上深入研究柯西不等式在其它方面的妙 用。在求证不等式时，柯西不等式发挥着越来越重要的作用。除此之外，寻找方 程的最优解，解析几何图形特别是三角形，以及更深层次的点线之间的距离关系， 都可以与柯西不等式相互证明和解释。关键词：柯西不等式，证明，妙用对于柯西不等式的证明与应用问题，可以说涉及数学研究的方方面面，是现代数学学习的重要鼎力。本文在讲述柯西不等式基本原则的基础上，深入研究其证明的方法以及与其他数学知识相结合产生的妙用。柯西不等式的重要性不言而喻，对于柯西不等式的证

2、明问题也有很强的多样性，本文就列举了几种方法来证明柯西不等式。从另一个角度看，柯西不等式与其他的数学原则紧密结合，在多个方面列举了柯西不等式的妙用。一、相关定理定理 设则柯西不等式是指下面的定理当数组 a ，a ，a ,b ，b ，b 不全为 0 时，等号成立当且仅当.12n12n变式 1 设,等号成立当且仅当柯西不等式有两个很好的变式：所以，即即变式 2 设 a ,b 同号且不为 0（i=1，2，n）则,ii二、柯西不等式的证明作差：因为常用的证明柯西不等式的方法有： 1）配方法：当且仅当即时等号成立。2） 利用判别式证明（构造二次函数法）当且仅当时等号成立，即时等号成立。若，则此时不等式显

3、然成立。若，构造二次函数对于 xR 恒成立，所以此二次函数的判别式0，即得证。i）当时，有，不等式成立。当 n=2 时，。3） 用数学归纳法证明因为，故有当且仅当，即时等号成立。ii）假设时不等式成立。即当且仅当时等号成立。那么当时，又由内积的定义，,其中是,的夹角，且有。于是时不等式成立。设维空间中有二个向，其中为任意两组实数。由向量的长度定义，有|,由 i）ii）可得对于任意的自然数 n，柯西不等式成立。4）用向量法证明因|，故，于是|即由,共线可知当且仅当|时，即与共线时等号成立。即由以上，命题得证。 三、柯西不等式的妙用1）证明不等式在不等式的证明中，柯西不等式的作用是很突出的。有些不

4、等式的证明用常归方法很繁琐，而用柯西不等式却很简单。例 3.1.1 已知 abcd，求证：。证 因为 a-d=(a-b)+(b-c)+(c-d)0,由柯西不等式知=(a-b)+(b-c)+(c-d)=9从而。例 3.1.2：已知，求证：证法一：（常用证法）把上面个不等式相加，得即证法二：（利用柯西不等式来证明）分析求证的不等式特点，可构造如下两组数：由柯西不等式（A）有例 3.1.3：设（i=1，2，n）且，求证：5证 注意到恒等式=，只需要证明两相比较，可见用柯西不等式证明较为简捷又=6+故2 即2当且仅当有不等式。例 3.1.5：已知时等号成立。为互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数

5、n，即上式左边=，得证。例 3.1.4：设实数,满足0,b,c求证证 因为 a0,由均值不等式得=同理可得，故由柯西不等式可知从而=证明：由柯西不等式：因为而于是于是。数不小于，最大的不小于，这样就有。所以有。又因为为互不相等的正整数，故其中最小的数不小于，次小的所以有。例 3.1.6：设，则证明：5即证明：由柯西不等式，对于任意的个实数，有因此原不等式转换为证明1当 k2 时，有=-当 k=1 时，1-，因此。例 3.1.7:设，则。5左边=证 由柯西不等式变式 1，得=例 3.1.8（第 42 届 IMO 预选题）设是任意实数。证明：.令=，k=1，2，n.证 由柯西不等式，对于任意实数有

6、=例 3.1.10.若 n 是不小于 2 的正整数，试证：5证明：1-1.故原不等式得证。例 3.1.9 设，则.5左边=-证 由柯西不等式，得所以求证式等价于于是：由柯西不等式有又由柯西不等式有2） 求函数的极值柯西不等式也可以广泛应用于求函数的极值或最值。事实上，由可得从大到小可以确定是从到，这个公式的前半部可以看做函数来处理，后半部则可以理解为一个固定值， 由此可得，在这个函数有最大可能性与最小可能性时。例 3.2.1：求函数的最大值，并指出为何值时取得最大.从对立的角度讲，柯西不等式的前端可以取一个乘法关系或者因果关系的算式，然后把它看做是一个函数关系，在假设后半段或者其他数学关系为已

7、知关系时，可以从最小的层面上得出函数的值。方式一：由算式可知所以在最简单的函数层面，也可以理解为，从三角函数的角度，我们很容易解析出算式的方式二：从柯西不等式的关系来看=10 如要要符合等式成立，相应的条件应该是，每当时，可以最大值是 10.但 x 的结果并没有办法确定。由条件可得，解得，当且仅当时等号成立，代入时，形成一个等式，在这个时候=3.36 所以最大的可能值是 10 与此同时，我们可以算出=3.3.6.例 3.2.2：已知为常数，当时，求函数的最大值与最小值。5解：由柯西不等式：故。当且仅当，即（为常数）时等号成立。将代入得则，即当分别为所求的最大与最小值。 例 3.2.3 已知实数

8、 a,b,c,d,满足时，,，试求 a 的最值即解：由柯西不等式得，有例 3.3.3 解方程.5时例 3.3.1：解方程组3） 解方程即，故方程组无解。解：由柯西不等式：例 3.3.2：在实数集内解方程组.5（1）因为解：由柯西不等式：又因为。即由柯西不等式取等号的条件有（2）（2）式与联立，则有。即（1）式取等号。解 根据柯西不等式因=11 从而即0 从而=0 故=0 又由上述过程的可逆性还得到=再根据柯西不等式取等号的条件，有且仅有（k 为常数）将此带如原方程得即=11，而=0 从而 k=1 因此求得原方程的解为4） 解三角与几何问题36证明 根据柯西不等式的原则例 3.4.1 在ABC

9、中，设其各边长为 a,b,c,外接圆半径为 R 求证=36，证必。的长度，作为ABC 划出的圆半径，由此可得。例 3.4.2 如果 P 作为ABC 中的一个点，分别是 P 点到三角形的三条边因为故（2）又因为证明：由柯西不等式得，记为ABC 的面积，则例 3.4.3：在三角形中，证明。5故不等式成立。即（1）证明：由柯西不等式：因而（3）将（3）代入（2）得（4）将（4）代入（1）得即。于等于三角形总面积的，得出关系，这个数学关系中作例 3.4.4：从三角形的三边关系出发，由它的边长组成的正方形面积的和大，其中。于是为三角形的三条边长，为是三角形的总面积。解：从海伦秦九韶的面积公式可以得出：当

10、且仅当，即时等式成立。由柯西不等式：于是。变形得：即（是三角形的面积）故有，当且仅当时等号成立。例 3.4.5：设ABC 为任意三角形，求证：，1，1，1分析：从所要证明的不等式出发，构造如下两组数：即由柯西不等式，有的得出，可以很好的解决这一类的难题，从不利的层面讲，从不等式与证明关系的比较角度而言，等式关系，因此，这种数组关系很难从不等式的解法上找出这一求证方；法，一系列原则下的两组数字如下所示：由柯西不等式（A），有即.把上面不等式与求证不等式比较，可知要证原不等式成立，须证由已知由已知上面这个不等式，可证明如下：这样，本题即可证明了.根据上面的分析，写出证明如下： 先构造如下两组数即由

11、柯西不等式有当时，此时，k 为常数。点均在直线上，当时，即于是，有 1,.5） 线性关系函数与柯西不等式关系的妙用数关系这一关系存在，从中可以得出和离 1 越近，从概率论与数理统计一书中，我们可以看出，线性回归关系有相应地系它们的相互关系水平越高，值会逐渐向 0 演变，它们的相互关系水平会逐渐变现记，则，由柯西不等式有，低。从柯西不等式的角度，线性关系可以得到很好地解释。而为常数。此时，此时，k 为常数将（4）代入（3），则有点均在直线附近，所以越接近于 1，相关程度越大当时，不具备上述特征，从而，找不到合适的常数 k，使得点都在直线附近。所以，越接近于 0，则相关程度越小。已知点及直线，设是

12、上任意一点，点到的距离的最小值|就是点到的距离，证明：|。6） 推导点到直线的距离公式证明：因为是上的点，所以有o （1）而|（2）（3）由（1）得：（4）由柯西不等式：即移项则有：|（5）当且仅当即时（5）式取等号，即点到直线的距离公式：|。四、结论本文探究了柯西不等式的证明以及在多个方面的妙用，不管是方程最优解的 寻求，还是三角形或其他几何图形的解析问题，柯西不等式都发挥着重要的作用。通过对柯西不等式证明及妙用的研究，对于更有效的利用柯西不等式有重要作用。但是,柯西不等式的运用条件十分灵活，且技巧性强，很多时候都不能直接运用柯西不等式来解决某些数学问题。从哪里入手，如何创造条件，怎么创造，实际教学中不少同学找不到突破口，感到无所适从，所以这就要求我们还需要进一步去深入研究。参考文献1.刘瑞香.不等式证明方法J.高等数学研究，2019,22（06）：25-282.马进才.柯西不等式的应用初探J.河北理科教学研究，2019(04):9-11.