初中数学培优竞赛讲座第18讲乘法公式.doc
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1、|第十八讲 乘法公式乘法公式是在多项式乘法的基础上,将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘,得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论,在复杂的数值计算,代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用,在学习乘法公式时,应该做到以下几点:1熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式;2根据待求式的特点,模仿套用公式;3对公式中字母的全面理解,灵活运用公式;4既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式例题【例 1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为 2000,则这两个连续奇数可以是 ( 江苏省竞赛题)(2)已知(2000 一 a)(1998 一 a)=19
2、99,那么(2000 一 a)2+(1998 一 a)2= (重庆市竞赛题)思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组;(2)视(2000 一 a)(1998 一 a)为整体,由平方和想到完全平方公式及其变形注:公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式,通过推导,得到一些新的公式;另一种是从大量的特殊的数量关系入手,并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律一公式从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律,而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法乘法公式常用的变形有:(1) , abba2)(2 2)(2)()( 2baba(2) ;2)(3) ;4)(22(4) ,ab )()(222 ac
3、bcbacba【例 2】 若 x 是不为 0 的有理数,已知 ,)12)(2xxM,则 M 与 N 的大小是( ) AMN B M0,bo),丙商场:第一次提价的百分率2ba为 b,第二次提价的百分率为 a,则哪个商场提价最多?说明理由 (河北省竞赛题)思路点拔 对于(1),(2)两个未知数一个等式或不等式,须运用特殊方法与手段方能求出 x、y 的值,|由平方和想到完全平方公式及其逆用,解题的关键是拆项与重组;对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示,作差比较它们的大小注: 有些问题常常不能直接使用公式,而需要创造条件,使之符合乘法公式的特点,才能使用公式常见的方法是:分组、结合,拆
4、添项、字母化等完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论: (1) ;0)(22baa揭示式子的非负性,利用非负数及其性质解题 (2) b应用于代数式的最值问题代数等式的证明有以下两种基本方法:(1) 由繁到简,从一边推向另一边; (2)相向而行,寻找代换的等量 【例 5】 已知 a、b、c 均为正整数,且满足 ,又 a 为质数22cba证明:(1)b 与 c 两数必为一奇一偶;(2)2(a+b+1)是完全平方数思路点拨 从 的变形入手; ,运用质数、奇偶数性质证明22c22c学力训练1观察下列各式:(x 一 1)(x+1)x 2 一 l;(x 一 1)(x2+x+1)=x3 一 1;(x 一
5、1)(x3 十 x2+x+1)=x4 一 1根据前面的规律可得(x 一 1)(x n+x n-1+x+1)= (武汉市中考题)2已知 ,则 = (杭州市中考题)052baba3计算:(1)1.23452+0.76552+2.4690.7655: ;(2)19492 一 19502+19512 一 19522+19972 一 19982+19992 = ;(3) 1919784如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形,请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b 的恒等式 (大原市中考题)5已知 ,则 = (菏泽市中考题)5241a6已知 ,则代数式 的值为( ),3cbabc2A一 1
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