2018年极坐标和参数方程知识点典型例题讲解同步训练.docx

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1、极坐标与参数方程知识点极坐标与参数方程知识点+典型例题典型例题讲解讲解+同步训练同步训练知识点回忆知识点回忆一曲线的参数方程的定义：一曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个变数 t 的函数，即并且对于 t 每一个允许值，由方程组所确定的点 Mx，y都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数二常见曲线的参数方程如下：二常见曲线的参数方程如下：1过定点x0，y0，倾角为的直线：t 为参数其中参数 t 是以定点 Px0，y0为起点，对应于 t 点 Mx，y为终点的有向线段PM 的数量，又称为点 P

2、与点 M 间的有向距离根据 t 的几何意义，有以下结论AB设 A、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 tA与 tB，那么1BAABtttt4)(2ABtt 线段 AB 的中点所对应的参数值等于22中心在x0，y0，半径等于 r 的圆：为参数3中心在原点，焦点在 x 轴或 y 轴上的椭圆：为参数或中 心 在 点 x0,y0 焦 点 在 平 行 于 x 轴 的 直 线 上 的 椭 圆 的 参 数 方 程为参数）(.sin,cos00byyaxx4中心在原点，焦点在 x 轴或 y 轴上的双曲线：为参数或5顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线：t 为参数，p0直线的参数方程与参数的几何意

3、义的直线的参数方程是t 为参数 过定点 Px0，y0，倾斜角为三极坐标系三极坐标系1、定义：在平面内取一个定点 O，叫做极点，引一条射线 Ox，叫做极轴，再选一个长度单位与角度的正方向通常取逆时针方向。对于平面内的任意一点 M，用表示线段OM 的长度，表示从 Ox 到 OM 的角，叫做点 M 的极径，叫做点 M 的极角，有序数对(,)就叫做点 M 的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。2、极坐标有四个要素：极点；极轴；长度单位；角度单位及它的方向极坐标与对应、直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数)，但平面内任一个点 P 的极坐标不惟一一个点可以有无数个坐标，这

4、，惟一点 P(，)或k2,)极点除外的全部坐标为(，些坐标又有规律可循的，P(的取值范围加以、Z)极点的极径为 0，而极角任意取假设对k，()12(k0，0限制那么除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定等极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的即一个点的极坐标是不惟一的3、极坐标与直角坐标互化公式：典型例题典型例题讲解讲解极坐标极坐标考点一考点一极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化)，那么它的极坐标可表示为_ 2，21.点 P 的直角坐标为(2，34 答案：，那么圆心 C 的极坐标为22(1)(3)1xy2.圆 C：(0,02

5、)_答案：3.把点的极坐标化为直角坐标。4.曲线的极坐标方程=sin化 成直角坐标方程为()2+(y+2)22+(y-2)2=4C.(x-2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4，sin=代入=4sin，得 x2+y2=4y，即 x2+(y-2)2=4.22yx 解：将=应选 B.5.假设曲线的极坐标方程为2sin 4cos，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系，那么该曲线的直角坐标方程为_解析2sin 4cos，22sin 4cos.x2y22y4x，即 x2y22y4x0.为直角坐标方程为2cos06 化极坐标方程1y D201y2x或xC1x B201yy2x或A7.极坐标

6、=cos()表示的曲线是()EMBED Equation.3(cos+sin)21解：原极坐标方程化为=22=cos+sin，(x2+y2)=x+y，表示圆.应选 D.2普通方程为考点二考点二 直线的极坐标方程的应用直线的极坐标方程的应用1.过点且与极轴垂直的直线方程为D.sin3 C.cos10 B.4cos A.3sin 2.在极坐标系中，直线l过点(1,0)且与直线R垂直，那么直线l极坐标方程为答案：或、cos3 sin1，那么直线 l3，直线 l 过点 A 且与极轴所成的角为2，6 3.设点 A 的极坐标为的极坐标方程为_审题视点 先求直角坐标系下的直线方程再转化极坐标方程，1)，又直

7、 3，点 A 的平面直角坐标为(2，6【解析】点 A 的极坐标为，即3)tan3，直线 l 的方程为 y1(x3线 l 过点 A 且与极轴所成的角为cos sin 20，可整理为 3xy20，直线 l 的极坐标方程为 31.43 1 或sin31 或sin6 cos43 1 或sin3cos sin 20 或sin 31 或6 答案cos1.的距离是_。cossin34.极点到直线解析：直线:()306lRxy；点C到直线l的距离是到直线 l 的距离为2，6 5.在极坐标系中，直线 l 的方程为sin 3，那么点_，1)，3化为直角坐标为(2，6 解析：直线 l 的极坐标方程可化为 y3，点到

8、直线 l 的距离为 2.2，6 点考点三考点三圆的极坐标方程的应用圆的极坐标方程的应用为半径的圆的极坐标方程是。2a1.在极坐标系中，以为圆心，解析：由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式得22222 cosxyx0，又0，所以2cos.2.在极坐标中，圆C经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆C的极坐标方程解析：圆C圆心为直线与极轴的交点，在中令=0，得1。圆C的圆心坐标为1，0。圆C经过点，圆C的半径为22212 12cos=14PC。圆C经过极点。圆C的极坐标方程为=2cos。3.在极坐标系中，圆4sin的圆心到直线的距离是_【解析】距离是3圆224sin(2)4xy的圆心(0,2)C4.在

9、极坐标系中，圆=2cos与直线 3cos+4sin+a=0 相切，求实数 a 的值。，22222,(1)1xyx xy，圆=2cos的普通方程为：22 cos解析：，340 xya直线 3cos+4sin+a=0 的普通方程为：。8a ，或2a 又圆与直线相切，所以解得：5.在极坐标系(，)(02)中，曲线2sin 与cos 1 的交点的极坐标为_解析2sin 的直角坐标方程为 x2y22y0，cos 1 的直角坐标方程即两曲线的交点x1，y1，解得x2y22y0，x1，为 x1，联立方程，得.2，34 为(1,1)，又 02，因此这两条曲线的交点的极坐标为，4cos0 02，cos3的极坐标

10、方程分别为12CC，6.曲线交点的极坐标为2C与1C那么曲线解得,即两曲线的交点为。cos3(0,0)4cos2解析：联立解方程组7 在极坐标系,中，曲线2sin与2cos的交点的极坐标为_解析：两式相除得tan12sin244，交点的极坐标为8.在极坐标系中，假设过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos 于 A、B 两点，那么|AB|_.审题视点 先将直线与曲线的极坐标方程化为普通方程，再利用圆的知识求|AB|.【解析】注意到在极坐标系中，过点(1,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是 x1，曲线4cos 的直角坐标方程是 x2y24x，即(x2)2y24，圆心.32 41(2,0)

11、到直线 x1 的距离等于 1，因此|AB|29.直线2 cos1与圆2cos相交的弦长为【解析】2 cos1是过点且垂直于极轴的直线，2cos是以0,1为圆心，1 为半径的圆，那么弦长=.2 被圆4 截得的弦长为_4 10.在极坐标系中，直线sin4 可化为 2(sin cos)2 可化为 xy2222，得4 解析由sin.344222222r2d2x2y216，由圆中的弦长公式得：2参数方程知识点参数方程知识点满足，该方(,)P x y1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，假设曲线 C 上的点程叫曲线 C 的参数方程，变量 t 是参变数，简称参数。的函数t都是某个变数yx,在平面直角坐标系

12、中，如果曲线上任意一点的坐标都在这条曲线上，),(yxM的每一个允许值，由这个方程所确定的点t并且对于叫做参变数，t的变数yx,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。2曲线的参数方程的参数方程可表示为222)()(rbyax1圆.)(.sin,cos为参数rbyrax的参数方程可表示为.)0(ba2椭圆的参数方程可表示为.pxy223抛物线的参数方程l的直线，倾斜角为),(ooOyxM4经过点为参数.t可表示为3在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普的取值范围保持一致.yx,通方程的互化

13、中，必须使规律方法指导：1、把参数方程化为普通方程，需要根据其构造特征，选取适当的消参方法.常见的消参方法有：代入消法；加减消参；平方与差消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等.化为参数方程的关键：一是适中选取参数；的普通方程2、把曲线二是确保互化前前方程的等价性，注意方程中的参数的变化范围。考考点点一一参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化1.把以下参数方程化为普通方程：x112t，y532t.(2)x3cos，y2sin；(1)由三角恒等式 cos2sin21,cos x3，sin 2y，解析：(1)由可知(x3)2(y2)21，这就是它的普通方程t 中，

14、32(2)由 t2x2，代入 y50 就是它的普通方程 3xy5 3(2x2)，即32得 y52.直线l经过点(1,1)P,倾斜角，写出直线l的参数方程;解析：直线的参数方程为，即(t 为参数)所表示的图形分别是x1t，y2t3.极坐标方程cos 与参数方程()D圆、直线B直线、圆C圆、圆A直线、直线，2x，x2y2xx代入到cos，得x解析：cos x，cos 相加得 xy1，表示直线答案Dx1t，y2t，表示圆又(t 为实数)与直线 4xky1 垂直，那么常数 kx12t，y23t4.假设直线_.所表示的直线方程为 3x2y7，由此直线与直x12t，y23t，解析：参数方程1，解得 k6.

15、4k 32线 4xky1 垂直可得考考点点二二直线与圆的参数方程的应用直线与圆的参数方程的应用sin2(t 为参数)，圆 C 的极坐标方程为2x2t，y14t1.直线 l 的参数方程为：，那么直线 l 与圆 C 的位置关系为_化为普通方程得，y12x，圆x2t，y14t解析：将直线 l 的参数方程：)到直线 y12x 的距 2)22，圆心(0，2sin 的直角坐标方程为 x2(y 22，因为该距离小于圆的半径，所以直线 l 与圆 C 相交2114离为答案相交2.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为几点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。直线l上两点NM,的极坐标分别为，圆C的参数方程为参数。设P为

16、线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；判断直线l与圆C的位置关系。【解析】由题意知，因为P是线段MN中点，那么因此OP直角坐标方程为：因为直线l上两点l垂直平分线方程为：332 30 xy，圆心(2,3)，半径2r.2 33 32 33239dr,故直线l与圆C相交.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为4sin的极坐标方程是C3.曲线是曲线P的参数方程是参数，点l轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线x|的最小值PQ上的动点，求|l是直线Q上的动点，点C,24 sin可化为4sin的极坐标方程C解：曲线.22(2)4xy，即2240 xyy其直角坐标方程为的距离l.所以，圆心到直线40

17、xy的方程为l直线.3 22的最小值为PQ所以，4.曲线C的极坐标方程是 sin2，设直线L的参数方程是t为参数 将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；设直线L与x轴的交点是M，N曲线C上一动点，求MN的最大值.解析：1曲线C的极坐标方程可化为：sin22 又 sin,cos,222 yxyx.所以，曲线C的直角坐标方程为：0222 yyx.2将直线L的参数方程化为直角坐标方程得：令0 y得2 x即M点的坐标为)0,2(又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为)1,0(，半径1 r，那么5 MC15 rMCMN轴正x为参数)，以原点为极点,的参数方程(C5.(坐标系与参数方程选做题)圆的C与圆l,那么

18、直线1sin的极坐标方程为l半轴为极轴建立极坐标系,直线._交点的直角坐标为的方程为C，圆1y的方程为l【解析】由题设知，在直角坐标系下，直线.1,1,1,1.，又解方程组，得或.故所求交点的直角坐标为1122 yx考点三考点三直线与圆锥曲线的参数方程直线与圆锥曲线的参数方程(是参数)的左焦点的坐标是_x5cos，y3sin 1.二次曲线1 左焦点为(4,0)y29x225解析题中二次曲线的普通方程为t为参数的右焦点，且与直线中，求过椭圆xOy2.在平面直角坐标系为参数平行的直线的普通方程同步练习稳固训练同步练习稳固训练一、选择题一、选择题1假设直线的参数方程为，那么直线的斜率为假设直线的参数

19、方程为，那么直线的斜率为32D32C23B23A上的点是上的点是sin2()cossinxy为参数2以下在曲线以下在曲线(1,3)D(2,3)ABC化为普通方程为化为普通方程为222sin()sinxy 为参数3将参数方程将参数方程2(23)yxxC2yxB2yxA2(01)yxyD为直角坐标方程为为直角坐标方程为2cos04化极坐标方程化极坐标方程1y D201y2x或xC1x B201yy2x或A的极坐标为的极坐标为M，那么点，那么点(1,3)的直角坐标是的直角坐标是M5点点ABCD表示的曲线为表示的曲线为cos2sin26极坐标方程极坐标方程A一条射线与一个圆一条射线与一个圆B两条直线两

20、条直线C一条直线与一个圆一条直线与一个圆D一个圆一个圆二、填空题二、填空题1直线的斜率为直线的斜率为_。的普通方程为的普通方程为_。()2()ttttxeetyee 为参数2参数方程参数方程，(1,2)A，又点，又点B相交于点相交于点2:245lxy与直线与直线11 3:()24xtltyt 为参数3直线直线_。AB 那么那么截得的弦长为截得的弦长为_。224xy4直线被圆直线被圆的极坐标方程为的极坐标方程为_。cossin0 xy5直线直线三、解答题三、解答题上的动点，上的动点，222xyy是圆是圆(,)P x y1点点的取值范围；的取值范围；2xy1求求的取值范围。的取值范围。a恒成立，求

21、实数恒成立，求实数0 xya2假设假设的坐标，及点的坐标，及点P的交点的交点2:2 30lxy与直线与直线11:()53xtltyt 为参数2 2求直线求直线P的距离。的距离。(1,5)Q与与的距离的最小值。的距离的最小值。2120 xy3在椭圆上找一点，使这一点到直线在椭圆上找一点，使这一点到直线一、选择题一、选择题之间的距离是之间的距离是(,)P a b与与1P，那么点，那么点1t对应的参数是对应的参数是1P上的点上的点l的参数方程为，的参数方程为，l1直线直线D12 tC12 tB1tA2参数方程为表示的曲线是参数方程为表示的曲线是A一条直线一条直线B两条直线两条直线C一条射线一条射线D

22、两条射线两条射线的中点坐的中点坐AB两点，那么两点，那么,A B交于交于2216xy与圆与圆112()33 32xttyt 为参数3直线直线标为标为(3,3)D(3,3)C(3,3)B(3,3)A的圆心坐标是的圆心坐标是5cos5 3sin4圆圆ABCD5与参数方程为等价的普通方程为与参数方程为等价的普通方程为AB21(01,02)4yxy2xCD所截得的弦长为所截得的弦长为22(3)(1)25xy6直线被圆直线被圆934 3D82C1404B98A二、填空题二、填空题，那 么 它 的 普 通 方 程 为，那 么 它 的 普 通 方 程 为211()1xttyt 为参数,t01 曲 线 的 参

23、 数 方 程 是 曲 线 的 参 数 方 程 是_。2直线过定点直线过定点_。的 最 大 值 为的 最 大 值 为2xy上 的 一 个 动 点，那 么上 的 一 个 动 点，那 么222312xy是 椭 圆是 椭 圆P(x,y)3 点 点_。4曲线的极坐标方程为，那么曲线的直角坐标方程为曲线的极坐标方程为，那么曲线的直角坐标方程为_。的参数方程为的参数方程为2240 xyy那么圆那么圆()ytx t为参数5设设_。三、解答题三、解答题表示什么曲线？表示什么曲线？cos(sincos)()sin(sincos)xy为参数1 1参数方程参数方程2的最大距离与最小距离。的最大距离与最小距离。3424

24、xy到直线到直线P在椭圆上，求点在椭圆上，求点P点点,倾斜角，倾斜角，(1,1)P经过点经过点l3 3直线直线的参数方程。的参数方程。l1 1写出直线写出直线两点的距离之积。两点的距离之积。,A B到到P，求点，求点,A B相交与两点相交与两点422 yx与圆与圆l2 2设设同步练习稳固训练参考答案同步练习稳固训练参考答案一、选择题一、选择题1D，当时，当时，21yx 2B转化为普通方程：转化为普通方程：2,3,0,1xy，但是，但是2yx3C转化为普通方程：转化为普通方程：22(cos1)0,0,cos1xyx 或4C5C都是极坐标都是极坐标2cos4sincos,cos0,4sin,4 sin或即6C224xyy那么或那么或二、填空题二、填空题54122()()422222ttttttyxexeeyyxxyyeexe2，得，得(1,2)A，那么，而，那么，而12t 得得245xy将将代入代入52314，圆心到直线的距离，弦长的一半为，得弦长为，圆心到直线的距离，弦长的一半为，得弦长为10 xy 直线为直线为144，取，取coscossinsin0,cos()05三、解答题三、解答题1解解：1设圆的参数方程为，设圆的参数方程为，22cossin15sin()1xy 51251xy cossin10 xyaa 2