数学物理方法习题解答完整版.docx

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1、数学物理方法习题解答一、复变函数局部习题解答第一章习题解答1、证明在平面上处处不可导。证明：令。，。，。于是与在平面上处处不满足CR条件，所以在平面上处处不可导。2、试证仅在原点有导数。证明：令。所以除原点以外，不满足CR条件。而在原点连续，且满足CR条件，所以在原点可微。或：。【当，与趋向有关，那么上式中】3、设，证明在原点满足CR条件，但不可微。证明：令，那么，。，；，。在原点上满足CR条件。但。令沿趋于，那么依赖于，在原点不可导。4、假设复变函数在区域上解析并满足以下条件之一，证明其在区域上必为常数。 1在区域上为实函数；2在区域上解析； 3在区域上是常数。证明：1令。由于在区域上为实函

2、数，所以在区域上。 在区域上解析。由CR条件得 ，。 在区域上为常数。从而在区域上为常数。2令，那么。 在区域上解析。由CR条件得 。 1又在区域上解析，由CR条件得。 2联立1和2，得。在区域上均为常数，从而在区域上为常数。3令，那么。由题设知在区域上为常数，。又由CR条件得，在区域上，于是在区域上为常数。 在区域上均为常数，从而在区域上为常数。5、证明不能成为一个解析函数实部。证明：令，。不满足拉普拉斯方程。从而它不能成为一个解析函数实部。6、假设，试证：1；2；3；4。证明：1，。 2 ， 。 3 。 4 。7、试证假设函数和在解析。，那么。复变函数洛必达法那么证明：。或倒过来做。8、求

3、证：。证明：。第二章习题解答9、利用积分估值，证明a 积分路径是从到 右半圆周。b证明积分路径是直线段。证明：a方法一。方法二在半圆周上，从而在半圆周上，。或：。 b证: 。10、不用计算，证明以下积分之值均为零，其中均为圆心在原点，半径为单位圆周。a；b。证明：a奇点为，由于，所以它们均不在以原点为圆心单位圆内。 在以原点为圆心单位圆内无奇点，处处解析。 由柯西定理: 。b奇点为，它们均不在以原点为圆心单位圆内。在以原点为圆心单位圆内处处解析。由柯西定理:。 11、计算a；b。解: a在所围区域内解析，且在所围区域内。由柯西积分公式得。 b在所围区域内解析，且在所围区域内。由推广柯西积分公式

4、得。12、求积分，从而证明。解: 在所围区域内解析，且在所围区域内。由柯西积分公式得。 1 在上令，那么，其中利用了，由于是奇函数，而是偶函数，所以，。 。 2从而，联立1和2，得。13、由积分之值，证明，为单位圆周。证明：在单位圆周所围区域内解析。由柯西定理:。 1另一方面，在上， 2为奇函数， 3由1、2及3得。4又偶函数，。5于是由4和5得。14、设，证明积分是圆周时，等于；是圆周时，等于；是圆周时，等于。证明：奇点为及。是圆周时，及均在圆外，在圆内解析。由柯西定理: 。是圆周时，仅在圆内。由柯西积分公式得。是圆周时，仅在圆内。由柯西积分公式得。第三章习题解答15、求以下级数收敛半径，并

5、对c讨论级数在收敛圆周上敛散情况。a.；b.；c.为常数。解: a. 。b. 。c. 。或。【洛必达法那么】在收敛圆周上，级数成为。，它通项在时，不趋于。故级数发散。16、试求以下级数收敛半径。a.；b.；c. 。解:时，级数收敛。当时，级数发散。亦即当时，级数收敛。而当时，级数发散。于是收敛半径。 b.。c.，。 又因为，且， 故。于是所求级数收敛半径。或：，。当时，当时，17、将以下函数按幂展开，并指明收敛范围。a. ；b. 。解: a.， 。b. ， ， 。18、将以下函数按幂展开，并指出收敛范围。a. ；b. ；c. 。解: a.。， 。，。 。或：令，那么，所以 。b. c. 令，从

6、而 进一步，所以 。19、将以下函数在指定环域内展成罗朗级数。a.,；b.。解: a. 。在内,， 。 在内,， 。 b. 在内，且，。，。20、将以下函数在指定点无心邻域内展成罗朗级数，并指出成立范围。a.【】；b.【】。解: a. 无心邻域为，且， 【】 。 ， 。 b.当时， ， 。21、把展成以下级数。1在上展成泰勒级数；2在上展成罗朗级数；3在上展成泰勒级数；4在上展成罗朗级数。解:1在上，【在上解析】。2在上，。3在上解析，且，所以。4在上，所以。第四章习题解答22、确定以下各函数孤立奇点，并指出它们是什么样类型对于极点，要指出它们阶，对于无穷远点也要加以讨论：1；2；3。解: 1

7、是孤立奇点且是极点。，是一阶零点，从而是一阶极点；，是二阶零点，从而是二阶极点。在内解析，是可去奇点，四阶零点。 2在罗朗展开式主要局部有无穷多项，是本性奇点。 在内解析，是可去奇点。 3，零点，是极点。又，是一阶零点，从而是一阶极点。是奇点，但不是孤立奇点，因为在无穷远点任何邻域内,总有其它奇点。23、求在孤立奇点处留数。解:解，是奇点。 由于，是极点。又，是一阶零点，从而是一阶极点。不是孤立奇点，因为在它任一邻域内,总有其它奇点。由推论2：。【】24、求以下函数在指定点处留数。1 在；2在，。解:1为一阶级点.，为二阶极点。，。由于已是所有有限孤立奇点，。2在罗朗展开式为。由于是仅有一个有

8、限孤立奇点，。【在罗朗展开式为】25、求以下函数在其奇点包括无穷远点处留数，是自然数1 是自然数；2；3。解: 1是有限远孤立奇点。在,罗朗展开式为。令,那么。为非负整数，只有为偶数时上式才成立。而当为奇数时,，即在罗朗展开式中没有次幂项，即。当为奇数时, 。当为偶数时,项是次幂项，所以，此时。总之，不管为偶数或奇数，都有。2是唯一有限奇点,且是二阶极点。，3，是孤立奇点。在点罗朗展开式为在解析，且为偶函数,所以它在处泰勒展开式中只有偶次项。而，及。，次幂项系数。不是孤立奇点。26、求以下函数在其孤立奇点包括无穷远点处留数。1；2。解:1是本性奇点，为其孤立奇点。在点罗朗展开式为。当时，即，时

9、,系数即为，所以【利用了】。2是阶极点，而是一阶单极点。，。是仅有二个有限远孤立奇点，。27、计算以下积分1；2为自然数；3。解:1是被积函数在单位圆内孤立奇点。，。是二阶零点，也就是二阶极点。由留数定理，得。2由于，被积函数在单位圆内有二个 阶极点，。于是。同理 。由留数定理，得。3被积函数，是在圆内二个一阶极点。，。由留数定理，得。28、求以下各积分值1 ； 2。解:1，。令，那么，。令，那么。有二个一阶极点，。，在单位圆外。又，在单位圆内。由关于极点留数定理推论2，得。由留数定理，得。2，。令，那么。令，那么。有两个一阶极点和。，在单位圆外。，在单位圆内。由关于极点留数定理推论2，得。由

10、留数定理，得。29、求以下各积分值1 ； 2；3。解:1。在实轴上无奇点，且。有四个一阶极点，但只有二个，在上半平面。，。2在实轴上无奇点,当时,。在上半平面有两个一阶极点和。，。3在实轴上无奇点,且。在上半平面有二个一阶极点和。由关于极点留数定理推论2，得，。30、从出发，其中为如下图之围线，方向沿逆时针方向。证明。解:在所围区域内解析，由柯西定理:。1又。2令,那么，。又，。3，。又，。4令,由1、2、3、4得，5而，及，于是。6由5和6得。7比拟7两边实部和虚部，得。8进一步，假设令，那么8成为，从而 。二、数学物理方程及特殊函数局部习题解答第五章习题解答31、弦在阻尼介质中振动，单位长

11、度弦所受阻力比例常数叫做阻力系数，试推导弦在这阻尼介质中振动方程。解：与课上推导弦受迫振动方程一样，令其中，弦在介质中振动方程为：，即，。32、长为柔软均质轻绳，一端固定在以匀速转动竖直轴上。由于惯性离心力作用，这绳平衡位置应是水平线。试推导此绳相对于水平线横振动方程。解：研究位于到这一 段绳A振动情况。设绳质量密度为。A在纵向没有运动，于是A所受纵向合力为零，即A所受张力在纵向合力等于其所受惯性离心力，即 1在横向，由牛顿第二定律，得 2在小振动条件下，有，注意到，由1得，即 于是绳中任一点处张力为。3【段惯性离心力】又，代入2得，即，4将表达式3代入4，得绳相对于水平线横振动方程为 与无关

12、。【，边界条件，有限自然边界条件】33、长为均匀杆，两端由恒定热流进入，其强度为。试写出这个热传导问题边界条件。解：由热传导傅里叶定律，在边界上有，其中为边界单位法线矢量，为沿方向导数。在端，而，所以 。 在端，而，所以。即边界条件为：，。或：在一维时，而，由热传导傅里叶定律，得，所以边界条件为 ，。34、半径为而外表燻黑金属长圆柱，受到阳光照射，阳光方向垂直于柱轴，热流强度为。设圆柱外界温度为，试写出这个圆柱热传导问题边界条件。解法一：如图取极坐标系，极轴垂直于阳光，由阳光照射而产生，通过圆柱外表流入圆柱体热流强度为 ， 同样由阳光照射而产生，通过圆柱外表流出圆柱体热流强度为 。由圆柱本身温

13、度分布产生热流强度为，而在极坐标系中，故其通过圆柱外表流出圆柱体热流强度为。总通过圆柱外表流出圆柱体热流强度为，其在外表大小为，其中。由牛顿热交换定律，知应与成正比，即 ，两边除以，即得边界条件为：，。解法二：取如图圆柱外表一个小块来分析。 小块面积为，厚度为，两个外表分别为和，为外法线方向单位矢量，而为内法线方向单位矢量。单位时间流出小块热量等于其能量减少率，即，*其中，。令，那么，*左边趋于，*成为，*其中，*两边除以，即得边界条件：，。第六章习题解答35、长为弦，两端固定，弦中张力为，在距一端为一点以力把弦拉开，然后突然撤除这力，求解此弦振动。解：先求出初始位移，分和两段来考虑。设点位移

14、为，那么 在中，在中，。 在小振动，、很小条件下，利用力平衡条件和小振动条件，得，于是 。定解问题为。别离变数，令，代入方程及边界条件，可得既满足方程又满足边界条件通解为。代入初始条件，得 ，。 。36、研究长为，一端固定，另一端自由，初始位移为而初始速度为零弦自由振动情况。解：即求解定解问题 。别离变数，令，可得：， 1 ， 2由2解得：，。由1解得：。定解问题通解为。由初始条件，得：，。由初始条件，得：，。37、求解细杆热传导问题。杆长为，两端温度保持为零度，初始温度分布为。解：定解问题为 。令，那么可求得，满足。定解问题通解为。由初始条件得：，。当时，。整个杆到达平衡状态。38、求解细杆

15、热传导问题。杆长为，初始温度为均匀，两端温度分别保持为和。解：定解问题为 。先将非齐次边界条件化为齐次边界条件。令，使满足，那么，*将*代入，得，将*代入，得，。于是满足，其通解为。由初始条件得：，。39、长为柱形管，一端封闭，另一端开放。管外空气中含有某种气体，其浓度为，向管内扩散。求该气体在管内浓度。解：定解问题为。先将非齐次边界条件化为齐次边界条件，令，使满足，解之，得：。满足。令，可求得，。定解问题通解为： 。由初始条件得：，。于是，。40、均匀薄板占据区域，。其边界上温度为，。求解板稳定温度分布。解：定解问题为。关于边界条件是齐次，用别离变数法来解：令，代入方程可得，于是， 1。 2

16、由2求得，将值代入1得：，。于是。由，得，。由，得，。41、研究处于重力场中，长为，一端固定，另一端自由，初始位移和初始速度均为零弦受迫振动情况，设重力加速度为。即试用别离变数法求解定解问题 。解：先将非齐次方程化为齐次方程。令，使满足。解之，得：，。满足。用别离变数法可求得通解为。由，得：。由，得：，利用，及，得。42、半径为，外表燻黑了均匀长圆柱，在温度为零度空气中受着阳光照射，阳光垂直于柱轴，热流强度为，试求圆柱内稳定温度分布。解：取圆柱轴为轴，由于圆柱是均匀且长可以认为无限长，显然温度分布与无关，故只需在平面上研究就行了。取极坐标系，由牛顿热交换定律知： ，或。 【利用34题结果】定解

17、问题为。方程通解为。故通解又可写为。由，得，上式相当于在区间上将展成傅里叶级数，由展开系数公式得：， 。，。43、用傅里叶变换求解定解问题。解：由于在内变化，对进展傅里叶变换，*其中，*通解为，。由，得，所以总可写为，其中。由，得。进展傅里叶反变换，得，而，代入上、下限时应注意到，。第七章习题解答44、试用平面极坐标系把二维波动方程别离变数。解：二维波动方程在极坐标系中可表为 。 1令，代入1，得：。 22两边除以，得。 33左边仅是函数，而右边却是，函数，3两边只能等于同一常数，记为，从而。， 44两边乘以，并移项得。同理上式两边只能等于同一常数，记为。于是， ，。，令，得， 阶Bessel

18、 eq.45、用平面极坐标系把二维输运方程别离变数。解：在平面极坐标系中，二维输运方程为 1令，代入1，得：。 22两边除以，得.上式左边仅是函数，而右边却是，函数，上式两边只能等于同一常数，记为，从而。及与上一题一样。46、求证，。证：勒让德多项式生成函数为，。1两边对求导，得。两边乘以，得，21代入2，得，比拟两边项系数，得。47、利用上题和，求证，。证：对勒让德多项式递推公式 1两边对求导，得。 2又由上题，得：， 3，得。 4从3及4中消去，得。 5，得。48、在区间上将用勒让德多项式展开。解：由于是偶函数，所以展开式中只含偶数阶勒让德多项式，。，当时，。或：令因为，所以，比拟上式两边

19、系数，得。49、验证：。证：因为，所以。50、证明：。证法一：当时，。当时，只有当，即时，上式才不为。此时 。 。证法二：当时，。当时，又，。当，时，又，。当时，又，。51、求解定解问题。解：所要求解定解问题具有轴对称性，其轴对称球内解为。由，得。比拟两边系数，得， 。52、求解定解问题。解：所要求解定解问题具有轴对称性，其轴对称球外解为。由，得。比拟两边系数，得， 。53、用一层不导电物质把半径为导体球壳分隔为两个半球壳，使半球壳各充电到电势为和，试计算球壳内外电势分布。解：此题可归结为求解如下定解问题。所要求解定解问题有轴对称性，方程1轴对称有界通解为。在球内中，有界，所以，当时，。由边界

20、条件2，得：， 【令，】。，。所以，当时，。如果，那么，球壳为等势体，球壳内电场。在球外中，有界，所以，当时，。同样，由边界条件2，得：，。用类似上面求解方法，可得。所以，当时， 。如果，那么球壳外电势分布，其中，相当于一个带电量为点电荷产生电势。其实在情况下，球壳为等势体，球壳所带电荷可由电磁场边值关系得到。计算如下：球壳内电场；球壳外,其法向分量大小。假定球壳内外为真空，球壳面电荷密度，总电荷。54、半径为，外表燻黑均匀球，在温度为空气中，受着阳光照射，阳光热流强度为，求解小球内稳定温度分布。解：此题可归结为求解如下定解问题：其中，为热传导系数，为热交换系数。本定解问题有轴对称性，方程1轴

21、对称球内通解为， 。由边界条件2，得 ，即。 【令】。，。3又，。又 ，。44代入3，得：，。于是小球内稳定温度分布为，。55、计算以下积分1；2。解：1由递推公式，得。 由递推公式，得。2由递推公式，得， 。又由递推公式，得。将代入，得。56、半径为而高为圆柱体下底面和侧面保持零度，上底面温度分布为，求圆柱体内各点稳恒温度稳定温度分布。解：此题可归结为求解如下定解问题定解问题有轴对称性，所以与无关，。径向局部满足， 【零阶Bessel eq.】其在处有界解为。，本征值为，本征函数为，。方向局部满足，其解为。定解问题特解为，定解问题通解为。 1。 2，于是。 3 【利用了54题1结果】。 4又

22、， 5将4和5代入3，得，。6将2和6代入1，得圆柱体内各点稳恒温度为。57、设半径为无限长圆柱形物体侧面温度为，初始温度，求此物体温度分布随时间变化规律。无限长与无关解：此问题可归结为求解如下定解问题定解问题有轴对称性，所以与无关。又圆柱为无限长，故又与无关。令，代入方程，得，。于是，。 1 【order Bessel eq.】1在处有限解为。，本征值为，本征函数为。 1由初始条件，得：，。 2而 【利用了54题1结果】， 3，4。 5将3、4和5代入2，得。 6将6代入1，得物体温度分布随时间变化规律为。58、圆柱体半径为而高为，上底面保持温度，下底面保持温度，侧面温度分布为，求解圆柱体内各点稳恒温度稳定温度分布。解：此题可归结为求解如下定解问题。先将上、下底面非齐次边界条件齐次化。令， 1使满足。 2满足。定解问题有轴对称性，所以与无关。 3令，代入3，得 ，两边除以，并移项，得，从而。 4。5令，那么5成为， 【阶虚宗量Bessel eq.】其在即处有界解为。 6由5和6，定解问题满足上、下底面齐次边界条件特解为，定解问题满足上、下底面齐次边界条件通解为。 7由，得。 【傅里叶正弦数】，因此， 8。9将8和9代入7，得。 10将2和10代入1，得圆柱体内各点稳恒温度为。