生物统计学教学教案(9~).doc

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1、|生物统计学教案第九章 两因素及多因素方差分析教学时间：5 学时教学方法：课堂板书讲授教学目的：重点掌握固定模型、随机模型两因素方差分析的方法步骤,掌握混合模型的方差分析，了解多因素的方差分析方法。 。讲授难点：固定模型、随机模型两因素方差分析的方法步骤9.1 两因素方差分析中的一些基本概念9.1.1 模型类型交叉分组设计： A 因素的 a 个水平和 B 因素的 b 个水平交叉配合，共构成 ab个组合，每一组合重复 n 次，全部实验共有 abn 次。固定模型： A、 B 两因素均为固定因素。随机模型： A、 B 两因素均为随机因素。混合模型： A、 B 两因素中，一个是固定因素，一个是随机因素

2、。9.1.2 主效应和交互作用主效应：由于因素水平的改变所造成的因素效应的改变。A1 A2 A1 A2B1 18 24 B1 18 28B2 38 44 B2 30 22先看左边的表。 A 因素的主效应应为 A2水平的平均效应减 A1水平的平均效应，B 的主效应类似。当 A1B1 A2B2 A1B2 A2B1时， A、 B 间不存在交互作用。这里A1B1 A2B262， A1B2 A2B162，因此 A、 B 间不存在交互作用。交互作用：若一个因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同，则它们之间存在交互作用。2041824326311221 211212 |现在看右边的表。A（在 B1水平上

3、） A2B1 A1B1281810A（在 B2水平上） A2B2 A1B222308显然 A 的效应依 B 的水平不同而不同，故 A、 B 间存在交互作用。交互作用的大小为AB（ A1B1 A2B2）（ A1B2 A2B1）9.1.3 两因素交叉分组实验设计的一般格式假设 A 因素有 a 水平， B 因素有 b 水平，则每一次重复包含 ab 次实验，实验重复 n 次，总的实验次数为 abn 次。以 xilk表示 A 因素第 i 水平， B 因素第 j 水平和第 k 次重复的观测值。一般格式见下表。因 素 B j=1,2,bB1 B2 Bb 总计A1 x111 x121 x1b1x112 x12

4、2 x1b2x11n x12n x1bn x1. .因素 A2 x211 x221 x2b1A x212 x222 x2b2x21n x22n x2bn x2. .Aa xa11 xa21 xab1xa12 xa22 xab2xa1n xa2n xabn xa. .总计 x.1. x.2. x.b. x. . .|上表中的各种符号说明如下：A 因素第 i 水平的所有观察值的和，其平均数为ix .ixB 因素第 j 水平所有观察值的和， 其平均数为.j .jA 因素第 i 水平和 B 因素的第 j 水平和所有观察值的和，.ijx其平均数为 .ijx所有观察值的总和， 其平均数为.关于实验重复的正

5、确理解：这里的“重复”是指重复实验，而不是重复观测。9.2 固定模型9.2.1 线性统计模型对于固定模型，处理效应是各处理平均数距总平均数的离差，因此交互作用的效应也是固定的 ijk是相互独立且服从 N(0 , 2)的随机变量。固定模型方差分析的零假设为：abnxxx bjaiaibjnkij ijijnkijij , ,2,1,111 nkbjaix ijijjiijk ,2,1, bjjaii 11 0,0 ai bjijij1 10,0bjaiHij ,210: 0:032120|9.2.2 平方和与自由度的分解与单因素方差分析的基本思想一样，把总平方和分解为构成总平方和各个分量平方和之

6、和，将总自由度做相应的分解，由此得到各分量的均方。根据均方的数学期望，得出各个分量的检验统计量，从而确定各因素的显著性。上述各项分别为 A 因素、 B 因素、 AB 交互作用和误差平方和，即：自由度可做相应的分解：由此得出各因素的均方：9.2.3 均方期望与统计量 F的确定 aibjnkijijai bj aibj jiijjiaibjnk ijijkjiijjiaibjkij xxxnxaxx 12111 2221 212 aibjnkijijkeaibj jiijABbjjaiixSxSn1121 2121211nabdfbadf fneAB BAT 1,1 nabSMSMSaSM eeA

7、BABBA2122 1212, eaibjijAB bjjBaii SEnSEb|对上式 E(MSA)、 E(MSB)和 E(MSe)中的第二项，分别记为：于是：这时，零假设还可以写为：用 F 作为检验统计量，以对 A 因素的检验为例：当 F F 时拒绝 H01。对 B 因素和 AB 交互作用的推断类似。两因素固定模型的方差分析表如下：9.2.4 平方和的简易计算法为了简化计算过程，实际计算时各平方和是按以下各式计算的其中 称为校正项，用 C 表示。abnx2变差来源 平方和 自由度 均方 F 均方期望A 因素 SSA a-1 MSA MSA/MSe 2+bn 2B 因素 SSB b-1 MS

8、B MSB/MSe 2+an 2AB 交互作用 SSAB (a-1)(b-1) MSAB MSAB/MSe 2+n 2误差 SSe ab(n-1) MSe 2总和 SST abn-1 aibjijbjjaii a122122122 , 222222 , nMSEnMSEbnMSE ABBA 0:,0:,0: 203202201 H22ebnMS的 估 计的 估 计abnxanSabnxS bxSbjjBaiiAaibjnkijT 2122121122, |不论从上式还是前面给出的误差平方和的公式，都可以看出，平方和是通过重复间平方和得到的。为了得到误差平方和，必须设置重复。由总平方和减去 A

9、因素、 B因素和误差平方和之后，所得残余项即交互作用平方和。如果不设置重复，无法得到误差平方和，其误差平方和是用残余项估计的。即使实验存在交互作用也无法独立获得，这时的交互作用与误差混杂。这一点在设计实验时一定要特别注意。交互平方和：例 为了从三种不同原料和三种不同发酵温度中，选出最适宜的条件，设计了一个两因素试验，并得到以下结果。在这个实验中，温度和原料都是固定因素，每一处理都有 4 次重复。将每一数据都减去 30，列成表 9-1。原料( A) 温度( B) xij1 xij2 xij3 xij4 xij. xij.2 412kijx30 11 19 -7 -5 18 324 5561 35

10、 -19 -17 -5 -6 -47 2209 71140 -24 -8 -4 -12 -48 2304 80030 17 29 20 10 76 5776 16302 35 13 8 3 6 30 900 27840 -22 -8 -12 -16 -58 3364 948原 料 种 类 1 2 3温 3035度 4041 49 23 25 47 59 50 40 43 35 53 5011 13 25 24 43 38 33 36 55 38 47 446 22 26 18 8 22 18 14 30 33 26 19aibjnkaibjijijke xxS11122 aibj BAij e

11、BATAB SanxnSS122|30 13 5 23 20 61 3721 11233 35 25 8 17 14 64 4096 117440 0 3 -4 -11 -12 144 146和 84 22838 7366 利用 xij.列，列成表 92温 度 (B)30 35 40 xi . . xi . .2原 1 18 47 48 77 5929料 2 76 30 58 48 2304(A) 3 61 54 12 113 12769x.j. 155 47 118 84 21022x.j.2 24025 2209 13924 40158从表 91 中可以计算出：及由表 92 中可以计算出：

12、0.1964382abnxC0.7171122 ijkijTS5.628341361122aibjnkaibjijije xx17.5419620431122 abnxbnSaiiA 8.3058212xajjB 75.805.1658.3017.540.7 eBATAB SS|列成方差分析表变差来源 平方和 自由度 均方 F原料 A 1554.17 2 777.09 12.67*温度 B 3150.58 2 1575.29 25.68*AB 808.75 4 202.19 3.30*误 差 1656.50 27 61.35总 和 7170.00 359.2.5 无重复实验时的两因素方差分析如

13、果根据一定的理由，可以判断两因素间确实不存在交互作用，这时也可以不设重复（ n = 1） 。无重复实验的方差分析，只需将前一节公式中所有的 n 都改为1，即可完成计算。不同点只是计算更容易一些。这里不再详述。9.3 随机模型9.3.1 线性统计模型对于随机模型：因此，任何观察值的方差 2222var ijkx零假设为： 0:,0:,0: 20320201 HHH9.3.2 均方期望与统计量 F的确定 nkbjaix ijijjiijk ,2,1,2222 ,0:,0:,0:,0: NIDNIDNIDNID ijkijji|随机模型中各平方和的计算与固定模型一样，这里不再重复。但均方期望不同，因

14、此检验统计量也不同。从均方期望中可以看出，交互作用均方是用误差均方检验的，若 MSAB不显著，表明它也是误差的估计，应与 MSe合并，用合并后的均方对主效应做检验。合并的方法是 若交互作用显著，则可以直接用它检验主效应。随机模eABedffSMS型的方差分析表如下：随机模型的方差分析表如下：变差来源 平方和 自由度 均方 F 均方期望A 因素 SSA a-1 MSA MSA/MSAB 222bnB 因素 SSB b-1 MSB MSB/MSAB aAB SSAB (a-1)(b-1) MSAB MSAB/MSe 22误 差 SSe ab(n-1) MSe总 和 SST abn-1例 为了研究不

15、同地块中，施用不同数量的农家肥对作物产量的影响，设计一个两因素实验，实验结果如下：地 块 B一号地 二号地 三号地100Kg 8.69 8.47 8.80 8.74 9.49 9.37200Kg 8.88 8.72 9.68 9.54 9.39 9.59300Kg 10.82 10.86 11.00 10.92 11.07 11.01施肥量A 400Kg 11.16 11.42 10.97 11.13 11.00 10.9022222eABAMSEnabSE|解： xijk9.5 , 列成表 9.1：施肥量 地 块 1ijx2ijxijx2ij21kijkx一 -0.81 -1.03 -1.8

16、4 3.3856 1.7170100 二 -0.70 -0.76 -1.46 2.1316 1.0676三 -0.10 -0.13 -0.04 0.0196 0.0170一 -0.62 -0.78 -1.40 1.9600 0.9928200 二 0.18 0.04 0.22 0.0484 0.0340三 -0.11 0.09 -0.02 0.0004 0.0202一 1.32 1.36 2.68 7.1824 3.5920300 二 1.50 1.42 2.92 8.5204 4.2664三 1.57 1.51 3.08 9.4864 4.7450一 1.66 1.92 3.58 12.81

17、64 6.4420400 二 1.47 1.63 3.10 9.6100 4.8178三 1.50 1.40 2.90 8.4100 4.210013.62 63.5772 32.9218利用 xij列，列成表 9.2地 块一 二 三ix 2ix100 -1.84 -1.46 -0.14 -3.44 11.8336200 -1.40 0.22 -0.02 -1.20 1.4400300 2.68 2.92 3.08 8.68 75.3424施肥量400 3.58 3.10 2.90 9.58 91.7764jx3.02 4.78 5.82 13.62 180.39242j9.1204 22.8484 33.8724 65.8412