2022年有理数知识点梳理.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第一章 有理数一、有理数的意义1、正数和负数学问点 1 负数的引入我们把一种意义的量规定为正的,把另一种和它意义相反的量规定为负的；习惯把“ 前进、上升、收入、零上温度” 等规定为正,“ 后退、下降、支出、零下温度” 等规定为负；学问点 2 正数和负数的概念（1）像 3、1.5 、1 2、58 等大于 0 的数,叫做正数,在学校学过的数,除0 以外都是正数,正数比0大；（2）像 3、 1.5 、1、 584 等在正数前面加“ ”读作负 号的数,叫做负数；负数比 0 小；2（3）零即不是正数也不是负数,零是正数和负数的分界；留意：（ 1）为了强调

2、,正数前面有时也可以加上“ ” 号,例如：3、1.5 、1 可以写作 3、 1.5 、21；2（2）带“ ” 号的数不肯定是正数,带“ ” 号的数不肯定是负数；学问点 3 有理数的有关概念（1）有理数：整数和分数统称为有理数；把有注：（ 1）有时整数也可以看作是分母为1 的数；但是本讲中的分数不包括分母是1 的分数；（ 2）由于分数与有限小数和无限循环小数可以互化,上述小数都可以用分数来表示,所以我们限小数和无限循环小数都看作分数；（ 3）“0” 即不是正数,也不是负数,但“0” 是整数；（2）整数包括正整数、零、负整数；例如：1、2、 3、0、 1、 2、 3 等等；（3）分数包括正分数和负

3、分数,例如：1、33、0.6 、1 2、33、 0.6 等等；244学问点 4 有理数的分类（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0 的关系分类：0有理数整数正整数有理数正有理数正整数0正分数负整数0分数正分数负有理数负整数负分数负分数注：通常把正数和0 统称为非负数,负数和0 统称为非正数,正整数和0 称为非负整数（也叫做自然数）,负整数和0 统称为非正整数；假如用字母表示数,就a0 说明 a 是正数； a0 说明 a 是负数； a说明 a 是非负数； a0 说明 a 是非正数；2、数轴学问点 1 数轴的概念规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴- 1 - / 4 名师归纳总

4、结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数轴的定义包含三层含义：一,数轴是一条直线,可以向两端无限延长；二,数轴有三要素原点、正方向、单位长度,三者缺一不行；三,原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定,都是依据实际需要“ 规定” 的（通常取向右为正方向）；四,留意下标单位,上标数；学问点 2 数轴的画法-5-4-3-2-1O12345（1）画一条直线（一般画成水平的直线）；（2）在直线上选取一点为原点,并用这点表示零（在原点下面标上“0” ）；（3）确定正方向（一般规定向右为正）,用箭头表示出来；（4）选取适当的长度作为单位长

5、度,从原点向右,每隔一个单位长度取一点；注 （ 1）原点的位置、单位长度的大小可依据实际情形适当选取；（ 2）确定单位长度时,依据实际情形,有时也可以每隔两个 学问点 3 数轴上的点与有理数的关系 或更多的 单位长度取一点；全部的有理数都可以用数轴上的点表示；正有理数可以用原点右边的点表示,负有理数可以用原点左边 的点表示,零用原点表示；学问点 4 利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大；正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；学问点 5 数形结合思想解决问题 数轴是将有理数详细化的工具,主要用于讨论距离问题；3、相反数 学问点 1 相反数的概念（ 1）相反

6、数的几何定义：在数轴上原点的两旁,到原点距离相等的两个点所表示的数,叫做互为相反 数；（ 2）相反数的代数定义：只有符号不同的两个数（除了符号不同以外完全相同）,我们说其中一个是另一个的相反数,0 的相反数是0；学问点 2 相反数的表示方法一般地,数a 的相反数是 a；这里 a 表示任意的一个数,可以是正数、负数、或者0；学问点 3 多重符号的化简（1）在一个数的前面添上一个“ ” 号,仍旧与原数相同；（2）在一个数的前面添上一个“ ” 号,就成为原数的相反数；4、肯定值学问点 1 肯定值的概念（1）肯定值的几何定义：一个数 a 的肯定值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离,数 a 的肯定值

7、记作“a ” ；有 a a ；（ 2）肯定值的代数定义：一个正数的肯定值是它本身；一个负数的肯定值是它的相反数；0 的肯定值是 0；即aa,（a0或aa,（a0）0, a0 ；（aa0）-a；a0学问点 2 两个负数大小的比较 两个负数,肯定值大的反而小；比较两个负数大小的方法是：一、先分别求出这两个负数的肯定值；二、比较这两个肯定值的大小；三、依据“ 两个负数,肯定值大的反而小” 做出正确的判定；学问点 3 有理数大小的比较法就正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数,两个负数,肯定值大的反而小；- 2 - / 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页精选学习资

8、料 - - - - - - - - - 学问点 4 ab 的几何意义b 的点的距离,因此有abba ；ab 是表示数a 的点与表示数二、有理数的运算1、有理数的加法 学问点 1 有理数的加法 把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法；相加的两个有理数有以下几种情形：（1）两数都是正数；（2）两数都是负数；（3）两数异号,即一个 是正数,一个是负数；（4）一个是正数,一个是 0；（ 5）一个是负数,一个是 0；（ 6）两个都是 0；学问点 2 有理数加法法就（1）同号两数相加,取相同的符号,并把肯定值相加；（ 2）肯定值不相等的异号两数相加,取肯定值较大的加数的符号,并用较大的肯定值减去

9、较小的肯定 0；值；互为相反数的两个数相加得（3）一个数同 0 相加,仍得这个数；学问点 3 有理数加法的运算定律（1）加法交换律：abba ；（ 2）加法结合律：abca bc ；2、有理数的减法 学问点 1 有理数减法的意义 有理数减法的意义与学校学过的减法的意义相同；已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数 的运算,叫做减法；减法是加法的逆运算；学问点 2 有理数减法法就减去一个数,等于加上这个数的相反数,即abab3、有理数的加减混合运算 学问点 1 有理数加减法统一成加法的意义 对于有理数的加减混合运算中的减法,可以依据有理数减法法就将减法转化为加法；统一成加法以后的 式子是几

10、个正数或负数的和的形式,有时,我们把这样的式子叫做代数和；学问点 2 有理数加减混合运算的方法 一、运用减法法就将有理数混合运算中的减法转化为加法；二、运用加法法就、加法交换律、加法结合律简便运算；4、有理数的乘法 学问点 1 有理数乘法法就两数相乘,同号得正,异号得负,并把肯定值相乘；任何数同0 相乘,都得0；学问点 2 有理数乘法法就的推广（1）几个不等于 0 的数相乘,积的符号由负因数的个数打算；当负因数有奇数个时,积为负；当负因数 有偶数个时,积为正；（2）几个数相乘,只要有一个因数为 0,积就为 0；学问点 3 有理数乘法的运算定律（1）乘法交换律：abba ；（ 2）乘法结合律：a

11、b ca bc ；（ 3）安排律：a bcabac ；5、有理数的除法 学问点 1 倒数的概念 乘积是 1 的两个数互为倒数；由于a11a0,所以当 a 是不为 0 的有理数时, a 的倒数是1 a；如 a、b 互为倒数,就ab1；a学问点 2 有理数除法法就- 3 - / 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一、除以一个数等于乘以这个数的倒数；即aba1 bb0；0 的数,都得0；二、两数相除,同号得正,异号得负,并把肯定值相除；0 除以任何一个不等于6、有理数的乘方 学问点 1 有理数乘方的意义求 n 个相同因

12、数的积的运算,叫乘方；aaana记作“n a ” ；乘方的结果叫做幂；在n a 中, an个aa mn；叫做底数, n 叫做指数,a 读作 a的 n 次方, nam学问点 2 乘方运算的符号法就 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数；学问点 3 科学计数法把一个大于10 的数记成“a10n” 的形式,其中a 是整数数位中只有一位的数,这种记数法叫做科学记7 10 ；数法；如42,000,000 4.2 7、有理数的混合运算 学问点 1 有理数混合运算的运算次序 先算乘方,再算乘除,最终算加减,假如有括号,就先算括号里面的；8、近似数与有效数字 学问点 1 讨论近似数的

13、意义 在生产实践和实际生活中,不仅存在着大量的精确数,同时也存在着大量的近似数；近似数就是与实际 接近的数；显现近似数的缘由有两点：一是有时候不能得到完全精确的数,如太阳的半径大约是 696 000千 M；二是有时也没有必要弄得完全精确,如买 学问点 2 精确度10 千克大 M,有时可能多一点,有时也可能少一点；一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位；学问点 3 有效数字四舍五入后的近似数,从左边第一个不为 的有效数字；0 的数字起,到精确到的数位止,全部的数字,都叫做这个数方法技巧 1：在只含有乘、除法的算式中,可以由“ 负” 号的个数确定结果的符号；“ 负” 号有奇数个时,结果为负；“ 负” 号有偶数个时,结果为正；方法技巧 2：分数、小数乘除混合运算,通常把小数化为分数,带分数化为假分数；当把乘除都化成乘积的形式时,应先确定积和符号；含有多重括号,去括号的一般方法是由内向外,即依次去掉小、中、大括号,也可以由外到内；在进行混合运算时,要留意两点：一是运算次序,二是运算符号；方法技巧 3：敏捷运用有理数的运算法就、运算律,适当地添加或去括号转变运算次序常可达到简化运算的成效；凑整、分组、拆项、相消、分解相约、整体处理等是有理数运算常用的方法与技巧；- 4 - / 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页