2022年求数列通项公式的方法2.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载求数列的通项公式的方法1. 定义法 ：等差数列通项公式；等比数列通项公式；例 1 等差数列 a n 是递增数列,前 n 项和为 S ,且 a 1 , a 3 , a 9 成等比数列,2S 5 a 5求数列 a n 的通项公式 . 解：设数列 a n 公差为 d d 0 2a 1 , a 3 , a 9 成等比数列,a 3 a 1 a 9,即 a 1 2 d 2a 1 a 1 8 d d 2a 1 dd 0,a1 d S 5 a 5 25 a 1 5 4d a 1 4 d 2 2由得：a 1 3,d 35 5an 3 n 1 3

2、 3 n5 5 5点评 ：利用定义法求数列通项时要留意不用错定义,设法求出首项与公差（公比）后再写出通项；练一练： 已知数列31,51,71,91,试写出其一个通项公式：_；n2；4816322. 公式法 ：已知S（即a 1a2a nf n ）求a ,用作差法：anS 1 ,S nn S n1 1 ,例 2已知数列an的前 n 项和S 满意Sn2a n1 n,n1求数列an的通项公式；名师归纳总结 解：由a 1S 12 a 11a 11n,第 1 页,共 5 页当n2时,有a nSnS n12 a nan121 an2 an12n 11,an12an221 n2, ,a22 a 12 .nan

3、 21 a 1n 21n 1 222 1n 2 11n 211n2n1n 222 n 21n 1122n1 32 3n 221n1.a n22n21n1体会证1a1也满意上式,所以3点评 ：利用公式anS nS n1n1 求解时,要留意对 2n 分类争论,但如S nn能合写时肯定要合并- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 练一练： 已知 an的前 n 项和满意学习必备S n欢迎下载1,求a ；log 1n数列 an满意a 14,S nS n15an1,求a ；a n2f1, nf n 12；33. 作商法： 已知a a 2anf n 求a ,用作商法：,n

4、f n1如数列an中,a1,1对全部的n2都有a1a2a3ann,就a3a5_ 4. 累加法 ：名师归纳总结 如a n1a nf n 求a ：a nanan1an1an2a 2a 11a n2；第 2 页,共 5 页例 3. 已知数列an满意1a1,a n1ann21n,求a ；2解：由条件知：an1ann21nn11 1n11nn分别令n,12 ,3,n1 ,代入上式得n1 个等式累加之,即a2a 1a3a 2a4a3ana n1 111111n11122334n；所以ana 111na11,an1113122n2n如已知数列 a n满意a 11,anan1n1nn2,就a =_ 15. 累

5、乘法： 已知a nn1f n 求a ,用累乘法：anan1a n1a 2a 1n2；aana n2a 1例 4. 已知数列an满意1a2,a n1nn1an,求a ；3解：由条件知an1nn1,分别令n,123, ,n1,代入上式得a nn1 个等式累乘之,即- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a2a 3a4an学习必备欢迎下载n1a n1123名师归纳总结 a 1a 2a3an1234na1n第 3 页,共 5 页又a 12,an233 n如已知数列a n中,a 12,前 n 项和S ,如Snn2an,求an6. 已知递推关系求a ,用构造法（构造等差

6、、等比数列）；（1）形如a nka n1b 、ankan1n b （k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数列后 ,再求a ；ankan1b 解 法 ： 把 原 递 推 公 式 转 化 为 ：an1tpant, 其 中t1qp,再利用换元法转化为等比数列求解；例 5. 已知数列an中,a11,an12 an3,求a . 解 ： 设 递 推 公 式an12 an3可 以 转 化 为an1t2ant即an12antt3. 故 递 推 公 式 为a n132 an3, 令bnan3,就b 1a 134,且bn1an132b nan3所以b n是以1b4为首项, 2 为公

7、比的等比数列,就nb42n12n1,所以an2n13. a nka n1n b 解法 ：该类型较类型3 要复杂一些；一般地,要先在原递推公式两边同除以qn1,得：an1pan1引入帮助数列b n（其中bnan）,qn1qqnqqn得：b n1pb n1再应用ankan1b 的方法解决 .；qq例 6. 已知数列an中,1a5,an11an1n1,求a ；632解：在an11an1n1两边乘以2n1得：2n1a n122nan1323- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 令b na n2nan,就b n12 2b n学习必备欢迎下载b n32 2n1,应用例

8、 7 解法得：33所以b n3 1 2n1nn 23练一练 已知a 11,a n3 a n12,求a ；名师归纳总结 已知a 11,a n3 a n1n 2,求a ；an312第 4 页,共 5 页（2）形如a nkaa n1b的递推数列都可以用倒数法求通项；n1例 7：a n3an11,a 11an1解：取倒数：13a n113a11anan1n1是等差数列,11n1 31n13anana 1n练一练 ：已知数列满意a =1,a n1a na a n1,求a ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数列通项公式课后练习1 已知数列an中

9、,满意 a 1, an1+1=2a n +1 （n N ）求数列an的通项公式；2 已知数列an中, a n0, 且 a1,a n1an（ nN）3 已知数列an中, a 1, an11 a n （ n N ）求数列 2an的通项公式4 已知数列an中, a 1, an1 3a n ,求数列an的通项公式5 已知数列an中, a n , a11 ,a 2n11ann（nN ）求 a n2 a6 设数列an满意 a1=4,a2=2,a3=1 如数列an1an成等差数列,求a n7 设数列an中, a 1=2,an1=2a n +1 求通项公式a n8 已知数列an中, a 1=1,2an1= a n + an2求 a n名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页