湖南师大附中2023届高三月考（二）数学试题含答案.pdf

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1、公众号：高中试卷君湖南师大附中 2023 届高三月考试卷(二)数学第 I 卷一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若以集合A的四个元素,a b c d为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形2.在复平面内,复数z所对应的点的坐标为(1,-1),则z zA.2B.2iC.2D.2i3.设点,A B C不共线,则“AB 与AC的夹角是锐角”是“|ABACBC ”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.函数2()1sin1 exf xx的图

2、象大致形状为5.圆内接四边形ABCD中,2,4,ADCDBD是圆的直径,则AC BD 等于A.12B.-12C.20D.-206.在三棱锥PABC中,PA底面,2ABC PA,底面ABC是边长为2 3的正三角形,M为AC的中点,球O是三棱锥PABM的外接球,若D是球O上一点,则三棱锥DPAC的体积的最大值是A.2B.2 3C.7 33D.8 33（北京）股份有限公众号：高中试卷君7.函数()sin()0,|2f xx,已知,06为()f x图象的一个对称中心,直线1312x为()f x图象的一条对称轴,且()f x在1319,1212上单调递减.记满足条件的所有的值的和为S,则S的值为A.12

3、5B.85C.165D.1858.古希腊数学家欧几里得在几何原本中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义,只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了 500 年,到了 3 世纪,希腊数学家帕普斯在他的著作数学汇篇中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义,并对这一定义进行了证明.他指出,到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线;当01e时，轨迹为椭圆;当1e 时,轨迹为抛物线;当1e 时，轨迹为双曲线:现有方程22221 23m xyyxy表示的曲线是双曲线,则m的取值范围为A.0,1B.1,C.0,5D.5,二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 2

4、0 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.9.已知数列 na满足*111,2nnnaaan N,则下列结论中正确的是A.45a B.na为等比数列C.2022122021.23aaaD.202312202222.3aaa10.已知,A B是两个随机事件,0()1P A,下列命题正确的是A.若,A B相互独立,()()P B AP BB.若事件AB,则()1P B A C.若,A B是对立事件,则()1P B A D.若,A B是互斥事件,则()0P B A 11.已知2012(12)nnnxaa xa xa x,下列结论正

5、确的是（北京）股份有限A.0123nnaaaaB.当5,3nx时,设*(12)3,nxaba b N,则abC.当12n 时,012,na a aa中最大的是7aD.当12n 时,3124111223411121222222aaaaaa12.已知定义在R上的函数()f x满足:当0 x时,(1)2(1)fxfx,且当0 x 时,(1)(1)0fxfx,则下列说法正确的是A.(1)0fB.()f x在(,1上单调递减C.若1212,xxf xf x,则122xxD.若12,x x是()()cosg xf xx在区间(0,2)内的两个零点,且12xx,则2112f xf x第卷三、填空题:本题共

6、4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑和冰壶 3 个项目进行培训,每名志愿者只分配到 1 个项目,每个项目至少分配 1 名志愿者,则不同的分配方案共有_种.14.已知抛物线2:8C xy 的焦点为F,过F的直线l与抛物线C相交于,A B两点,分别过,A B两点作C的切线12,l l,且12,l l相交于点P,则PAB面积的最小值为_.15.已知四面体ABCD的各条棱长都为 2,其顶点都在球O的表面上,点E满足13BEBD ,过点E作平面,则平面截球O所得截面面积的取值范围是_.16.已知函数()sin(2)f xx的图象关于点,06对称

7、,且(0)6ff,若()f x在0,)t上没有最大值,则实数t的取值范围是 _.四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 12 分)ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c,已知25coscos24AA.(1)求A;(2)若33bca,证明:ABC是直角三角形.18.(本小题满分 12 分)（北京）股份有限己知数列 na中,0,nnaS是数列 na的前n项和,且22nnnaSa.(1)求23,SS,并求数列 na的通项公式na;(2)设21nnnbSS,数列 nb的前n项和为nT,若2 20nTk 对任意的正整数n都成立,求

8、实数k的取值范围.19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,其中/,3,2ADBC ADABBC,PA平面ABCD,且3PA,点M在棱PD上,点N为BC中点.(1)证明:若2DMMP,直线/MN平面PAB;(2)求二面角CPDN的正弦值;(3)是否存在点M,使NM与平面PCD所成角的正弦值为26?若存在求出PMPD值;若不存在,说明理由.20.(本小题满分 12 分)为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果,需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到 200 只小白鼠体内,一段时间后测量小白鼠的某项指标值,按0,20),20,40),40,60),60,80)

9、,80,100分组,绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有 160只,其中该项指标值不小于 60 的有 110 只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（北京）股份有限(1)填写下面的2 2列联表，并根据列联表及0.05的独立性检验,判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于 60 有关.单位：只抗体指标值合计小于 60不小于 60有抗体没有抗体合计(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性,对第一次注射疫苗后没有产生抗体的 40 只小白鼠进行第二次注射疫苗,结果又有 20 只小白鼠产生抗体.(i)用频率估计概率,求一只小白鼠注射 2 次疫苗后产生抗体的概率p;(

10、)以(i)中确定的概率p作为人体注射 2 次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验,记n个人注射 2 次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X.试验后统计数据显示,当99X 时,()P X取最大值,求参加人体接种试验的人数n及()E X.参考公式:22()()()()()n adbcab cd ac bd(其中nabcd为样本容量).0.500.400.250.150.1000.0500.025x0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.02421.(本小题满分 12 分)已知(2 2,0),(2 2,0)AB,直线,PA PB的斜率之积为34,记动点P的轨迹为曲线C.(1)求

11、C的方程;(2)直线l与曲线C交于,M N两点,O为坐标原点,若直线,OM ON的斜率之积为34,证明:MON的面积为定值.22.(本小题满分 12 分)已知函数2()ln,()1f xxx g xx.（北京）股份有限(1)求证:当12a时,|()|()|f xa g x;(2)已知函数()|()|h xf xb有 3 个不同的零点123123,x x xxxx.(i)求证:221222exx;()求证:32121 2bbxxbe(2.71828e 是自然对数的底数).湖南师大附中 2023 届高三月考试卷(二)数学参考答案题号123456789101112答案AACABCACADABDADA

12、CD13.15014.1615.83,9216.511,61217【解析】（1）因为25coscos24AA，所以25sincos4AA，即251 coscos4AA，解得1cos2A，又0A，所以3A；（2）因为3A，所以2221cos22bcaAbc，即222bcabc，又33bca，将代入得，2223bcbcbc，即222250bcbc，而bc，解得2bc，所以3ac，故222bac，（北京）股份有限即ABC是直角三角形18【解析】（1）在22nnnaSa中，1n，则11122aSa，即11122SSS，得12S，由22nnnaSa得：当2n时，1122nnnnnSSSSS，化简得 11

13、2nnnnSSSS，即22122nnSSn，所以数列 2nS是以 2 为首项，2 为公比的等差数列，所以22212nSnn.又因为0na，所以2nSn，所以22S，36S.当2n时，122121nnnaSSnnnn，对12a 也成立，所以数列 na的通项公式为21nann.（2）因为21122 2222nnnnnbSSnn，所以12nnTbbb13122531122 2nnnn 121 122 2nn .因为113102 2nnTTnn，所以nT在*nN上单调递增，所以nT的最小值为11312 2T.因为2 20nTk对任意的正整数n都成立，所以min2 2nkT，即12 231kT.所以实数

14、k的取值范围是31k.（北京）股份有限19【解析】（1）如图所示，在线段AD上取一点Q，使13AQAD，连接MQ，NQ，2DMMP，/QM AP，又3AD，2ABBC，/AQ BN，四边形ABNQ为平行四边形，/NQ AB，又NQMQQ，ABAPAI，所以平面/MNQ平面PAB，MN 平面MNQ，/MN平面PAB；（2）如图所示，以点A为坐标原点，以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，则2,0,0B，2,2,0C，0,3,0D，0,0,3P，又N是BC中点，则2,1,0N，所以0,3,3PD ，2,1,0CD ，2,2,0DN，（北京）股份有限设平面PCD的法向量1111,n

15、x y z，则11111133020PD nyzCD nxy ，令11x，则11,2,2n，设平面PND的法向量2222=,nxyz，则222222330220PD nyzDN nxy，令21x，则21,1,1n，所以122222221225 3cos,9122111n n，则二面角CPDN的正弦值为25 36199；（3）存在，13PMPD或1PMPD假设存在点M，设PMPD，即PMPD ，0,1，由（2）得0,3,0D，0,0,3P，2,1,0N，且平面PCD的法向量11,2,2n，则0,3,3PD ，0,3,3PM，则0,3,33M，2,1 3,33MN，122222222 1 32 3

16、32sincos,612221 333MN n 解得13或1，故存在点M，此时13PMPD或1PMPD.20【解析】（1）由频率分布直方图，知 200 只小白鼠按指标值分布为：在0,20)内有0.00252020010(只)；在20,40)内有0.006252020025(只)；在40,60)内有0.008752020035(只)；在60,80)内有0.02520200100(只)；在80,100内有0.0075 20 20030(只)由题意，有抗体且指标值小于 60 的有 50 只：而指标值小于 60 的小白鼠共有10253570只，所以指标值小于 60 且没有抗体的小白鼠有 20 只，同理

17、，指标值不小于 60 且没有抗体的小白鼠有 20 只，故列联表如下：（北京）股份有限抗体指标值合计小于 60不小于 60有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设为0H：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于 60 无关联根据列联表中数据，得22200(502020 110)4.9453.84116040 70 130，根据0.05的独立性检验，推断0H不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于 60有关，此推断犯错误的概率不大于 0.05；（2）令事件A“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件C“小白鼠注射 2 次疫苗

18、后产生抗体”，记事件A，B，C发生的概率分别为()P A，()P B，(C)P，则160()0.8200P A，20()0.540P B，()1()()10.2 0.50.9P CP A P B ，所以一只小白鼠注射 2 次疫苗后产生抗体的概率为 0.9由题意，知随机变量(,0.9)XB n，()C0.90.1(0,1,2,)kkn knP Xkkn,因为(99)P X 最大，所以由(99)(98)(99)(100)P XP XP XP X可得999999989898999999100100100C0.90.1C0.90.1C0.90.1C0.90.1nnnnnnnn，解得9911099n，因

19、n是整数，故109n 或110n，所以接受接种试验的人数为 109 或 110,当接种人数为 109 时，()109 0.998.1E Xnp；当接种人数为 110 时，()110 0.999E Xnp21【解析】（1）设(,)P x y，则直线PA的斜率(2 2)2 2PAykxx，直线PB的斜率(2 2)2 2PBykxx，由题意223842 22 2PAPByyykkxxx，（北京）股份有限化简得221(2 2)86xyx；（2）直线l的斜率存在时，可设其方程为ykxm，联立22,1,86ykxmxy化简得2223484240kxkmxm，设1122,M x yN xy，则22222(8

20、)4 3442448 860kmkmkm，21212228424,3434 kmmxxx xkk，所以2212121212121212OMONkxmkxmk x xkm xxmy ykkx xx xx x222222222224248343442434m kkk mmk mkmk22224334244kmm 化简得2243mk则2222122148 86|134kkmMNkxxk222224 3 1434 3 14334kkkkk，又O到MN的距离222|4311mkdkk，所以222211 4 3 134|2 322341OMNkkSMNdkk，为定值.当直线l的斜率不存在时，可设0000,

21、M xyN xy，则202034CMONykkx ，且2200186xy，解得22004,3xy，此时00122 32OMNSx y，综上，OMN的面积为定值2 3.22【解析】（1）当1,()0,()0 xg xf x，即证()()f xag x，令2()ln1,()1ln2F xxxa xF xxax，令()()G xF x，则当1x 时1()20G xax，所以()F x在(1,)上单调递减，则有当1x 时()(1)1 20F xFa，所以()F x在(1,)上单调递减，所以当1x()(1)0F xF，（北京）股份有限()()f xag x成立当01x时，()0,()0g xf x，即证

22、()(),()()f xag xf xag x，令2()ln1,()1 ln21 lnF xxxa xF xxaxxx 设()1 ln(01)xxxx，则1()10 xx，所以()1 lnxxx 在(0,1)上单调递增，所以1ln0 xx所以()0F x，()F x在(0,1)上单调递减，()(1)0F xF，即()()f xag x，综合当12a 时，|()|()|f xa g x（2）ln,01ln,1x xbxh xf xbx xbx，当01,()(ln1),()xh xxh x 在10,e上单调递增，在1,1e单调递减，当1,()ln1,()xh xxh x 在(1,)上单调递增，又函

23、数()|()|h xf xb有 3 个不同的零点123123,x x xxxx，所以10ef，(1)0f，1231101,0eexxxb（i）令 21,0,eeH xh xhxx，222211ln1ln1ln20eeeeHxhxhxxxx ()H x在10,e上单调递增，又 11111210,0eeexH xh xhxH 2112eh xh xhx，又12211,()eexxh xe在1,1e上单调递减，212exx，即2221212122221142,e22eexxxxxx（ii)lnyxx在1x 处的切线方程1yx与yb交点的横坐标31xb，过点1 1,e eA和(1,0)B的直线方程1(1)1eyx与yb交点的横坐标211 exb，32321 1(1 e)exxxxbbb （北京）股份有限由（1）取12a，则21|()|12a g xx与yb在y轴右侧交点横坐标为451 2,1 2xb xb，32541212xxxxbb，综上:321212ebbxxb