2022年数学建模教案设计.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数学建模教案设计要 求应用和创新是数学建模地特点,也是素养训练地灵魂；不论用数学方法解决哪类实际问题,仍是与其他学科想结合形成交叉学科,第一地和关键地一步是用数学地语言表述所争论地对象,即建立数学模型.在高科技,特殊是运算机技术快速进展地今日,运算和建模正成为数学科学技术转化地主要途径 .本课程旨在提高同学数学应用才能和数学学问地猎取才能 .依据课程特点,要求同学们做到一些几个环节：1、认真听讲,认真体会,善于摸索,勤于总结 .2、学会查阅资料,认真完成作业,要勤于动手,做好每一个试验,认真对待每一个计算步骤 .3、有问题准时提问,准时解决 .

2、参考书1数学模型谭永基 复旦高校出版社 1997 年2数学模型姜启源 高等训练出版社 2003 年3数学建模与数学试验赵静 但琦 高等训练出版社 2000 年4高校生数学建模竞赛辅导教材叶其孝 湖南训练出版社 2003 年按学校规定,缺交作业或缺课达 1/3 者不得参与本课程地考试 .前 言1、数学史简介 包括数学建模史 数学,作为一门争论现实世界数量关系和空间形式地科学,它地内容是从实际中抽象出来,与实际想脱离地,但在它生产和进展地历史长河中,始终是和人们生活地实际需要亲密相关 .数学具有三大特点：（1）、抽象性（2）、严密性（3）、应用地广泛性数学地任务和进展动力应用是数学地主要任务,也是

3、数学进展地主要动力 .数学地进展阶段数学进展经受了五个主要阶段名师归纳总结 主要阶段希腊文明时期主要成果主要大事第 1 页,共 36 页萌芽时期-3500 到-600无演绎推理和公理法三 次 数 学初等-600 到 641论证数学逐步形成1危 机 发 生数学中世纪641 到 1300在 -500 ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 时期文艺复兴1300 到 1640日心说动摇神学,自然科学解放21754,变量数学时期1640 到 1920微积分地产生 31897 年近代数学时期1920 到 1945现代数学时期1945 到1 雅典时期,泰勒斯,毕达哥拉

4、斯开头对命题加以证明（勾股定理,无理数）,没留下书籍；亚历山大时期,欧几里德,阿基 载史册地功绩 .M 德,阿波罗泥,海伦,丢番图等作出了永2 三次四次方程地求根公式,韦达和符号代数学,三角地进展,小数与对数地创造 .笛卡儿力求用代数地方法来解决几何问题,建立明白读几何,标志着变量数学时期地到来.3 牛顿和莱布尼兹创立了微积分,通过微积分地完善建立了分析数学 .数学建模是指用数学地语言和方法对实际问题进行近似地刻划和描述,数学建模并不是中新事物,自从有了数学并用数学去解决问题时,就有了数学建模.纵观人类历史上进行过地三次重大地科学技术革命,每一次都是渗透着数学地应用,都是数学建模过程 .但将数

5、学建模作为一门特地地学科和课程历史仍很短 .（待续）2、数学建模教案地培育目标（1）、培育翻译才能（2）、应用已学到地数学方法和思想进行综合应用和分析,并能学习一点新地数学知识,并能懂得合理地抽象和简化,特殊是进行数学分析地重要性 .（3）、进展联想才能 .（4）、逐步进展形成一种洞悉力 .（5）、娴熟使用技术手段 .3、数学建模竞赛（MCM ）由来和历史1985 年以前美国只有一种高校生数学竞赛（The William Lowell Putnam mathematical Monthly, 简称 Putnam普特南 数学竞赛）自1938 年起已举办50 届,普特南数学竞赛在吸引青年人喜爱数学

6、从而走上数学争论地道路,勉励各数学系更好地培育人才方面起了很大地作用,事实上一批优秀数学家就曾经是它地获奖者 .（待续）第 1 章 建立数学模型教案目地和要求 本章作为全书地导言和数学模型地概述,主要争论建立数学模型地意义、方法和一般步骤,让同学对数学模型有一个全面地初步地明白 .教案内容 11 从现实对象到数学模型本节先争论原型和模型,特殊是数学模型地关系,再介绍数学模型地意义 .原型和模型原型（ Prototype）和模型（ Model ）是一对对偶体.原型指人们在现实世界里关怀、研名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - -

7、 - 究或者从事生产、治理地实际对象.在科技领域通常使用系统（System）、过程（ Process）等词汇,如机械系统、电力系统、生态系统、生命系统、社会经济系统,又如钢铁冶炼过程、导弹飞行过程、化学反应过程、污染扩散过程、生产销售过程、方案决策过程等 .本书所述地现实对象、争论对象、实际问题等均指原型 一部分信息减缩、提炼而构成地原型替代物 .模型就是指为某个特定目地将原型地某特殊强调构造模型地目地性 .模型不是原形原封不动地复制品,原型有各个方面和各种层次地特点,而模型只要求反映与某种目地有关地那些方面和层次.一个原型,为了不同地目地可以有很多不同地模型,模型地基本特点是由构造模型地目地

8、打算地 .例如：展厅里地飞机模型：外形上逼真,但是不肯定会飞；航模竞赛地模型飞机：具有良好地飞行性能,在外观上不必苛求；飞机设计、试制过程中用大地数学模型和运算机模拟：要求在数量规律上真实反映飞机地飞行动态特点,毫不涉及飞机地实体 .模型地分类用模型替代原型地方式来分类,模型可以分为物质模型（形象模型）和抱负模型（抽象模型） .前者包括直观模型、物理模型,后者包括思维模型、符号模型、数学模型 .直观模型 指那些供展览用地实物模型,以及玩具、照片等,通常是把原型地尺寸按比例缩小或放大,主要追求外观上地逼真 .这类模型地成效是一目了然地 .物理模型 主要指科技工作者为肯定目地依据相像原理构造地模型

9、,它不仅可以显示原型地外形或某些特点,而且可以用来进行模拟试验,间接地争论原型地某些规律 . 如风洞中地飞机模型用来试验飞机在气流中地空气动力学特性.这类模型应当留意验证原型与模型间地相像关系,以确定模拟试验结果地牢靠性 .物理模型地优点是常可得到有用上很有价值地结果,但也存在成本高、时间长、不敏捷等缺点 .思维模型 指通过人们对原形地反复熟识,将猎取地学问以体会地势式直接存于人脑中,从而可以依据思维或直觉作出相应地决策 .通常说地某些领导者凭体会做决策就是如此 .思维模型便于接受,也可以在肯定条件下获地中意地结果,是它往往带有模糊性、片面名师归纳总结 性、主观性、偶然性等缺点,难以对它地假设

10、条件进行检验,并且不便于人们地相互沟通.第 3 页,共 36 页符号模型是在一些约束或假设下借助于特地地符号、线条等,按肯定形式组合起来描画原型 .如地图、电路图、化学结构式等,具有简明、便利、目地性强及非量化等特点数学模型是由数字、字母或其它数学符号组成地,描述现实对象数量规律地数学公式、图形或算法.上面数学模型地概念仍很模糊,我们下面认真谈谈什么是数学模型.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 数学模型什么是数学模型航行问题：甲乙两地相距750km,船从甲到乙顺水航行需30h,从乙到甲逆水航行需50h,问船速,水速各如干？用 x,y 分别代表船速和水速

11、,就可以得到如下两个方程（x+y） 30=750 ,（ x-y ）50=750实际上,这组方程就是上述航行问题地数学模型.列出方程,原问题已转化为纯粹地数学问题.方程地解 x=20km/h ,y=5km/h ,最终给出了航行问题地答案 .从上例中,我们可以看出建立数学模型地基本内容 .建立数学模型地基本内容：1 据建立数学模型地目地和问题地背景作出必要地简化假设（上例中,假设航行中 船速和水速为常数）；2 用字母表示待求地未知量（上例中,x, y 代表船速和水速）；3 利用相应地物理或其它规律（上例中,匀速运动地距离等于速度乘以时间）,列 出数学式子（上例中,二元一次方程）；4 求出数学上地解

12、答（上例中,x=20,y=5 ）；5 利用解答说明原问题（上例中,船速和水速分别为 6 最终利用实际现象来验证上述结果 .20km/h 和 5km/h）数学模型可以描述为,对于现实世界地一个特定对象,为了一个特定目地,依据特有地内在规律,做出一些必需地简化假设,运用恰当地数学工具,等到地一个数学结构 .本课程重点不在于介绍现实对象地数学模型（Mathematical Model ）是什么样子 ,而是要争论建立数学模型（Mathematical Modelling ）全过程 .建立数学模型简称为数学建模或建模.1 2 建模示例之一椅子能在不平地地面上放稳吗问题：把椅子往不平地地面上一放,通常只有

13、三只脚着地,放不稳,然而只需略微移动几次,就可以使四只脚同时着地,放稳了 表述,并用数学工具来证明吗？.这个看来好像与数学无关地现象能用数学语言给以模型假设 对椅子和地面作一些必要地假设：1 椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触处可视为一个点,四脚地连线呈正方形 .2 地面高度是连续变化地,沿任何方向都不会显现间断（没有像台阶那样地情名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 况）,即地面可视为数学上地连续曲面 .3 对于椅脚地间距和椅脚地长度而言,地面是相对平整地,使椅子在任何位置至少模型构成有三只脚同时着地.中心问题是用数学

14、语言把椅子四只脚同时着地地条件和结论表示出来第一要用变量表示椅子位置置.留意到椅脚连线成正方形,以中心为对称点,正方形地中心地旋转正好代表了椅子位置地转变,于是可以用旋转角度这一变量表示椅子位置置 .在图 1 中椅脚连线为正方形 ABCD ,对角线 AC 与 x 轴重合,椅子绕中心点 O 旋转角度后,正方形 ABCD 转至 A BC D 位置置,所以对角线 AC 与 x 轴地夹角 表示了椅子位置置.其次要把椅脚着地用数学符号表示出来.假如用某个变量表示椅脚与地面地竖直距离,那么当这个距离为零时就是椅脚着地了 个距离是椅子位置变量 地函数 .椅子在不同位置时椅脚与地面地距离不同,所以这虽然椅子有

15、四只脚,因而有四个距离,但是由于正方形地中心对称性,只要设两个距离函数就行了 .记 A,C 两脚与地面距离之和为 f（）, B,D 两脚与地面距离之和为 g（）（f （）, g（）0）.有假设 2,f 和 g 是连续函数 .又假设 3,椅子在任何位置至少有三只脚着地,所以对于任意地,f（）和 g（）中至少有一个为零 .当 =0 时不妨设 g（）=0, f（） 0.这样,转变椅子位置置使四只脚同时着地,就归结为证明如下地数学命题：已知 f（）和 g（）是 地连续函数,对任意,f（）g（）=0,且 g（0）=0, f（0）0.证明存在 0,使 f（0）=g（0）=0.模型求解 上述命题有多种证明方

16、法,这里介绍其中比较简洁,但是有些粗糙地一种 .0将椅子旋转 90 ,对角线 AC 与 BD 互换 .由 g（0）=0 和 f（0）0 可知 g（/2）0 和f（/2）=0.令 h（）=f（）-g（）,就 h（0）0 和 h（/2）0.由 f 和 g 地连续性知 h 也是连续函数 .依据连续函数地基本性质,必存在 0（0 021,丙队名额从 4-3,明显是不合理地 .为了给出席位安排方案,我们先争论 A,B 两方地席位安排方案 .设 两 方 地 认 输 为 p ,p 2 , 占 有 席 位 为 n ,n 2；如 p /n p /n 2 这 样 不 公 平 程 度 可 用p /n -p /n来衡

17、量；但这是一个肯定指标,有其不合理性,如 p =120, p =100, n = n 2=10 及 p =1020, 1 p =1000, 2 n = 1 n =10 两种情形指标值是一样地 2 .所以我们引入相对指标r n ,n = p /n -p /n / p /n 为对 A 地不公正度 .如 p /n p /n ,即对 A 不公 1 1 2 2第 11 页,共 36 页平.当再安排一个席位时可能有以下3 种可能 .1、p /n +1p /n ,说明给 A 增加一个仍旧对A 不公正,自然分给A.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、p /n +1p

18、2/n , 说明给 A 增加一个席位对B 不公正,运算rbn1+1,n2.3、p /n p /n +1 ,说明给 B 增加一个席位对 1 1 2 2 A 不公正,运算 ran1,n2+1.这样假如 r n +1,n r n ,n +1 就给 A 方,否就给 B.而上式又等价于2 p 22 p 1Q 值法 .n n 2 1 这样我们定义n n 11 Q i2 p i1 ,n n i增加地一席安排给Q 值较大地一方 .这种席位安排地方法称为32 划艇竞赛地成果赛艇是一种靠桨手划桨前进地小船,分单人艇、双人艇、四人艇,八人艇四种 .各种艇虽然大小不同,但外形相像 .T.A.McMahon 比较了各种

19、赛艇 1964-1970 年四次 2000m 竞赛地最好成果（包括 1964 年和 1968 年地两次奥运会和两次世界锦标赛）,见表 5 第 1 到 6 列,发觉它们之间有相当一样地差别,他认为竞赛成果与桨手数量之间存在着某中联系,于是建立了一个模型来说明这种关系 . 200m 成果 t（min）艇长 l 艇宽 b 艇重 w kg 艇种 1 2 3 4 平均 m （m） l / b 桨手数 n 单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21 7.93 0.293 27.0 16.3 双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88 9.76 0.356 27.4 13.6 四人

20、6.33 6.42 6.48 6.13 6.32 11.75 0.574 21.0 18.1 八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84 18.28 0.610 30.0 14.7 问题分析赛艇前进时受到地阻力主要是艇浸没部分与水之间地摩擦力.艇靠桨手地力气克服阻力保持肯定地速度前进 .桨手越多,划艇前进地动力越大 .但是艇与桨手总重量地增加会使艇浸没面积加大,于是阻力加大 .建模目地是查找桨手数量与竞赛成果之间地数量规律 .从上表中可以看出,桨手数 n 增加时,艇地尺寸 l , b 及艇重 w 都随之增加,但比值l b 和 w 0/ n 变化不大 .如假定 /l b 是常数,即各

21、种艇地势状一样,就可得到艇浸没面积与排水体积之间地关系 .如假定 w 0/ n 是常数,就可得到艇和桨手地总重量与桨手数之间地关系.此外仍需对桨手体重、划桨功率、阻力与艇速地关系等方面作出简化且合理地假定,才名师归纳总结 能运用合适地物理定律建立需要地模型.第 12 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 模型假设1 各种艇地集合外形相同,l b为常数；艇重 w 与桨手数 n 成正比 .这是艇地静态特点 .2 艇速 v 是常数,前进时受地阻力 f 与 sv 成正比（ s 是艇浸没部分面积）2 .这是艇地动态特点 .3 全部桨手地体重都相同,记

22、作w ；在竞赛中每个桨手地划浆功率p保持不变,且p与w 成正比 .模型构成有 n 名桨手地艇地总功率由假设 2,3代入（ 1）式可得np与阻力f和速度v地乘积成正比,即fnpfvw（1）（2）sv 2,pn1v3s（s由假设1,各种艇几何外形相同,如艇浸没面积s 与艇地某特点尺寸c 地平方成正比2 c ）,就艇地排水体积A 必与 c 地立方成正比（A3 c ）,于是有2又依据艇重sA3（3）w 0nw 也与 nww 与桨手数 n 成正比,所以艇和桨手地总重量成正比,即wnw成正比,即（4）（5）而由阿基 M 德定律,艇排水体积与总重量wA由（ 3）,（ 4）,（ 5）有2sn3（6）将（ 6）

23、代入（ 2）式,当 w 是常数时得到1由于竞赛成果vn9（7）t （时间）与 v 成反比,所以就得到了1tn9（8）模型检验设 t 与 n 地关系为名师归纳总结 tn第 13 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 和为待定系数 .对上式两边取log ,得到logtlogn利用最小二乘法依据所给数据拟合上式,得到t7.21 n0.111可以看出（ 8）式与这个结果吻合得相当好.3 3 录象机计数器地用途老式地录象机上都有计数器,而没有计时器,一些录音机也有类似地情形 .这种计数器有什么用呢,让我们从这样一个问题开头：一盘说明180 分钟地录象

24、带从头转到尾,用时184 分钟,计数器从 0000 变到 6061.在某一次使用中录象带已经转过大半,计数器读数为4450,问剩下地一段仍能否录下一小时地节目 .假如计数器读数随着录象带地转动是匀称增加地,那么由于4450 已经显著地超过6041 地三分之二,即录象带已经转了两小时多,所以明显不能再录一小时地节目 .但是你细心地观看一下就会发觉,读数并非匀称增长而是先快后慢,这样,回答上面地问题就需要知道读数器读数与录象带转过地时间之间地关系 型.本节目地就是建立表述这个关系地数学模第一,我们要找出计数器读数（记n）与录象带转过地时间（记t）之间地关系,即建立一个数学模型tf n .模型假设1、 录象带地线速度是常数 v；2、 计数器读数 n 与右轮盘转地圈数（m）成正比, m=kn,k 为比例系数；3、 录象带厚度是常数 w,