2022年易错题之二次函数利润专项技巧与易错点分析.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载利用二次函数解决利润的最值问题我对北师大课本一道例题的熟识程：北师大 20XX年 7 月第 1 版数学九年级下册 P48例题的解答中有这样一个过y=160+10x120-6x=-60x-2 2+19440 这里并没有把关系式先化为一般形式,而是直接写成二次函数的顶点式,有2的同学会问,这里的“2” 和“ 19440” 是怎么来的,不是用 b,4 ac b 吗？2 a 4 a不化为一般形式怎么找 a、b、c 呀！其实我们只需求出抛物线与 x 轴的交点横坐标,即 y=0 时 x 的两个值,再依据抛物线的对称性,或运用“ 中点坐标公

2、式x x 1 x 2” ,就得到了抛物线的顶点横坐标,再把它代入关系式即可求出对应2y 的值,也就是顶点纵坐标；假如把这道例题变为一道填空或挑选题,既节又省,提高做题效率；比如：我们巧用抛物线的对称性, 过程会某旅社有客房 120间,每间房的日租金为 160元时,每天都客满； 经市场据调 查发觉,假如每间客房的日租金增加 10元,那么客房每天出租数会削减 6间；不考虑其它因素, 旅社将每间客房的日租金提高到 最高；_元时,客房日租金的总收入设每间客房的日租金提高10x 元,客房日租金的总收入为y 元,就y=160+10x120-6x 得顶点横坐标为 x=2；,令 y=0,得两根为 -16 和

3、20,依据抛物线的对称性,由 x0 且 120-6x0 得 0x0 得 15 x29,x=22 在此范畴内；a= 20,抛物线开口向下,当 x=22 时,y 最大值=98故答案为： 22由于这个问题中存在诸多变量,很多同学想不明白,我看这样想行不行：单件利润 =售价 -进价,进价是不变的,而 售价现在变为 x 了,就单件利润就是（ x-15）；而这时数量变化依旧是由于降价而造成的,始终有降价 2 元多卖 4件这一关系, 所以假如知道了降多少元, 就必定知道多卖多少件； 那么降了多少元呢？最初的售价是 25 元,降价后的售价是 x 元,那么之间的差值就是所降的价格,即降价为 25-x；我们知道降

4、 2 元多卖 4 件,降 1 元多卖 2 件,现在降了（25-x）负全部元,那么就应当多卖2（25-x）件,留意这只是多卖的,总共卖名师归纳总结 的应当是原先卖的8 件加上多卖的, 即 8+2（25-x ）；所以数量就是 8+2（25-x ）；第 2 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载单利润知道了是 x-15,销售数量也知道了是 15）8+2 （25-x ） ；8+2（25-x ）,就总利润 y=（x【解法二】：设利润为 y 元,定价为 x 元；依据题意得： y=（x 15）8+2 （25-x ）= （x 15）58-

5、2x ）由于此题是一道填空题,所以只要明白二次函数的意义,就可以快速解题：x 15=0得 x=15；58-2x=0 得 x=29；其实在这里就已经能求出自变量 x 的取值范畴了（ 15 x0 得 15 x0 及 2x0 得 0000 40x55抛物线开口向下,在对称轴直线x=60 的左侧, y 随 x 的增大而增大当 x=55 时,y 最大=1125 答：关系式为 y=-3x 2+360x-9600,每箱苹果的销售价为 55 元时,可以获得最大利润,最大利润是 1125 元；练习：某农户生产经销一种农副产品, 已知这种产品的成本价为 20 元/ 千克,物价部门规定这种产品的销售价不得高于 28

6、 元/ 千克,市场调查发觉, 该产品每天的销售量 y（千克）与销售价 x（元 / 千克）有如下关系： y=-2x+80设这种产品每天的销售利润为 w（元）（1）当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大？最大利润是多少？（2）该农户想要每天获得不低于150 元的销售利润,销售价应定为多少？名师归纳总结 参考答案： 28 192 25 28（25、26、27、28）第 4 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载总结：依据函数解析式求出的最值是理论值,与实际问题中的最值不肯定相同, 需考虑自变量的取值范畴； 所以确定出二次函数的

7、解析式后,要依据题意列不等式组求出自变量 x 的取值范畴；假如取值范畴在对称轴的一侧,要依据抛物线的增减性找出二次函数的最值；（三）二次函数与一次函数的综合例 2（2022.鄂州 , 第 23 题 10 分）鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料如干千克,价格为每千克 30 元；物价部门规定其销售单价不高于每千克 60元,不低于每千克 30 元；经市场调查发觉：日销售量 y（千克）是销售单价 x（元）的一次函数,且当x=60 时, y=80；x=50时, y=100；在销售过程中,每天仍要支付其他费用 450 元（1）y 与 x 的关系式为 _,自变量 x 的取值范畴是 _；（2）求该公司销售

8、该原料日获利 系式；w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关（3）当销售单价为多少元时,该公司日获利最大？最大获利是多少元？解答：（ 1）y= 2x+200（30x60）（2）W=（x 30）（ 2x+200） 450= 2x 2+260x 6450 （3）W= 2x 2+260x 6450= 2（x 65）2+2000,30x60,x=60 时, w有最大值为 1950 元,当销售单价为 60 元时,该公司日获利最大,最大获利是 1950 元；练习 1：某产品每件成本 10 元,试销阶段每件产品的销售单价 x元与产品 的日销售量 y件之间的关系如下表：如把销售单价 x 与日销售量 y 作为点

9、的坐标, 在平面直角坐标系中描出相应 的点,猜想 y 与 x 是_函数；（1）直接写出日销售量y件与销售价 x 元的函数关系式为 _；（2）要使每日的销售利润最大,每件产品的销售单价应定为多少元？此时 每日销售利润是多少元？（3）如销售单价不得超过20 元,每日的销售利润最大是多少？（4）如销售利润不低于 125 元,销售单价应如何确定？练习 2：某水果批发商销售每箱进价为 价不得高于 55 元；市场调查发觉,如每箱以40 元的苹果,物价部门规定每箱售 45 元的价格销售,平均每天销售105 箱；每箱以 50 元的价格销售,平均每天销售 与销售价 x（元/箱）之间满意一次函数关系式90 箱假定

10、每天销售量 y（箱）（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价 x（元/ 箱）之间的函数关系式；（2）求该批发商平均每天的销售利润 w（元）与销售价 x（元/ 箱）之间的函数关系式；（3）当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润？最大利润是多少？练习 3：“ 健益” 超市购进一批 20 元千克的绿色食品,假如以 30 元千克销售,那么每天可售出 400 千克由销售体会知,每天销售量 y（千克）与销售单价 x（元）（ x30）存在如下图所示的一次函数关系名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）试求

11、出 y 与 x 的函数关系式；（2）设“ 健益” 超市销售该绿色食品每天获得利润P元,当销售单价为何值时,每天可获得最大利润？ （3）依据市场调查,该绿色食品每天可获利润不超过 4480元,现该超市经理要求每天利润不得低于 品销售单价 x 的范畴（直接写出）参考答案：（ 1）y=-20x+1000 4180 元,请你帮忙该超市确定绿色食（2）p x 20 y x 20 20 x 1000 20 x 2 1400 x 20000x=35即当销售单价为 35元千克时,每天可获得最大利润 . （3） 31x34 或 36x39练习 4：（2022.湖北）为满意市场需求,某超市在五月初五“ 端午节”

12、来领前夕,购进一种品牌粽子,每盒进价是 40 元超市规定每盒售价不得少于 45元依据以往销售体会发觉；当售价定为每盒 45 元时,每天可以卖出 700 盒,每盒售价每提高 1 元,每天要少卖出 20 盒（1）试求出每天的销售量 y（盒）与每盒售价 x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时,每天销售的利润 是多少？P（元）最大？最大利润（3）为稳固物价,有关治理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于 58元假如超市想要每天获得不低于 多少盒？6000 元的利润,那么超市每天至少销售粽子参考答案：（ 1）由题意得, y=700 20（x 45）= 20x+1600；（2）P=（x 40

13、）（ 20x+1600）= 20x 2+2400x 64000= 20（x 60）2+8000,（3）由题意,得20（x 60）2+8000=6000,解得 x1=50,x2=70 50 x58在 y= 20x+1600 中, y 随 x 的增大而减小当 x=58 时,y 最小值= 20 58+1600=440,即超市每天至少销售粽子 440 盒总结：既有一次函数又有二次函数,要分清、认准变量字母,不能混淆；留意哪个函数需要用待定系数法,哪个需要依据题意进行计算得出；要处理好这些字母之间的“ 亲属” 关系,沉得住气,仔细仔细地将题目中所供应的信息加工梳理,最终解决问题；（三）分段函数及其最值的

14、争论有条不紊地进行 “ 抽丝剥茧” ,例 2（2022.黄石第 23 题 8 分）高校毕业生小王响应国家“ 自主创业” 的号名师归纳总结 召,利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店该店购进一种今年新上市的饰品第 6 页,共 13 页进行销售,饰品的进价为每件40 元,售价为每件 60 元,每月可卖出 300 件市- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载场调查反映：调整价格时,售价每上涨 1 元每月要少卖 10 件；售价每下降 1 元 每月要多卖 20 件；为了获得更大的利润,现将饰品售价调整为 60+x（元 / 件）（x0 即售价上涨, x0

15、 即售价下降）,每月饰品销量为（元）；（1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式；y（件）,月利润为 w（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润不少于 解答：（ 1）由题意可得： y=6000 元应如何掌握销售价格？（且 x 为整数）（2）由题意可得： w=60x4030010x0xx3060x4030020x200化简得： w=在 0x30 时,x=5 可得 W 最大=6250 ；在-20x0 时,由于 x 为整数所以 x=2 或 3 可得 W 最大,此时 W 最大肯定 61256250 ；故当 x=5 即销售价格为 65 元时,利润最大,最大利润为 62

16、50 元（3）由题意得 w6000,如图,令 w=6000,即 6000= 10（x 5）2+6250； 6000= 20（x+ ）2+6125,解得： x1= 5,x2=0,x3=10,当 5x10 时,即将销售价格掌握在 元）才能使每月利润不少于 6000 元；55 元到 70 元之间（含 55 元和 70练习：某专卖店经市场调查得知,一种商品的月销售量 Q（单位：吨）与销售价格 x（单位：万元 / 吨）的关系可用下图的一条折线表示（1）写出月销售量 Q关于销售价格 x 的函数关系；（2）假如该商品的进价为5 万元 / 吨,除去进货成本外, 专卖店销售该商品每月的固定成本为 10 万元,问

17、该商品每吨定价多少万元时,销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载依据市场调查,某商品在最近40 天内的价格 P与时间 t 的关系用图（1）中的一条折线表示,销售量 Q与时间 t 的关系用图（ 2）中的线段表示（ t 为正整数）（1）分别写出图 1 表示的价格 P与时间 t 的函数关系式,图 2表示的销售量 Q与时间 t 的函数关系式（2）求这种商品的销售额 及此时的时间S（销售额 =销售量 价格）的最大值名师归纳总结 总结：此类问题涉及分段函数,如何分段,怎样

18、表达每个分段第 8 页,共 13 页函数是个难点；必需对不同的最值进行比较、整理、归纳才能得出- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 最终的结论；学习必备欢迎下载结果是否满意各留意考虑各段内的自变量取值范畴,段自变量的取值范畴；这是解此类综合应用题目的特点；对于“ 二次函数值不小于某某”这类题型,先令“ 其值等于某某”,然后再利用函数的草图得出x 的取值范畴；此类题型运算量大,做时要耐心细致；练习 1：（2022.江苏南通,第 26 题 10 分）某网店打出促销广告：最潮新款服装 30 件,每件售价 300 元如一次性购买不超过10 件时,售价不变；如一次性

19、购买超过 10 件时,每多买 1 件,所买的每件服装的售价均降低 3 元已知该服装成本是每件 200 元,设顾客一次性购买服装 x 件时,该网店从中获利 y元（1）求 y 与 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范畴；（2）顾客一次性购买多少件时,该网店从中获利最多？参考答案：（ 1）y = 3300 x200 x3003 x10 200 x=-100 x 0x10 30 且 x 为整数）2 x130 x 10x（2）在 0x10 时, y=100x,当 x=10 时, y 有最大值 1000；在 10x30 时, y= 3x 2+130x=-3x-65 2+ 4225 ,3 3x 为整

20、数,依据抛物线的对称性得 x=22 时,y 有最大值 140814081000,顾客一次购买 22 件时,该网站从中获利最多；练习 2：四川汶川大地震发生后,我市某工厂 A 车间接到生产一批帐篷的订单,要求必需在 12 天（含 12 天）内完成已知每顶帐篷的成本价为 800 元,该车间平常每天能生产帐篷20 顶为了加快进度,车间实行工人分批日夜加班,机器满负荷运转的生产方式, 生产效率得到了提高 这样,第一天生产了 22 顶,以后每天生产的帐篷都比前一天多2 顶由于机器损耗等缘由, 当每天生产的帐篷达到 30 顶后,每增加 1 顶帐篷,当天生产的全部帐篷,平均每顶的成本就增加 20 元设生产这

21、批帐篷的时间为x 天,每天生产的帐篷为y 顶x 的取值范畴（1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量（2）如这批帐篷的订购价格为每顶1200 元,该车间打算把获得最高利润的那一天的全部利润捐献给灾区 设该车间每天的利润为 W元,试求出 W与 x 之间 的函数关系式,并求出该项车间捐献给灾区多少钱？参考答案：（ 1）y=2x+201x12 且 x 为整数）（2）当 1x5 时,第 x 天营业额 W=y1200-800=2x+20 400=800x+8000, 当 x=5 时, W最大 ,W最大=12000（元）；当 6x12 时,每顶成本为 800+2x+20-30 20=600

22、+40x,每顶利润为 1200-（600+40x）=600-40x,就 W=y600-40x 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - =2x+20600-40x 学习必备欢迎下载 =-80（x-2.5 ）2+12500 当 x=6 时, W最大时, W最大=11520；综上所述, W最大为 12000（元）；练习 3：我市某服装厂生产的服装供不应求,A 车间接到生产一批西服的紧急任务,要求必需在 12 天（含 12 天）内完成为了加快进度,车间实行工人分批日夜加班, 机器满负荷运转的生产方式,生产效率得到了提高, 每天生

23、产的西服数量 y（套）与时间 x（天）的关系如下表：平均每套西服的成本请解答以下问题z（元）与时间 x（天）的关系式为：（1）求每天生产的西服数量y（套）与 x（天）之间的关系式及成本z（元）与 x（天）之间的关系式（2）已知这批西服的订购价格为每套 1570 元,设该车间每天的利润为 W（元）,试求出日利润 W（元）与时间 x（天）之间的函数关系式,并求出哪一天该车间获得最大利润,最大利润是多少元？（3）在实际销售中,从第 6 天起,该厂打算每销售一套西服就捐赠利润 a（元）给期望工程；厂方通过销售记录发觉, 每天扣除捐赠后的日销售利润（元）随时间 （天）的增大而增大,求 a 的取值范畴；参

24、考答案：（ 1）y=2x+20 1x5 且 x 为整数时 z=800x+8000 6x12 且 x 为整数时 z=80x 2+1200x+4000（2）当 1x5 时,W=2340x+23400, 当 x=5 时, W最大 ,W 最大=35100（元）；当x12 时, W=-80x 2+1940x+27400当 x=12 时,W最大时, W最大=39160；综上, W最大为 39160（元）3 捐款后利润为 W=-80x 2+1940x+27400-a2x+20 =-80x 2+1940-2ax+27400-20a 60 元,每星期由题意知其顶点横坐标必需不小于12 练习 4：已知某商品的进价

25、为每件40 元,现在的售价是每件可卖出 300 件市场调查反映：如调整价格,每涨价1 元,每星期要少卖出10 40%件；每降价 1 元,每星期可多卖出 20 件如商场规定试销期间获利不得低于又不得高于 60%,就销售单价定为多少时,商场可获得最大利润？最大利润是多少？名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载参考答案： 56x64 涨价时： y=x-40900-10x 60 x90 x=64 时 y 最大 6150 ；降价时 y=x-40300+2060-x 40x60 x=57.5 时 y 最大 61

26、25 综上定价为 64 元时最大 6150 元 二次函数中的面积型应用题 例 1（2022.温州）某农场拟建两间矩形饲养室, 一面靠现有墙（墙足够长） ,中间用一道墙隔开,并在如下列图的三处各留 1m宽的门已知方案中的材料可 2 建墙体（不包括门）总长为 27m,就能建成的饲养室面积最大为 m解答：（此类题一般都）设垂直于墙的材料长为x 米,就平行于墙的材料长为 27+3 3x=（30 3x）米,设面积为 S S=x（30 3x）= 3（x 5）2+75,故饲养室的最大面积为 75m 2例 2 如图,花圃 ABCD是一等腰梯形,底边 AD靠墙,另三边用长为 40 米的铁栏杆围成,设该花圃的腰

27、AB的长为 x 米；1 用含 x 的代数式表示底边 BC的长为 _米；2 如 BAD=60 , 墙长为 24 米,该花圃的面积为 S 米 2,试问 S 有最大值仍是最小值？这个值是多少？答案：（ 1）40-2x （2）S 33 x 220 3 33 x 40 2 400 34 4 3 3由题意可求得 16x20 ,如图,函数图象为开口向下的一段抛物线,在16x20 时, S 随 x 的增大而减小；当 x=16 时 S 取得最大值,没有最小值；练习 1：如图,有长为 22 米的篱笆,一面利用墙（墙的最大可用长度为 14米）,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,为了便利出入, 在建造篱笆花圃时,在

28、BC上用其他材料造了宽为 1 米的两个小门（1）设垂直于墙的 AB为 x 米,请你用含 x 的代数式表示 BC的长_米；（2）如此时花圃的面积刚好为 45m 2,求此时花圃的宽 . （3）AB为_米时花圃的面积最大；24-3x 5 练习 2：（2022.安徽 , 第 22 题 12 分）为了节约材料,某水产养殖户利用水库的岸堤 （岸堤足够长） 为一边, 用总长为 80m的围网在水库中围成了如图所名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载示的三块矩形区域, 而且这三块矩形区域的面积相等； 设 BC的长度为

29、 xm,矩形区域 ABCD的面积为 ym 2；（1）求 y 与 x 之间的函数关系式,并注明自变量（2）x 为何值时, y 有最大值？最大值是多少？解答： （1）三块矩形区域的面积相等,矩形 AEFD面积是矩形 BCFE面积的 2 倍,AE=2BE,设 BE=a,就 AE=2a,8a+2x=80,a=x+10,2a=x+20,x 的取值范畴；y=（x+20）x+（x+10）x=x2+30x,a=x+100,x40,就 y=x 2+30x（0x40）；（2）y=x 2+30x=（x 20）2+300（0x40）,且二次项系数为0,当 x=20 时, y 有最大值,最大值为 300 平方米；练习

30、3：如图,在一面靠墙的空地上用长为24 米的篱笆,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,设垂直于墙的一边（1）求 S 与 x 的函数关系式及自变量AB为 x 米,面积为 S 平方米x 的取值范畴；（2）如墙的最大可用长度为 时围成的花圃最大面积是多少？9 米,求此时自变量 x 的取值范畴,并说明此参考答案：（1）S=-3x2+24x0x8 （2）5x8 S=-3x-42+48 当 x=5时 S 有最大值,最大值为45. 练习 4：2022 成都 在美化校内的活动中, 某爱好小组想借助如下列图的直角墙角（两边足够长）,用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围 AB,BC两边）,设 AB=xm（1）如花园的面积为 192m 2,求 x 的值；（2）如在 P