2022年上海高中数学——知识点总结.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -上海腾飞训练上海高中数学学问点总结一、集合与常用规律1集合概念元素：互异性、无序性AB2集合运算全集 U：如 U=R 交集：ABxxA 且xB 并集：ABxxA 或xB 补集：CUAxxU且xA 3集合关系空集A子集AB: 任意xAxBABAABABB注：数形结合 - 文氏图、数轴4四种命题原命题：如 p 就 q 逆命题：如 q 就 p 否命题：如p 就q逆否命题：如q就p原命题逆否命题否命题逆命题5充分必要条件p 是 q 的充分条件：PqPqp 是 q 的必要条件：p 是 q 的充要条件： p. q 6复合

2、命题的真值q 真（假） . “q ” 假（真）1 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -上海腾飞训练 p、q 同真. “ pq” 真p、q 都假. “ pq” 假7. 全称命题、存在性命题的否定M, px ）否定为 : M, pXpXM, px ）否定为 : M, 二、不等式 1一元二次不等式解法如a0,ax2bxc0有两实根,就ax2bxc0解集,2 axbxc0解集,注：如a0,转化为a0情形2

3、其它不等式解法转化xfaxaxaax2a2a2a1）xaxa或xx20g0fxfxgx （ a1）gxagfxxafxlogaxlogagxf 0 g x （ 0f 3基本不等式a2b22ababa2b2如a,bR,就a2bab注：用均值不等式ab2ab、求最值条件是“ 一正二定三相等”2 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -上海腾飞训练三、函数概念与性质1奇偶性fx 偶函数 f x f x fx

4、 图象关于 y 轴对称fx 奇函数 f x f x fx 图象关于原点对称注：fx 有奇偶性 定义域关于原点对称fx 奇函数 , 在 x=0 有定义 f0=0 “ 奇+奇=奇” （公共定义域内）2单调性fx 增函数： x1x2ffx1 fx2 或 x 1x2fx1 fx2 或fx1x20x 1x2fx 减函数：？注：判定单调性必需考虑定义域fx 单调性判定定义法、图象法、性质法“ 增 +增=增”奇函数在对称区间上单调性相同偶函数在对称区间上单调性相反3周期性T 是 f x 周期f x T f x 恒成立（常数T0）3 4二次函数细心整理归纳 精选学习资料 第 3 页,共 22 页 - - -

5、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -上海腾飞训练解析式： fx=ax2+bx+c,fx=ax-h2+k ,递增 fx=ax-x1x-x2 对称轴：x2b顶点：b,4acab2a2a4单调性： a0,2ba递减,b2a当x2b,fxmin4acab2a4奇偶性： fx=ax2+bx+c 是偶函数b=0 闭区间上最值：配方法、图象法、争论法- 留意对称轴与区间的位置关系注：一次函数 fx=ax+b奇函数b=0 四、基本初等函数1指数式a01a0an1anmanman

6、2对数式logaNbabN（a0,a 1）logaMNlogaMlogaNlogaMlogaMlogaNNlogaMnnlogaMlogablogmblgblogmalgalogablogann b1alogb4 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -上海腾飞训练注：性质 log a 1 0 log a a 1 a log a N N常用对数 lg N log 10 N,lg 2 lg 5 1自然对

7、数 ln N log e N,ln e 13指数与对数函数 y=a x与 y=log ax 定义域、值域、过定点、单调性？注：y=a x与 y=log ax 图象关于 y=x 对称（互为反函数）14幂函数 y x 2, y x 3, y x 2 , y x 1y x 在第一象限图象如下：五、函数图像与方程1描点法函数化简定义域争论性质（奇偶、单调）取特别点如零点、最值点等2图象变换平1010移：“ 左加右减, 上正下负”5 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习

8、资料 - - - - - - - - - - - - - - -上海腾飞训练伸缩：yffx yfxh 来的倍yf1x yx每一点的横坐标变为原对称：“ 对称谁,谁不变,对称原点都要变”y f x x 轴y f x y 轴y f x y f x 原点y f x y f x 直线 x a注：y f x y f 2 a x 翻折：y f x y | f x 保留 x 轴上方部分,并将下方部分沿 x 轴翻折到上方y yy=fx y=|fx|a o b c x a o b c xy f x y f | x | 保留 y 轴右边部分,并将右边部分沿 y 轴翻折到左边y yy=fx y=f|x|a o b

9、c x a o b c x3零点定理如fafb0,就yfx在a ,b 内有零点b0（条件：fx在a,b上图象连续不间断）注：fx 零点：f x0的实根在a,b上连续的单调函数fx ,faf就fx 在a,b上有且仅有一个零点二分法判定函数零点 -fafb0？六、三角函数6 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -上海腾飞训练1概念 2弧长3定义4符号其次象限角2k22,kkZ lr扇形面积S1lr2si

10、nycosxtanyrrx其中Px ,y 是终边上一点,POr“ 一正全、二正弦、三正切、四余弦”5诱导公式：“ 奇变偶不变,符号看象限”如Sin2sin,cos/2sin6特别角的三角函数值sin0 64320 320 1231 1222cos1 30 10 21222tg0 3/ 0 / 31 37基本公式同角sin2cos21sintan1cos 2tan212tan2cos和差sinsincoscossincoscoscossinsintantantan1tantan12 2 sin倍角sin22sincoscos 22 cos2 sin2 2 cos1tan降幂 cos2 =1cos

11、2 sin2 =227 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -上海腾飞训练叠加sincosa22sin4tanaasin3sincos2sin6bcos2 bsinb8三角函数的图象性质y=sinx y=cosx y=tanx 图象单调性：, 2 2增 ,0减2, 2增值域sinx /2cosx ,0tanx -1 ,1 -1 ,1 无奇偶奇函数奇函数偶函数周期22对称轴无xkxk中心k,0/2kk

12、/20,8 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -上海腾飞训练注：kZ9解三角形基本关系： sinA+B=sinC cosA+B=-cosC tanA+B=-tanC sin A Bcos C2 2正弦定理：a = b = csin A sin B sin Ca 2 R sin A a : b : c sin A : sin B : sin C余弦定理： a 2=b 2+c 22bccosA（求边）

13、2 2 2 cosA= b c a（求角）2 bc面积公式： S 1 absinC 2注：ABC 中,A+B+C=？A B sin A sin Ba 2b 2+c 2 .A2七、数 列1、等差数列定义：an 1andna 11nn1 daq通项：a na1n1 d求和：Snn a 12an2中项：ba2c（a ,b ,c成等差）nap,就ama性质：如mnpq2、等比数列定义：an1q q0an9 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - -

14、- - - - - - - - - -上海腾飞训练通项：ana 1 qn1anapaq求和：S na 1na 1qnq111q1q中项：b2ac（a,b ,c成等比）性质：如mnpq就a m3、数列通项与前n 项和的关系ans 1a1nn1 2snsn14、数列求和常用方法公式法、裂项法、错位相减法、倒序相加法八、平面对量1向量加减 三角形法就,平行四边形法就AB BC AC 首尾相接,OB OC =CB 共始点中点公式：AB AC 2 AD D 是 BC 中点2向量数量积 a b = a b cos= x 1 x 2 y 1 y 2注： a , b 夹角： 0 0 180 0 a, 同向：a

15、 b a b3基本定理 a 1 e 1 2 e 2（e 1, e 2 不共线 - 基底）平行：a / b a b x 1 y 2 x 2 y 1（b 0）垂直：a b a b 0 x 1 x 2 y 1 y 2 02模： a x 2y 2a b a b 2夹角： cos a b| a | b |10 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -上海腾飞训练注： 0 aaabbcabc（结合律）不成立ab

16、cc（消去律）不成立九、复数与推理证明1复数概念复数：z a bi a,b R ,实部 a、虚部 b 分类：实数（b 0）,虚数（b 0）,复数集 C 注： z 是纯虚数 a 0,b 0相等：实、虚部分别相等共轭：zabi2a,b模：za2b2zzz复平面：复数 z 对应的点2复数运算加减：（a+bi ） c+di= ？乘法：（a+bi ）（c+di ）=？除法：2iabi= abicdi=cdicdicdi乘方：1,nii4krir3合情推理类比：特别推出特别归纳：特别推出一般演绎：一般导出特别（大前题小前题结论）4直接与间接证明综合法：由因导果比较法：作差变形判定结论反证法：反设推理冲突结

17、论11 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -上海腾飞训练 分析法：执果索因分析法书写格式：要证 A为真,只要证 B为真,即证 ,这只要证 C为真,而已知 C为真,故 A必为真 注：常用分析法探究证明途径,综合法写证明过程 5数学归纳法：1 验证当 n=1 时命题成立 , 2 假设当 n=kk N* ,k 1 时命题成立 , 证明当 n=k+1 时命题也成立由 12知这命题对全部正整数n 都成立注

18、：用数学归纳法证题时,两步缺一不行,归纳假设必需使用十、直线与圆1、倾斜角范畴 0,y 1x 1x 轴正方向所成的最小正角斜率ktany 2x 2注：直线向上方向与倾斜角为 90 时,斜率不存在 2、直线方程点斜式yy0kxx0,斜截式ykxb1两点式yy 1xx 1,截距式xyy2y 1x 2x 1ab一般式AxByC0留意适用范畴：不含直线xx0不含垂直x 轴的直线不含垂直坐标轴和过原点的直线3、位置关系（留意条件）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -12 第 12 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学

19、习资料 - - - - - - - - - - - - - - -上海腾飞训练平行k 12k2且b 1b2A A 2B B20垂直k k1垂直4、距离公式两点间距离： |AB|=x 1x 22y 10y 22b,半径r点到直线距离：dAx 0By 0C圆心a,A 2B25、圆标准方程：xa2yb2r2DxEyF（条件是？）圆一般方程：x2y2rD,E半径D2E24F圆心2226、直线与圆位置关系位置关系相切x 0相交b2r2相离r,y 0在圆外几何特点drdrd代数特点000注：点与圆位置关系a2y 0点P x 07、直线截圆所得弦长AB2r2d213 细心整理归纳 精选学习资料 - - -

20、- - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -上海腾飞训练十一、圆锥曲线一、定义椭圆： |PF 1|+|PF 2|=2a2a|F 1F2| 双曲线： |PF1|-|PF 2|= 2a02ab0 a b2 2双曲线 x2 y2 1 a0,b0 a b中心原点 对称轴？焦点 F1c,0 、F2-c,0 顶点: 椭圆 a,0,0, b ,双曲线 a,0 范畴: 椭圆-a x a,-b y b 双曲线 |x| a ,y R 焦距：椭圆 2c（c= a2

21、b2）双曲线 2c（c= a2b2）2a、2b: 椭圆长轴、短轴长,双曲线实轴、虚轴长离心率： e=c/a 椭圆 0e1 注：双曲线x2y21渐近线ybxa2b2a方程mx2ny21表示椭圆m0,n0. mn14 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -上海腾飞训练方程mx2ny21表示双曲线mn0抛物线 y2=2pxp0 对称轴（ x 轴）顶点（原点）开口（向右）范畴 x 0 离心率 e=1 焦点

22、F p 2,0准线xp2十二、矩阵、行列式、算法初步十、算法初步一程序框图程序框名称功能起止框起始和终止输入、输出框输入和输出的信息处理框赋值、运算判定框判定某一条件是否成立循环框重复操作以及运算15 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -上海腾飞训练二基本算法语句及格式1 输入语句： INPUT “ 提示内容” ；变量2 输出语句： PRINT“ 提示内容” ；表达式3 赋值语句：变量 =表达式

23、4 条件语句“ IF THENELSE” 语句“ IF THEN” 语句IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句 1 语句ELSE END IF 语句 2 END IF 5 循环语句当型循环语句 直到型循环语句WHILE 条件 DO 循环体 循环体WEND LOOP UNTIL 条件当型“ 先判定后循环”直到型“ 先循环后判定”三算法案例1、求两个数的最大公约数辗转相除法：到达余数为 0 更相减损术：到达减数和差相等2、多项式 fx= a nx n+an-1x n-1+ .+ a1x+a0 的求值秦九韶算法： v 1=anx+an 1 v 2=v1x+an2 16 细心整理归纳 精选学

24、习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -上海腾飞训练 v3=v2x+an3 v n=vn 1x+a0注：递推公式 v0=an v k=vk1X+ankk=1,2, n 求 fx 值,乘法、加法均最多 n 次3、进位制间的转换k 进制数转换为十进制数：anan1.a 1a0kanknan1kn1.a1ka0十进制数转换成 k 进制数：“ 除 k 取余法”例 1 辗转相除法求得 123 和 48 最大公约数为 3 例 2

25、已知 fx=2x 55x 44x 3+3x 26x+7,秦九韶算法求 f5 1232 4827 v 0=2 481 27 21 v 1=2 55=5 27 1 216 v 2=5 54=21213 63 v 3=21 5+3=108 62 3+0 v 4=108 56=534 v5=534 5+7=2677 十三、立体几何1三视图 正视图、侧视图、俯视图02直观图：斜二测画法 X OY =45平行 X 轴的线段,保平行和长度平行 Y 轴的线段,保平行,长度变原先一半17 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页,共 22 页 - -

26、- - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -上海腾飞训练3体积与侧面积V 柱=S 底 h V 锥 = 1 S 底 h V 球 = 4 R 33 3S 圆锥侧 = rl S 圆台侧 = R r l S 球表= 4 R 24公理与推论 确定一个平面的条件：不共线的三点 一条直线和这直线外一点两相交直线 两平行直线公理：平行于同一条直线的两条直线平行定理：假如两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补；5两直线位置关系 相交、平行、异面异面直线不同在任何一个平面内6直线和平面位置关系aaAa/7平行的判定与性质线面平行：a

27、 b ,b,aa aab ba ,a,b面面平行：AB , AC 平面ABC , aa 8垂直的判定与性质线面垂直：ap,AB,pACp面ABCa面面垂直：18 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -上海腾飞训练假如一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面垂直；如两个平面垂直,就一个平面内垂直于交线的直线AP与另一个平面垂直O三垂线定理：PO,AOaPAaaPO,PAaAOa在平面内的一

28、条直线, 假如它和这个平面 直,那么它也和这条斜线垂直逆定理？9空间角、距离的运算的一条斜线的射影垂异面直线所成的角 范畴（0 ,90 平移法：转化到一个三角形中,用余弦 定理直线和平面所成的角 范畴0 ,90 定义法：找直线在平面内射影,转为解三角形二面角 范畴0 ,180 定义法：作出二面角的平面角,转为解三角形点到平面的距离体积法 - 用三棱锥体积公式注：运算过程,“ 一作二证三求” ,都要写出10立体几何中的向量解法法向量求法：设平面ABC的法向量 n =（x,y ）ABnAB,nACnAB0 ,nAC0C解方程组,得一个法向量n线线角：设n n 是异面直线l l 的方向向量,19 细

29、心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -上海腾飞训练l1,l 所成的角为,就cos2cosn 1,n 2即l l 所成的角等于n 1,n或n n 2线面角：设 n是平面的法向量, AB 是平面的l的大小为,就coscosn 1,n 2一条斜线, AB 与平面所成的角为,就sincosn,ABABnABn二面角：设n n 是面,的法向量,二面角或cosn 1,n 2即二面角大小等于n 1,n2或n n

30、2点到面距离：如 n 是平面的法向量, AB 是平面的一条斜线段,且B,就点 A 到平面的距离dAB nn十四、计数原理1. 计数原理加法分类,乘法分步20 第 20 页,共 22 页 - - - - - - - - - 2排列组合差异- 排列有序而组合无序公式A =n n1nm1 =nn！mC =nn11 nm1 =m！n！m ！2mn关系：Amm！Cmnn性质：C =Cnm0 C n1 C n2 C nn C n2nn3排列组合应用题细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -上海腾飞训练原就：分类后分步,先选后排,先特别后一般解法：相邻问题“ 捆绑法”,不相邻“ 插空法”复杂问题“ 排除法”4二项式定理 a b n C n 0 a n C 1n a n 1 b C n 2 a n 2 b 2 C n r a n r b