2022年正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 正弦定理、余弦定理学问点总结及证明方法王彦文 青铜峡一中1 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹1把握正弦定理、 余弦定理, 并能解决一 些简洁的三角形度量问题2能够运用正弦定理、 余弦定理等学问和 方法解决一些与测量和几何运算有关的实际问 题主要考查有关定理的应用、三角恒等变换 的才能、运算才能及转化的数学思想解三角 形经常作为解题工具用于立体几何中的运算或 证明,或与三角函数联系在一起求距离、高度 以及角度等问题,且多以应用题的形式显现角的余弦的积的两倍即a 2,b 2,c 2 . 如令 C90 ,就

2、c 2,即为勾股定理2 余 弦 定 理 的 变 形：cosA,cosB,cosC . 如 C为锐角,就 cosC0,即 a 2b 2_c 2；如C为钝角,就 cosC0,即a 2b 2_c 2. 故由 a 2b 2与 c 2 值的大小比较,可以判定 C为锐角、钝角或直角3 正、余弦定理的一个重要作用是实现边角_,余弦定理亦可以写成 sin 2A sin 2B sin 2C 2sin Bsin CcosA,类似地,sin 2B_；sin 2C_.留意式中隐含条件 ABC .3解斜三角形的类型1 已知三角形的任意两个角与一边,用_定理只有一解2 已知三角形的任意两边与其中一边的对 角 , 用 _

3、定 理 , 可 能 有_如在 ABC中,已知 a,b 和 A时,解的情形如表：1正弦定理图A为锐角A为钝角 或直角1 正弦定理： 在一个三角形中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即其中 R是三角形外接圆的半径形2 正弦定理的其他形式：关absin Aba 2Rsin A, b , c；系bsin A b sin Aa 2R,sin B,式解的sin C；个abc_. 3 已知三边,用 _定理有数2余弦定理1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解时,只有一解sin2Asin2B2sin Asin BcosC4 已知

4、两边及夹角,用_定31 正弦2 正弦一解、两解或无解理,必有一解4三角形中的常用公式或变式一解 二解一解一解3 余弦4 余弦1 三 角 形 面 积 公 式 S 4 1 1 2absin C1 2bcsin A1 2acsin Babc_4R_其中 R,r 分别为三角形外接圆、内切圆半径2 ABC ,就 A_,1 2 abc rA 2_ ,从而sin A 2 BC 2BC _,sin BC cos BC cosA_,tan A_；sin A 2_,cosA 2_, tan B CcosBCsinBC221tanA 2 _.tan A tan B tan CtanBC 2_. 3 如三角形三边 a

5、,b,c 成等差数列,就tan Atan Btan C3 acsin Asin C2b _. 2sin B_.2sinB 2cosAC 2 . 2cosAC 2 cosAC 2 . tanA2tan21 3. 【自查自纠】 2ca2ab3 互化sin2Csin2A2sin Csin AcosB2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在 ABC中, AB是 sin Asin B的 2022 陕西 设 ABC的内角 A, B, C所对的A充分不必要条件B必要不充分条件边分别为 a, b, c, 如 bcosCccosBa

6、sin A, C充要条件就 ABC的外形为 D既不充分也不必要条件A锐角三角形B直角三角形解：由于在同一三角形中,角大就边大,边大就正弦大, 反之也成立,故是充要条件 故选 C.在 ABC中,已知 b6,c10,B30 ,就解此三角形的结果有 A无解 B一解C两解 D一解或两解解：由正弦定理知 sin Cc sin B b5 6,又由C钝角三角形 解：由已知和正弦定理可得 sin CcosB sin A sin A , 即D不确定 sin BcosCsin B C sin Asin A,亦即 sin Asin Asin A. 由于 0Abcsin B知, C有两解也可依已知条件,画边分别为 a

7、,b,c. 如 a2,B 6,c23,出 ABC,由图知有两解应选C.就 b_3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：由余弦定理知 b 2a 2c 22accosB2 2 2 3 22 2 2 3 cos 64,b2.故填 2.类型一 正弦定理的应用在 ABC中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,如 a2,b2,sin BcosB2,就角 A的大小为 _解： sin BcosB2, ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,2sin B 42,即 sin B 41. 又B0 , , B 4 2,B

8、 4 . 依据正弦定理a sin Ab sin B,可得sin A已知AC90 ,ac2b,求C. asin B b1 2. 解：由 ac2b 及正弦定理可得sin Asin C2sin B. ab,AB. A 6 . 故填 6 .4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即 cos45 C 1 2. sin C2 2 sin B2 2 cosB 2 2,整理得 sin BcosC又0 C90 , 45 C60 , C15 .【评析】利用正弦定理将边边关系转化为角角关系,这是解此题的关键sin CcosB1,即 sin

9、 BC 1. 由于 B,C 0,3 4, BC 2 . 2 BC A3 4,又由1 知 BC 2,B5 8,C 8 . a2,A 4,由正弦定理知basin B sin A2sin 5 8,casin C sin A2sin 8 . 2022 江西 在 ABC中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 已知 A 4,bsin 4C csin 4B a. 1 求证： BC 2；2 如 a2,求 ABC的面积解 ： 1 证 明 ： 对 bsin 4C csin 4B a 应 用 正 弦 定 理 得sin Bsin 4C sin Csin 4B sin A,S ABC1 2bcsin A 1 2

10、 2sin 5 8 2sin 8222sin 5 8 sin 82cos 8 sin 82 2sin 41 2. 即sin B2 2 sin C2 2 cosC5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 类型二余弦定理的应用S ABC1 2acsin B33 4 . 【评析】依据所给等式的结构特点利用 余弦定理将角化边进行变形是快速解答此题的 关键娴熟运用余弦定理及其推论,同时仍 要留意整体思想、方程思想在解题过程中的运 用在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且cosB cosC2ac. b1 求 B的大小；

11、2 如 b13,ac4,求 ABC的面积如 ABC的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 满解：1 由余弦定理知, cosBa 2c2ac 2b2,足 ab2c 24,且 C60 ,就 ab 的值为 cosC2 a 2b 2c,将上式代入cosB cosCbA.4 3B843 C1 2ab2ac得D.2 3a 2c 2b 22ac2ab2b 2ac,a 2b 2c解：由余弦定理得c 2a 2b 22abcosC整理得 a 2c2b 2ac. a 2b 2ab,代入 ab2 c 24 中得 a b2cosBa 2c2b 2ac 2ac 1 2. a 2b 2ab 4,即 3ab4,ab4 3.

12、 应选A.2acB 为三角形的内角, B2 3 .2 将 b13,ac4,B2 32 代入 ba 2c 22accosB,得 134 22ac2accos2 3 ,解得 ac3. 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 类型三 正、余弦定理的综合应用 以用余弦定理化边后用不等式求最值 2022 全国新课标 ABC的内角 A、B、 C 2022 山东 设ABC的内角A,B,C所对的的对边分别为 a,b,c,已知 abcosCcsin B. 1 求 B；2 如 b2,求 ABC面积的最大值解 ： 1 由 已 知 及 正

13、弦 定 理 得 sin Asin BcosCsin Csin B. 又 A BC ,故边分别为a,b,c,且 ac 6,b2,cosB7 9. 1 求 a,c 的值；2 求 sin AB 的值解：1 由余弦定理 b 2a 2c 22accosB,sin A sin B C sin BcosC cosBsin C. 由,和 C0 , 得 sin BcosB. 得 b 2 ac22ac1 cosB ,又 ac6,b2,又 B0 , ,所以 B 4 . cosB7 9,所以 ac9,解得 a3,c3. 2 ABC的面积 S1 2acsin B2 4 ac. 2 2 在 ABC中, sin B1cos

14、2B42 9,由 已 知 及 余 弦 定 理 得4 a 2 c由正弦定理得 sin Aasin B b22 3 . 2accos 4 . 由于 ac,所以 A为锐角,又 a 2c 22ac,故 ac4,2所以 cosA1sin2A1 3. 2当且仅当 ac 时,等号成立因此 sin AB sin AcosBcosAsin B因此ABC面积的最大值为21. 10 2 27 . 【评析】1 化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧；2 已知边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题,既可用三角函数求最值,也可7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页

15、精选学习资料 - - - - - - - - - 类型四判定三角形的外形后进行三角函数式的恒等变形,找出角之间的关系；或将角都化成边,然后进行代数恒等变 形,可一题多解,多角度摸索问题,从而达到 对学问的娴熟把握在三角形ABC中,如 tan Atan Ba 2b 2,试判 断三角形 ABC的外形2 解法一：由正弦定理,得a b 2sin sin2A 2B, 2022 上海 在 ABC 中 , 如sin2A 所以tan A tan Bsin 2A2B,所以sin AcosB cosAsin Bsin 2A2B,即 sin2 Asin2 B. 所以 2A2B,或 2A2B ,因此 AB或 AB 2

16、,从而 ABC是等腰三角形或直角sin 2Bsin 2C,就 ABC的外形是 A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定解：在 ABC中, sin 2Asin 2Bsin 2C,a 2b 2c 2由正弦定理知 a 2b 2c 2. cosC2ab0,即C为钝角, ABC为钝角三角形 应选C.三角形类型五解三角形应用举例解法二：由正弦定理,得2 ab 2sin sin2A 2B,所以tan Bsin2B,所以cosB cosAsin A sin B,再由正、余弦a 2 c 2b2定理,得2ac2a b,化简得 a 2b 2 c2b 2 c 2a2bca2b2 0,即 a2b 2 或 c2

17、a 2b 2. 从而 ABC是等腰三角形或直角三角形【评析】由已知条件,可先将切化弦,再结合正弦定理,将该恒等式的边都化为角,然8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正 在航行的轮船上在小艇动身时,轮船位于港 口 O北偏西 30 且与该港口相距 20 n mile 的 A 处,并以 30 n mile/h 的航行速度沿正东方 v n 向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以 mile/h 的航行速度匀速行驶,经过 t h 与轮船 相遇1 如期望相遇时小艇的航行距离最小, 就 小艇航

18、行速度的大小应为多少？30 n 2 假设小艇的最高航行速度只能达到 mile/h ,试设计航行方案 即确定航行方向和航 行速度的大小 ,使得小艇能以最短时间与轮船 相遇,并说明理由解法一：1 设相遇时小艇航行的距离为 Sn mile ,就0v30,900600 t400 2 900,即2 t23 t0,解得 t 2 3. 又 t 2 3时,v30. 故 v30 时,S900t24002 30t 20 cos（90 30 ）900t2600t 400900 t1 32300,故当 t 1 3时,Smin103,此时 v10 13t 取得最小值,且最小值等于2 3. 3此时,在 OAB中,有 OA

19、OBAB20,故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东303. 30 ,航行速度为30 n mile/h,小艇能以最即小艇以 303 n mile/h的速度航行,相短时间与轮船相遇解法二： 1 如相遇时小艇的航行距离最 小,又轮船沿正东方向匀速行驶,就小艇航行 方向为正北方向遇时小艇的航行距离最小2 设小艇与轮船在 B处相遇,就 v 2t400900t 222 20 30t cos90 30 ,故v 2900600 t400 2 . 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设小艇与轮船在 C处相遇设COD 0 90 ,

20、就在 Rt COD在 Rt OAC中,OC20cos30 103,中,AC20sin30 10. 又 AC30t ,OCvt ,CD10 3tan ,OD10 cos. 3此时,轮船航行时间 t 10 301 3,v10 13由于从动身到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为t1010 30 3tan 和t10 vcos ,33303. 所以1010 3tan 3010 vcos. 3即小艇以 303 n mile/h的速度航行,相由此可得, v15 3sin （ 30 ）. 遇时小艇的航行距离最小2 假设 v30 时,小艇能以最短时间与轮 船在 D处相遇,此时 ADDO30t . 又 v30,故

21、 sin 30 3 2,从而,又 OAD60 ,所以ADDOOA20,解得 t 2 3. 据此可设计航行方案如下：航行方向为北偏东 30 ,航行速度的大小为30 n mile/h. 这样,小艇能以最短时间与轮船相遇证明如下：30 AC,且对于线段 AC上任意点 P,有 OPOCAC. 归结为属于哪类可解的三角形此题用几 何方法求解也较简便而小艇的最高航行速度只能达到 30 n mile/h ,故小艇与轮船不行能在 A,C之间 包 含 C 的任意位置相遇10名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - BCA , 由 正 弦

22、定 理 得ABsin 2022 武汉 5月模拟 如图,渔船甲位于岛屿ABC sin BAC,即12 sin 28 sin120 ,从而 sin 12sin120 283 3 14 . 的南偏西 60 方向的 B 处,且与岛屿 A相距 12 海里,渔船乙以 10 海里/ 小时的速度从岛屿 A 动身沿正北方向航行,如渔船甲同时从 B 处出 发沿北偏东 的方向追逐渔船乙, 刚好用 2 小 时追上1 已知两边及其中一边的对角解三角形 时,要留意解的情形,谨防漏解2在判定三角形的外形时, 一般将已知条 件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化 为角角关系 留意应用 ABC 这个结论 或边边关系,再用三角

23、变换或代数式的恒等变 形 如因式分解、配方等 求解,留意等式两边 的公因式不要约掉,要移项提取公因式,否就 有可能漏掉一种外形3要熟记一些常见结论, 如三内角成等差1 求渔船甲的速度；2 求 sin 的值解：1 依题意, BAC120 , AB12,2AC10 2 20,在 ABC中,由余弦定理知 BCAB 2 AC 2 2AB AC cos BAC12 220 22 12 20 cos120 784,BC28. 所以渔船甲的速度为 v28 214 海里 / 小时 2 在ABC中,AB12,BAC120 ,BC28,11名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习

24、资料 - - - - - - - - - 知量与求解量尽量集中到一个三角形中,建立 一个解斜三角形的模型；3 求解：利用正、余弦定理有序地解出三 角形,求得数学模型的解；4 检验：检验上述所求得的解是否符合实 际意义,从而得出实际问题的解5正、余弦定理是应用极为广泛的两个定 理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从 而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关 的量 如面积、外接圆、内切圆半径和面积等 供应了理论依据,也是判定三角形外形、证明 三角形中有关等式的重要依据主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法 注 意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化 思想及分类争论思想12名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页